高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練42基本立體圖形及幾何體的表面積與體積

四十二基本立體圖形及幾何體的表面積與體積(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy,則它的直觀圖的面積是 ()A.62a2 B.64C.68a2 D.616【解析】選D.因?yàn)檎切蜛BC的邊長(zhǎng)為a,所以其面積S=34a2,又因?yàn)橹庇^圖面積S'與原圖形面積之比為24,即S'S=24,所以S'=24×342.(5分)(2023·太原模擬)碌碡(liùzhou)是我國(guó)古代人民發(fā)明的一種把米、麥、豆等糧食加工成粉末的器具,如圖,近似圓柱形碌碡的軸固定在經(jīng)過(guò)圓盤圓心且垂直于圓盤的木樁上,當(dāng)人推動(dòng)木柄時(shí),碌碡在圓盤上滾動(dòng).若人推動(dòng)木柄繞圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)1周,碌碡恰好滾動(dòng)了3圈,則該圓柱形碌碡的高與其底面圓的直徑之比約為 ()A.3∶1 B.3∶2 C.1∶3 D.2∶3【解析】選B.由題意可設(shè)圓柱形碌碡的高為h,其底面圓的直徑為d,則有2πh=πd×3,所以h∶d=3∶2.3.(5分)某圓錐的側(cè)面積為1,用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個(gè)圓臺(tái),若圓臺(tái)上底面和下底面半徑之比為12,則該圓臺(tái)的側(cè)面積為 (A.12 B.22 C.34 【解析】選C.設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r,下底面半徑為2r,設(shè)圓臺(tái)的母線為l,則圓錐的底面半徑為2r,圓錐的母線為2l,圓錐的側(cè)面積記為S1=12·2π·2r·2l=4πrl=1?πrl=14,截去的小圓錐的側(cè)面積記為S2=12·2πr·l=πrl故圓臺(tái)的側(cè)面積為S1S2=114=3【加練備選】若一個(gè)圓臺(tái)的高為3,母線長(zhǎng)為2,側(cè)面積為6π,則該圓臺(tái)的體積為 ()A.53π3 C.53π D.73π【解析】選B.設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r',下底面半徑為r,母線為l,則圓臺(tái)的側(cè)面積S=πr'+rl=6π,可得r'+r=3,又因?yàn)閳A臺(tái)的高h(yuǎn)為3,可知rr'=22-3圓臺(tái)的體積V圓臺(tái)=13πhr'2+r'r+r4.(5分)已知長(zhǎng)方體所有棱的長(zhǎng)度之和為28,一條體對(duì)角線的長(zhǎng)度為17,則該長(zhǎng)方體的表面積為 ()A.32 B.20 C.16 D.12【解析】選A.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,因?yàn)殚L(zhǎng)方體所有棱的長(zhǎng)度之和為28,所以4a+b+c=28,即a+因?yàn)橐粭l體對(duì)角線的長(zhǎng)度為17,所以a2+b2+c2=17,因a+b+c2=a2+b2+c2+2ab解得ab+ac+bc=16,所以該長(zhǎng)方體的表面積為2ab+2ac+2bc=32.5.(5分)等體積的球和正方體的表面積分別為S1與S2,則S1與S2的大小關(guān)系是 ()A.S2>S1 B.S2<S1C.S2=S1 D.無(wú)法確定【解析】選A.若球體的半徑為r,則S1=4πr2,若正方體的棱長(zhǎng)為a,則S2=6a2,因?yàn)榍蚝驼襟w的體積相等,所以43πr3=a3則a=r34π3,故S2=6r2所以S1S2=2π33即S2>S1.6.(5分)(多選題)如圖所示,圓錐SO的底面半徑r=3,高SO=1,AB是底面圓的一條直徑,M為底面圓周上與B不重合的一點(diǎn),則下列命題正確的是 ()A.圓錐SO的體積為πB.圓錐SO的表面積為(23+3)πC.△SBM的面積的最大值是3D.有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B,則螞蟻爬行的最短距離為3π【解析】選AB.圓錐SO的底面半徑r=3,高SO=1,所以母線長(zhǎng)為2;對(duì)于A選項(xiàng),圓錐SO的體積為V=13×π×(3)2×1=π,所以A正確對(duì)于B選項(xiàng),圓錐SO的表面積為S=π×(3)2+π×3×2=23+3π,所以B對(duì)于C選項(xiàng),由軸截面為等腰三角形SAB,且頂角為∠ASB=2∠BSO=2×60°=120°,當(dāng)?shù)妊鱏BM的頂角為90°時(shí),△SBM的面積取得最大值為:S△MSB=12×2×2×sin90°=2,所以C錯(cuò)誤對(duì)于D選項(xiàng),圓錐的底面圓周長(zhǎng)為23π,所以側(cè)面展開圖的圓心角為α=3π,所以圓錐側(cè)面展開圖中AB的長(zhǎng)lAB=3π2×2=3π,螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B,則螞蟻爬行的最短距離為線段AB,且AB<lAB=3π,7.(5分)如圖,六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.

【解析】正六棱柱體積為6×34×22×2=123(cm3),圓柱體積為π(12)2·2=π2(cm3),所求幾何體體積為(123π答案:123π8.(5分)如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=5,點(diǎn)E是棱CC1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若平面BED1交棱AA1于點(diǎn)F,則四棱錐B1BED1F的體積為________,截面四邊形BED1F的周長(zhǎng)的最小值為________.

