舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專(zhuān)題8.3 立體圖形的直觀圖（重難點(diǎn)題型精講）（含答案及解析）

專(zhuān)題8.3立體圖形的直觀圖（重難點(diǎn)題型精講）1．空間幾何體的直觀圖(1)直觀圖的概念

直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.畫(huà)立體圖形的直觀圖，實(shí)際上是把不完全在同一平面內(nèi)的點(diǎn)的集合，用同一平面內(nèi)的點(diǎn)表示.因此，直觀圖往往與立體圖形的真實(shí)形狀不完全相同.

在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.

(2)斜二測(cè)畫(huà)法及其步驟

利用平行投影，人們獲得了畫(huà)直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法.利用這種畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，其步驟是：

①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸相交于點(diǎn)O'，且使∠x(chóng)'O'y'=(或)，它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于x軸或y軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別面成平行于x'軸或y'軸的線(xiàn)段.

③已知圖形中平行于x軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖的規(guī)則

畫(huà)幾何體的直觀圖時(shí)，與畫(huà)平面圖形的直觀圖相比，只是多畫(huà)一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且有以下規(guī)則.①已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線(xiàn)段.

②已知圖形中平行于x軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

③連線(xiàn)成圖以后，擦去作為輔助線(xiàn)的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.2．平面圖形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系(1)以三角形為例，則有.如圖所示，，它的直觀圖的面積.(2)平面多邊形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系：=.即若記一個(gè)平面多邊形的面積為，由斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖的面積為，則有=.【題型1斜二測(cè)畫(huà)法】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的規(guī)則和步驟，進(jìn)行求解即可.【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則原圖形的形狀是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022秋·陜西渭南·高一期末）如圖，△A'B'C'是△ABC的直觀圖，其中B'A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無(wú)法確定【變式1-2】（2022春·山西呂梁·高一期中）某幾何體底面的四邊形OABC直觀圖為如圖矩形O1A1B1C1，其中OA．6 B．46 C．42 【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABCA．鈍角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【題型2畫(huà)平面圖形的直觀圖】【方法點(diǎn)撥】畫(huà)水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點(diǎn)位置.頂點(diǎn)位置可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是在軸上或在與軸平行的線(xiàn)段上，這類(lèi)頂點(diǎn)比較容易確定；另一類(lèi)是不在軸上且不在與軸平行的線(xiàn)段上，這類(lèi)頂點(diǎn)一般通過(guò)作過(guò)此點(diǎn)且與軸平行或垂直的線(xiàn)段，將此點(diǎn)轉(zhuǎn)到與軸平行或垂直的線(xiàn)段上來(lái)確定.【例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3【變式2-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)法畫(huà)出如圖邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的直觀圖，并求直觀圖面積．【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出如圖所示的五邊形的直觀圖.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)【變式2-3】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：(1)邊長(zhǎng)為3cm(2)邊長(zhǎng)為4cm(3)邊長(zhǎng)為2cm【題型3畫(huà)空間幾何體的直觀圖】【方法點(diǎn)撥】(1)對(duì)于一些常見(jiàn)簡(jiǎn)單幾何體(柱體、錐體、臺(tái)體、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便快速準(zhǔn)確地畫(huà)出.(2)畫(huà)空間幾何體的直觀圖比畫(huà)平面圖形的直觀圖增加了一個(gè)z軸，表示豎直方向.(3)平行于z軸(或在z軸上)的線(xiàn)段，方向與長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一致.【例3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別是8cm，6cm，3cm的長(zhǎng)方體ABCD?A【變式3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）畫(huà)出一個(gè)正六棱柱的直觀圖，底面為邊長(zhǎng)為3的正六邊形，高為5．【變式3-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知直三棱柱ABC?A1B1C【變式3-3】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）畫(huà)出圖中簡(jiǎn)單組合體的直觀圖（尺寸單位：cm）．【題型4平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法中平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系，結(jié)合具體條件，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2022秋·四川內(nèi)江·高二期中）如圖所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA．242 B．122 C．12 【變式4-1】（2022秋·四川·高二期中）如圖，Rt△O'A'A．1 B．2 C．22 D．【變式4-2】（2022秋·安徽六安·高三階段練習(xí)）一個(gè)水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則原平面圖形的面積為（

）A．2 B．42 C．8 D．【變式4-3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，矩形O'A'B'C'A．面積為62的矩形 B．面積為3C．面積為62的菱形 D．面積為3專(zhuān)題8.3立體圖形的直觀圖（重難點(diǎn)題型精講）1．空間幾何體的直觀圖(1)直觀圖的概念

直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.畫(huà)立體圖形的直觀圖，實(shí)際上是把不完全在同一平面內(nèi)的點(diǎn)的集合，用同一平面內(nèi)的點(diǎn)表示.因此，直觀圖往往與立體圖形的真實(shí)形狀不完全相同.

在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.

