2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面向量及其應(yīng)用2.1從位移速度力到向量課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修第二冊

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十二)從位移、速度、力到向量(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．下列物理量中，不是向量的是()A．力 B．位移C．質(zhì)量 D．速度[答案]C2．下列說法正確的是()A．若a∥b，則a與b的方向相同或相反B．若a∥b，b∥c，則a∥cC．若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等D．若a＝b，b＝c，則a＝c[答案]D3．如圖，在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，則圖中相等的向量是()A．eq\o(AD,\s\up8(→))與eq\o(CB,\s\up8(→)) B．eq\o(OB,\s\up8(→))與eq\o(OD,\s\up8(→))C．eq\o(AC,\s\up8(→))與eq\o(BD,\s\up8(→)) D．eq\o(AO,\s\up8(→))與eq\o(OC,\s\up8(→))D[∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC、BD相互平分，∴eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→)).]4．已知向量a與b是兩個(gè)不平行的向量，若a∥c且b∥c，則c等于()A．0 B．a(chǎn)C．b D．不存在這樣的向量A[零向量與任一向量是共線向量，故c＝0.]5．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()(1)單位向量都平行；(2)若兩個(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)向量相等；(3)向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；(4)有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行；(5)方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量．A．2 B．3C．4 D．5A[(1)錯(cuò)誤．因?yàn)閱挝幌蛄康姆较蚩梢约炔幌嗤植幌喾矗?2)錯(cuò)誤．因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)向量的方向有可能相反．(3)正確．因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量共線，所以若向量a與b不共線，則a與b都是非零向量．(4)錯(cuò)誤．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．(5)正確．方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量的方向是相反的，所以這兩個(gè)向量是共線向量．]二、填空題6．在正△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))的夾角等于________．[答案]120°7．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|，則四邊形的形態(tài)為________．菱形[由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))可知四邊形ABCD為平行四邊形，又|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，該四邊形為菱形．]8．給出以下5個(gè)條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a與b都是單位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序號)．①③④[相等向量肯定是共線向量，①能使a∥b成立；方向相同或相反的向量肯定是共線向量，③能使a∥b成立；零向量與任一向量平行，④成立．]三、解答題9．如圖，四邊形ABCD和四邊形ABDE都是平行四邊形．(1)寫出與向量eq\o(ED,\s\up8(→))相等的向量；(2)寫出與向量eq\o(ED,\s\up8(→))共線的向量．[解](1)∵四邊形ABDE和四邊形ABCD都是平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(ED,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，∴eq\o(ED,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→)).故與向量eq\o(ED,\s\up8(→))相等的向量是eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→)).(2)由共線向量的條件知，與eq\o(ED,\s\up8(→))共線的向量有eq\o(DE,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(EC,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→)).10．如圖所示，平行四邊形ABCD中，O是兩對角線AC，BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{eq\o(MN,\s\up8(→))|M，N∈S，且M，N不重合}，試求集合T中元素的個(gè)數(shù)．[解]由題可知，集合T中的元素實(shí)質(zhì)上是S中隨意兩點(diǎn)連成的有向線段，共有20個(gè)，即eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(BO,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(CO,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DO,\s\up8(→))，eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→)).由平行四邊形的性質(zhì)可知，共有8對向量相等，即eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(CO,\s\up8(→))，eq\o(DO,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\o(BO,\s\up8(→)).又集合元素具有互異性，故集合T中的元素共有12個(gè)．11．下列說法中，正確的是()①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②向量eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在同一條直線上；③向量eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(BA,\s\up8(→))是平行向量；④任何兩個(gè)單位向量都是相等向量．A．①④ B．③C．①②③ D．②③B[①錯(cuò)誤．由|a|＝|b|僅說明a與b模相等，但不能說明它們方向的關(guān)系．②錯(cuò)誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反，并不要求兩個(gè)向量eq\o(AB,\s\up8(→))、eq\o(CD,\s\up8(→))必需在同始終線上，因此點(diǎn)A、B、C、D不肯定在同一條直線上．③正確．向量eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(BA,\s\up8(→))是長度相等，方向相反的兩個(gè)向量．④錯(cuò)誤．單位向量不僅有長度，而且有方向；單位向量的方向不肯定相同，而相等向量要求長度相等，方向相同．]12．若向量a與向量b不相等，則a與b肯定()A．不共線 B．長度不相等C．不都是單位向量 D．不都是零向量D[若向量a與向量b不相等，則說明向量a與向量b的方向和長度至少有一個(gè)不同．所以a與b有可能共線，有可能長度相等，也有可能都是單位向量，所以A，B，C都是錯(cuò)誤的．但是a與b肯定不都是零向量．]13．已知A＝{與a共線的向量}，B＝{與a長度相等的向量}，C＝{與a長度相等，方向相反的向量}，其中a為非零向量，則下列說法中錯(cuò)誤的是()A．CA B．A∩B＝{a}C．CB D．A∩B{a}B[A∩B含有a的相反向量，所以B錯(cuò)誤．]14．已知在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝________.2eq\r(3)[易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則AO＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△ABO中，易得|eq\o(BO,\s\up8(→))|＝eq\r(3)，∴|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up8(→))|＝2eq\r(3).]15．如圖，在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，N、M分別是AD、BC上的點(diǎn)，且eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→)).求證：eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→)).[證明]∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(CD,\s\up8(→))|且AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴|eq\o(DA,\s\up8(→))|＝|eq\o(CB,\s\up8(→))|，且DA∥CB．又∵eq\o(DA,\s\up8(→))與eq\o(CB,\s\up8(→))的方向相同，∴eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→)).∵eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))，∴四邊形CNAM是平行四邊形，∴eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(NA,\s\up8(→)).∵|eq