【解析】由題意可得D1F∥BE,利用切割法可得VB1-BED1F=VB1-BED1+VB1-BFD1=VD1-BEB1=13×1將長(zhǎng)方體側(cè)面展開,如圖所示,當(dāng)點(diǎn)E為BD1與CC1的交點(diǎn)、點(diǎn)F為BD1與AA1的交點(diǎn)時(shí),截面周長(zhǎng)最小,此時(shí)截面的周長(zhǎng)為2BD1,而在△BDD1中,BD1=52+3+42=74,答案:202749.(10分)如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=2+2,在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓(圓心O在邊BC上,半圓與AC,AB分別相切于點(diǎn)C,M,與BC交于點(diǎn)N),將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體:(1)求該幾何體中間空心球的表面積S的大小;【解析】(1)連接OM,則OM⊥AB,設(shè)OM=r,OB=2+2r,在△BMO中,sin∠ABC=r2+2-r=22?r=2,9.(10分)如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=2+2,在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓(圓心O在邊BC上,半圓與AC,AB分別相切于點(diǎn)C,M,與BC交于點(diǎn)N),將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體:(2)求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.【解析】(2)由已知AC=BC=2+2,設(shè)圓錐的體積為V1,球的體積為V2,所以V=V1V2=13π(2+2)343π23【能力提升練】10.(5分)(2023·青島模擬)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中,記載了一種稱為“曲池”的幾何體,該幾何體的上下底面平行,且均為扇環(huán)形(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分),現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池,它的高為2,AA1,BB1,CC1,DD1均與曲池的底面垂直,底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2,對(duì)應(yīng)的圓心角為180°,則該幾何體的表面積為 ()A.15π2+2 B.15πC.7π+2 D.9π+4【解析】選D.此幾何體為一個(gè)大的半圓柱中間挖去一個(gè)小的同軸半圓柱,S表=12×2π22-111.(5分)“塹堵”“陽(yáng)馬”和“鱉臑”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)·商功》:“斜解立方,得兩塹堵,斜解塹堵,一為陽(yáng)馬,一為鱉臑.”即一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面斜解(圖1).得到一模一樣的兩個(gè)塹堵(圖2),再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解(圖2),得一個(gè)四棱錐稱為陽(yáng)馬(圖3),一個(gè)三棱錐稱為鱉臑(圖4).若長(zhǎng)方體的體積為V,由該長(zhǎng)方體斜解所得到的塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑的體積分別為V1,V2,V3,則下列選項(xiàng)正確的是 ()A.V1+V2+V3=32V B.V1=2VC.V2=3V3 D.V3=16【解析】選D.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,V=abc,則V1=V2=12abc,V2=13×abc=13abc,V3=13×12×abc=16abc,故V1+V2+V3=abc=V,V1=32V2,V2=2V3,V3=112.(5分)已知直平行六面體的底面是菱形,若過(guò)不相鄰的兩對(duì)側(cè)棱的截面面積分別是3和4,則這個(gè)平行六面體的側(cè)面積是________.

【解析】如圖,因?yàn)榱骟wA'B'C'D'ABCD是直平行六面體,則截面A'ACC',B'BDD'均為矩形,設(shè)側(cè)棱A'A=B'B=h,因?yàn)榻孛鍭'ACC',B'BDD'的面積分別是4和3,則AC=4h,BD=3設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,則由底面ABCD是菱形得AC⊥BD,AO=12AC=2h,BO=12BD則在Rt△AOB中,有AB=AO2+BO所以直平行六面體A'B'C'D'ABCD的側(cè)面積為4×52h×h答案:1013.(5分)已知一個(gè)正方體與一個(gè)圓柱的高度均為1,且正方體的表面積與圓柱的側(cè)面積相等,則圓柱的體積為________.

【解析】設(shè)圓柱底面圓半徑為r,由正方體的表面積與圓柱的側(cè)面積相等得2πr=6,故r=3π,故圓柱的體積為π×3π2答案:914.(10分)如圖,半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體(即正方體的一個(gè)面在半球的底面圓上,其余頂點(diǎn)在半球上).若正方體的棱長(zhǎng)為6,求半球的表面積和體積.【解析】因正方體的棱長(zhǎng)為6,則在半球上的正方體4個(gè)頂點(diǎn)所在小圓半徑r=12×6×2=3,而半球球心到此截面小圓距離d=6,因此半球半徑R=d所以半球的表面積S=2πR2+πR2=27π,體積V=23πR3=18π【素養(yǎng)創(chuàng)新練】15.(5分)某餐廳為了追求時(shí)間效率,推出一種液體“沙漏”免單方案(即點(diǎn)單完成后,開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”,“沙漏”漏完前,客人所點(diǎn)的菜需全部上桌,否則該桌免費(fèi)用餐).“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成.某次計(jì)時(shí)前如圖(1)所示,已知圓錐體底面半徑是6cm,高是6cm;圓柱體底面半徑是3cm,液體高是7cm.計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖(2)所示,此時(shí)“沙漏”中液體的高度為 ()A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm【解析】選B.如圖,圓錐的底面半徑是6cm,高是6