12直角三角形（練習(xí)）

第一章三角形的證明第二節(jié)直角三角形精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022秋·河南鄭州·八年級統(tǒng)考期中）滿足下列條件的不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，逐一進行判斷即可．，不是直角三角形，故A符合題意；B.，，是直角三角形，故B不符合題意；C.，，，，是直角三角形，故C不符合題意；D.，，，，，是直角三角形，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽·八年級統(tǒng)考期末）下列命題中，假命題是（

）A．全等三角形對應(yīng)角相等 B．對頂角相等C．同位角相等 D．有兩邊對應(yīng)相等的直角三角形全等【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定即可判斷A、D；根據(jù)對頂角的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)平行線的性質(zhì)即可判斷C．【詳解】解：A、全等三角形對應(yīng)角相等，是真命題，不符合題意；B、對頂角相等，是真命題，不符合題意；C、兩直線平行，同位角相等，是假命題，符合題意；D、有兩邊對應(yīng)相等的直角三角形全等，是真命題，不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了判斷命題真假，熟知平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，對頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河北石家莊·八年級石家莊市第二十二中學(xué)?？计谀﹥蓚€直角三角形中：①一銳角和斜邊對應(yīng)相等；②斜邊和一直角邊對應(yīng)相等；③有兩條邊相等；④兩個銳角對應(yīng)相等．能使這兩個直角三角形全等的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定可進行排除選項．【詳解】解：①一銳角和斜邊對應(yīng)相等，可根據(jù)“AAS”或“ASA”判定這兩個直角三角形全等，故符合題意；②斜邊和一直角邊對應(yīng)相等，可根據(jù)“HL”判定這兩個直角三角形全等，故符合題意；③有兩條邊相等，分當(dāng)這兩邊分別是斜邊和一條直角邊時，可根據(jù)“HL”判定全等，當(dāng)這兩條邊為直角邊時，可根據(jù)“SAS”判定全等，故符合題意；④兩個銳角對應(yīng)相等，沒有邊的相等，故不能判定全等；故選C．【點睛】本題主要考查直角三角形的全等，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）將兩個三角板按如圖所示的位置擺放，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)：等角的余角相等即可求解．【詳解】解：∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查了余角：如果兩個角的和等于（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．5．（2021春·重慶南岸·八年級重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，，平分交于，于，下列結(jié)論不正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，即可證明從而判斷A、B；再根據(jù)即可判斷C、D．【詳解】解：∵在中，，∴，又∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，故B不符合題意∴，故A不符合題意；∵，∴，∴，故C符合題意，D不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，等邊對等角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）的三邊為，，，下列條件不能確保為直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有一個角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐項判斷即可求解．【詳解】解：∵，，∴，解得：，∴，即為直角三角形，故A選項不符合題意；設(shè)，∴，即不為直角三角形，故B選項符合題意；∵，∴，即為直角三角形，故C選項不符合題意；∵，∴，∵，∴，即為直角三角形，故D選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）直角三角形中兩個銳角的差為60°，則較小的銳角度數(shù)是______．【答案】15°##15度【分析】根據(jù)直角三角形中兩個銳角互余，且差為60°，即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)其中較小的一個銳角是，則另一個銳角是，直角三角形中兩個銳角互余，，解得：，較小的一個銳角是，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形兩個銳角互余，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，平分，若，，則_____．【答案】##30度【分析】由平分，可得角相等，由，，可求得的度數(shù)，在直角三角形中利用兩銳角互余即可求解．【詳解】解：∵平分，，，∴，∴，∴，∵，∴為直角三角形，∴．故答案為：．【點睛】本題考查三角形的角平分線和高，直角三角形兩銳角互余等知識點．理解和掌握三角形的角平分線和高的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·上海青浦·八年級校考期末）如圖，在中，，點為上一點，連接，，，，則________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得，然后設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，即，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，即．故答案為：【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，以為邊在的左側(cè)作等邊，連接，則______°．【答案】30【分析】根據(jù)等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，，以為邊在的左側(cè)作等邊，∴，，∴，∵，∴，∵，故答案為：30．