(2)斜二測(cè)畫(huà)法及其步驟

利用平行投影，人們獲得了畫(huà)直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法.利用這種畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，其步驟是：

①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸相交于點(diǎn)O'，且使∠x(chóng)'O'y'=(或)，它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于x軸或y軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別面成平行于x'軸或y'軸的線(xiàn)段.

③已知圖形中平行于x軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖的規(guī)則

畫(huà)幾何體的直觀圖時(shí)，與畫(huà)平面圖形的直觀圖相比，只是多畫(huà)一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且有以下規(guī)則.①已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線(xiàn)段.

②已知圖形中平行于x軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

③連線(xiàn)成圖以后，擦去作為輔助線(xiàn)的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.2．平面圖形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系(1)以三角形為例，則有.如圖所示，，它的直觀圖的面積.(2)平面多邊形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系：=.即若記一個(gè)平面多邊形的面積為，由斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖的面積為，則有=.【題型1斜二測(cè)畫(huà)法】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的規(guī)則和步驟，進(jìn)行求解即可.【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則原圖形的形狀是（

）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)律，平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度是原長(zhǎng)的一半即可判斷.【解答過(guò)程】在直觀圖中，其一條對(duì)角線(xiàn)在y軸上且長(zhǎng)度為2，所以在原圖形中其中一條對(duì)角線(xiàn)必在y軸上，且長(zhǎng)度為22故選：A．【變式1-1】（2022秋·陜西渭南·高一期末）如圖，△A'B'C'是△ABC的直觀圖，其中B'A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無(wú)法確定【解題思路】將直觀圖還原為投影圖，分析幾何圖形的形狀.【解答過(guò)程】將直觀圖還原，則BO=CO=1，AO=23，所以△ABC故選：A.【變式1-2】（2022春·山西呂梁·高一期中）某幾何體底面的四邊形OABC直觀圖為如圖矩形O1A1B1C1，其中OA．6 B．46 C．42 【解題思路】通過(guò)直觀圖與原圖的關(guān)系得出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出答案.【解答過(guò)程】根據(jù)四邊形OABC直觀圖將其還有為平面圖形如圖：根據(jù)直觀圖與原圖的關(guān)系可得：OA=O1A1=6則點(diǎn)A6,0，C∴AC故選：B.【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABCA．鈍角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【解題思路】根據(jù)題意，將△A'B'C'還原成原圖，分析OC【解答過(guò)程】將其還原成原圖，設(shè)A'C'AC=A'C'=2即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形.故選：C.【題型2畫(huà)平面圖形的直觀圖】【方法點(diǎn)撥】畫(huà)水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點(diǎn)位置.頂點(diǎn)位置可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是在軸上或在與軸平行的線(xiàn)段上，這類(lèi)頂點(diǎn)比較容易確定；另一類(lèi)是不在軸上且不在與軸平行的線(xiàn)段上，這類(lèi)頂點(diǎn)一般通過(guò)作過(guò)此點(diǎn)且與軸平行或垂直的線(xiàn)段，將此點(diǎn)轉(zhuǎn)到與軸平行或垂直的線(xiàn)段上來(lái)確定.【例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3【解題思路】在等腰梯形ABCD中建立平面直角坐標(biāo)系，再利用“斜二測(cè)”畫(huà)法確定另兩個(gè)頂點(diǎn)位置即可畫(huà)出其直觀圖.【解答過(guò)程】在等腰梯形ABCD中，過(guò)D作DO⊥AB于O，以直線(xiàn)CB，OD分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，其中OD=1cm在平面內(nèi)取點(diǎn)O'，過(guò)O'作直線(xiàn)O'在直線(xiàn)O'y'上取點(diǎn)D'，使O'D'在直線(xiàn)O'x'上取點(diǎn)C連接C'D',A【變式2-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)法畫(huà)出如圖邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的直觀圖，并求直觀圖面積．【解題思路】先在直角坐標(biāo)系中得出各邊的數(shù)值，再按“斜二測(cè)”畫(huà)法作圖，得出相關(guān)關(guān)系，再求出直觀圖的高度，求出面積.【解答過(guò)程】畫(huà)法:(1)如圖(1),在等邊三角形ABC中,取BC所在直線(xiàn)為x軸,BC的垂直平分線(xiàn)為y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.在圖(2)中,畫(huà)相應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O'(2)在圖(2)中,以O(shè)'為中點(diǎn),在x'軸上取B'C'(3)連接A'B',A'C',并擦去輔助線(xiàn)由題意在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形∴AB=BC=2，BC邊上的高為?=3在三角形A'O'∴B'B'C'故S△故直觀圖△A'B'C【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出如圖所示的五邊形的直觀圖.