【點睛】本題考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022秋·河北石家莊·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，，，、相交于點O．求證：是等腰三角形．【答案】證明見解析【分析】首先根據(jù)全等三角形的判定定理，即可證得，可得，再根據(jù)等角對等邊，即可證得結(jié)論．【詳解】證明：在和中，，，，，是等腰三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定，證得是解決本題的關(guān)鍵．12．（2021春·寧夏銀川·八年級銀川唐徠回民中學(xué)校考期中）如圖，，是上的一點，且，．(1)與全等嗎？并說明理由．(2)若，求的長．【答案】(1)，理由見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)證明和全等解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平角的定義證明是等腰直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：，證明：∵，∴，∵，在和中，，∴；（2）解：由（1）得，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴是等腰直角三角形．∵，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)證明是解題的關(guān)鍵．提升篇提升篇一、填空題1．（2022秋·湖南株洲·八年級?？计谥校┑妊切我粭l腰上的高與另一條腰所成的角為25°，那么這個等腰三角形頂角的度數(shù)為_____．【答案】65°或115°【分析】分類討論：①當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時，②當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時，結(jié)合題意，即可求出其頂角的大?。驹斀狻拷猓悍诸愑懻摚孩偃鐖D，當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時，由題意可知，，；②如圖，當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時，由題意可知，，．故答案為：或【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，點在邊上，過點作，垂足為點，如果，且，那么的度數(shù)是________．【答案】##36度【分析】根據(jù)證明，可得，，根據(jù)求出，進而可求出的度數(shù)．【詳解】解：，∴．在和中，∴，∴，．∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，為對角線的中點，連接，，，若，則___________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件可以判斷，根據(jù)三角形外角定理可得到：，同理，，在等腰三角形中，已知頂角，即可求出底角的度數(shù)．【詳解】∵，∴，∴，,在中，，同理可得到：，，在等腰三角形中，；故答案是．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線定理和三角形外角定理的運用，掌握基本定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·廣東陽江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，D為的中點，，點P為邊上的動點，點E為邊上的動點，則的最小值為_____．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到，得到點B，點C關(guān)于直線對稱，當(dāng)交于P時的值最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】連接,∵，∴，∴，∵D為的中點，，∴垂直平分，，∴點B，點C關(guān)于直線對稱，∴∴當(dāng)點C、P、E三點共線時，最小當(dāng)時，最小，即的值最小，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，勾股定理的逆定理，兩點這間線段最短，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，利用兩點之間線段最短來解答本題．5．（2022秋·四川資陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在長方形中，E點在上，并且，分別以、為折痕進行折疊壓平，如圖，若圖中，則的度數(shù)為___________．【答案】【分析】求的大小只需根據(jù)折疊規(guī)律、平角知識和角的和差求出大小即可．【詳解】解：折疊后的圖形如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴故答案為：．【點睛】本題綜合考查了兩角互余的性質(zhì)，圖形的折疊特性、平角及角的和等知識為背景的角的計算，同時也可以用平角建立等量關(guān)系，方程的思想求解更簡單．二、解答題6．（2022秋·北京東城·七年級景山學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知、是的邊、上的高，P是上的一點，且，Q是的延長線上的一點，且，求證：且．【答案】見解析【分析】先利用定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余、等量代換即可得．【詳解】證明：、是的邊、上的高，，，，．在和中，，．，．又，，，即，．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余，正確找出兩個全等三角形是解題關(guān)鍵．7．（2022秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，為的中線，D在上，，垂足為H，連接．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先證，又得，從而即可證明；（2）作交延長線于點F，先證得，再證得，從而即可得證．【詳解】（1）證明：∵，垂足為H，∴，∴，又∴，∴．（2）證明：作交延長線于點F，∴，又∴在和中，

∴，∴，又為的中線，∴，∴，∵，∴∴∴∴在和中，∴，∴，又，∴．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、中線定義以及直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·河南駐馬店·八年級校聯(lián)考期中）在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點，，其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在