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)【解題思路】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法作圖即可.【解答過(guò)程】①如圖(1)，將A點(diǎn)和原點(diǎn)O重合，AB和x軸重合，AE與y軸重合.通過(guò)C分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為H、I，通過(guò)D分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為F、G；②如圖(2)，作坐標(biāo)系x'O'y'，x'軸和y'軸夾角為45°，在x'軸上取點(diǎn)，使得：A'③如圖(2)，在y'軸上取點(diǎn)，使得：A'I'=④如圖(2)，過(guò)H'作y'軸平行線(xiàn)，過(guò)I'作x'軸平行線(xiàn)，兩平行線(xiàn)交于C'；過(guò)F'作y'⑤如圖(2)，依次連接B'、C'、D'【變式2-3】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：(1)邊長(zhǎng)為3cm(2)邊長(zhǎng)為4cm(3)邊長(zhǎng)為2cm【解題思路】（1）根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出對(duì)應(yīng)斜二測(cè)坐標(biāo)系，確定多邊形各頂點(diǎn)在直觀圖中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，連線(xiàn)可得直觀圖；（2）根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出對(duì)應(yīng)斜二測(cè)坐標(biāo)系，確定多邊形各頂點(diǎn)在直觀圖中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，連線(xiàn)可得直觀圖；（3）根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出對(duì)應(yīng)斜二測(cè)坐標(biāo)系，確定多邊形各頂點(diǎn)在直觀圖中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，連線(xiàn)可得直觀圖.【解答過(guò)程】(1)解：如圖①所示，以BC邊所在的直線(xiàn)為x軸，以BC邊的高線(xiàn)AO所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)對(duì)應(yīng)的x'軸、y'軸，使在x'軸上截取O'B'=連接A'B'、A'C'、B'(2)解：如圖④所示，以AB、AD邊所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)對(duì)應(yīng)的x'軸、y'軸，使在x'軸上截取A'B'=AB=4作D'C'//x則平行四邊形A'B'C'(3)解：如圖⑦所示，畫(huà)正八邊形OABCDEFG，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OE所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)點(diǎn)B、G在x軸上的射影點(diǎn)分別為M、N，畫(huà)對(duì)應(yīng)的x'軸、y'軸，使在x'軸上截取O'A'=OA=2在y'軸上截取O'E'=作M'B'//y'軸，且作B'C'//y'軸，且連接O'A'、A'B'、B'C'、C則八邊形O'A'B'【題型3畫(huà)空間幾何體的直觀圖】【方法點(diǎn)撥】(1)對(duì)于一些常見(jiàn)簡(jiǎn)單幾何體(柱體、錐體、臺(tái)體、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便快速準(zhǔn)確地畫(huà)出.(2)畫(huà)空間幾何體的直觀圖比畫(huà)平面圖形的直觀圖增加了一個(gè)z軸，表示豎直方向.(3)平行于z軸(或在z軸上)的線(xiàn)段，方向與長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一致.【例3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別是8cm，6cm，3cm的長(zhǎng)方體ABCD?A【解題思路】由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則畫(huà)出直觀圖即可.【解答過(guò)程】解：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知，底面矩形的直觀圖為平行四邊形．①畫(huà)出水平放置的長(zhǎng)、寬分別是8cm、6cm的矩形ABCD的直觀圖．②作Az垂直于AB，在Az軸上截取AA分別過(guò)點(diǎn)B、C、D作BB'//AA'，③連接A'B'、B'C【變式3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）畫(huà)出一個(gè)正六棱柱的直觀圖，底面為邊長(zhǎng)為3的正六邊形，高為5．【解題思路】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的要求和步驟，作圖即可.【解答過(guò)程】（1）畫(huà)軸.如圖，畫(huà)x,y,z軸，三軸相交于O，使得∠x(chóng)Oy=45（2）畫(huà)底面.在x軸上以O(shè)為中點(diǎn)截取線(xiàn)段FC，使FC=6cm,在y軸上以O(shè)為中點(diǎn)取線(xiàn)段GH,使GH=332cm,分別過(guò)點(diǎn)G,H作x軸的平行線(xiàn)，并在平行線(xiàn)上分別以G,H為中點(diǎn)截取連接BC,CD,EF,FA,則六邊形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直觀圖.（3）畫(huà)側(cè)棱.在z軸正半軸上取線(xiàn)段OO',使OO'=5cm，過(guò)在這些平行線(xiàn)上分別截取5cm長(zhǎng)的線(xiàn)段AA（4）成圖.順次連接A',【變式3-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知直三棱柱ABC?A1B1C【解題思路】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的原則，可畫(huà)出直觀圖.【解答過(guò)程】如圖所示．【變式3-3】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）畫(huà)出圖中簡(jiǎn)單組合體的直觀圖（尺寸單位：cm）．【解題思路】利用斜二測(cè)畫(huà)法求解.【解答過(guò)程】如圖所示：【題型4平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法中平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系，結(jié)合具體條件，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2022秋·四川內(nèi)江·高二期中）如圖所示，矩形O'A'B'C'是