2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列3.1第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)講義教案北師大版必修5

PAGE8-第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1．結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，了解等比數(shù)列的性質(zhì)和由來．2．理解等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用．(重點)3．駕馭等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用．(難點)1．通過等比數(shù)列性質(zhì)的探討，培育邏輯推理素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)等比中項的概念，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．1．等比數(shù)列的單調(diào)性閱讀教材P23思索溝通以下P24例3以上部分，完成下列問題．對于等比數(shù)列{an}，通項公式an＝a1·qn－1＝eq\f(a1,q)·qn．依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可分析當(dāng)q＞0時的單調(diào)性如下表：a1a1＞0a1＜0q的范圍0＜q＜1q＝1q＞10＜q＜1q＝1q＞1{an}的單調(diào)性遞減數(shù)列常數(shù)列遞增數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列思索：(1)若等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\r(2)，q＝eq\f(1,2)，則數(shù)列{an}的單調(diào)性如何？[提示]遞減數(shù)列．(2)等比數(shù)列{an}中，若公比q＜0，則數(shù)列{an}的單調(diào)性如何？[提示]數(shù)列{an}不具有單調(diào)性，是搖擺數(shù)列．2．等比中項閱讀教材P25練習(xí)2以上最終兩段部分，完成下列問題．(1)前提：在a與b中間插入一個數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列．(2)結(jié)論：G叫作a，b的等比中項．(3)滿意關(guān)系式：G2＝ab．思索：(1)隨意兩個數(shù)都有等差中項，隨意兩個數(shù)都有等比中項嗎？[提示]不是，兩個同號的實數(shù)必有等比中項，它們互為相反數(shù)，兩個異號的實數(shù)無等比中項．(2)兩個數(shù)的等差中項是唯一的，若兩個數(shù)a，b存在等比中項，唯一嗎？[提示]不唯一，如2和8的等比中項是4或－4．1．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則公比q等于()A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f(1,2)D[由a5＝a2q3，得q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(\f(1,4),2)＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2)，故選D．]2．將公比為q的等比數(shù)列{an}依次取相鄰兩項的乘積組成新的數(shù)列a1a2，a2a3，a3a4A．公比為q的等比數(shù)列B．公比為q2的等比數(shù)列C．公比為q3的等比數(shù)列D．不肯定是等比數(shù)列B[由于eq\f(anan＋1,an－1an)＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an＋1,an)＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以{anan＋1}是以q2為公比的等比數(shù)列，故選B．]3．等比數(shù)列{an}中，若a1＝2，且{an}是遞增數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比q的取值范圍是________．(1，＋∞)[因為a1＝2＞0，要使{an}是遞增數(shù)列，則需公比q＞1．]4．4－2eq\r(3)與4＋2eq\r(3)的等比中項是________．2或－2[由題意知4－2eq\r(3)與4＋2eq\r(3)的等比中項為±eq\r(4－2\r(3)4＋2\r(3))＝±eq\r(16－12)＝±2．]等比中項的應(yīng)用【例1】(1)設(shè)x,2x＋2,3x＋3成等比數(shù)列，則x＝________．(2)設(shè)a，b，c是實數(shù)，若a，b，c成等比數(shù)列，且eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，則eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)的值為________．(1)－4(2)2[(1)由題意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4，當(dāng)x＝－1時，2x＋2＝0，不符合題意，舍去，所以x＝－4．(2)由a，b，c成等比數(shù)列，eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝ac，,\f(2,b)＝\f(1,a)＋\f(1,c)，))即eq\f(4,ac)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))eq\s\up12(2)，故(a－c)2＝0，則a＝c，所以eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)＝1＋1＝2．]應(yīng)用等比中項解題的兩個留意點1要證三數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，只需證明G2＝ab，其中a，b，G均不為零.2已知等比數(shù)列中的相鄰三項an－1，an，an＋1，則an是an－1與an＋1的等比中項，即，運用等比中項解決問題，會大大削減運算過程.eq\o([跟進訓(xùn)練])1．(1)已知1既是a2與b2的等比中項，又是eq\f(1,a)與eq\f(1,b)的等差中項，則eq\f(a＋b,a2＋b2)的值是()A．1或eq\f(1,2) B．1或－eq\f(1,2)C．1或eq\f(1,3) D．1或－eq\f(1,3)(2)已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________．(1)D(2)4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n-1)[(1)由題意得，a2b2＝(ab)2＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝1，,a＋b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝－1，,a＋b＝－2.))因此eq\f(a＋b,a2＋b2)的值為1或－eq\f(1,3)．(2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，所以an＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n-1)．]巧設(shè)等比數(shù)列解題【例2】已知四個實數(shù)，前三個數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的積是－8，后三個數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積是－80，則這四個數(shù)為________．1，－2,4,10或－eq\f(4,5)，－2，－5，－8[由題意設(shè)此四個數(shù)分別為eq\f(b,q)，b，bq，a，則b3＝－8，解得b＝－2，q與a可通過解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2bq＝a＋b，,ab2q＝－80))求出，即為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝－2，,q＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－2，,q＝\f(5,2)，))所以此四個數(shù)為1，－2,4,10或－eq\f(4,5)，－2，－5，－8．]敏捷設(shè)項求解等比數(shù)列的技巧1三個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，a，aq.2四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，aq，aq3.3四個數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號相同時，可設(shè)為：a，aq，aq2，aq3.eq\o([跟進訓(xùn)練])2．已知三個數(shù)成等比數(shù)列，其積為1，第2項與第3項之和為－eq\f(3,2)，則這三個數(shù)依次為________．－eq\f(2,5)，1，－eq\f(5,2)[設(shè)這三個數(shù)分別為eq\f(a,q)，a，aq，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝1，,a＋aq＝－\f(3,2)，))解得a＝1，q＝－eq\f(5,2)，所以這三個數(shù)依次為－eq\f(2,5)，1，－eq\f(5,2)．]等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用[探究問題]1．在等差數(shù)列{an}中，an＝am＋(n－m)d，類比等差數(shù)列中通項公式的推廣，你能得出等比數(shù)列通項公式推廣的結(jié)論嗎？[提示]an＝am·qn－m．2．在等差數(shù)列{an}中，由2a2＝a1＋a3,2a3＝a2＋a4，…我們推廣得到若2p＝m＋n，則2ap＝am＋an，若{a[提示]若2p＝m＋n，則aeq\o\al(2,p)＝am·an．3．在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，類比這特性質(zhì)，若{an}是等比數(shù)列，有哪個結(jié)論成立？[提示]若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq．【例3】(1)在等比數(shù)列{an}中，an＞0，若a3·a5＝4，則a1a2(2)設(shè){an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a2020和a2021是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a2030＋a2031＝________.(3)在等比數(shù)列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q為整數(shù)，則an思路探究：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．(1)128(2)2·310(3)－(－2)n－1[(1)a3a5＝aeq\o\al(2,4)＝4，又an＞0，所以a4＝2，a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·＝aeq\o\al(2,4)·aeq\o\al(2,4)·aeq\o\al(2,4)·a4＝aeq\o\al(7,4)＝27＝128.(2)解方程4x2－8x＋3＝0得x1＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(3,2)，由q>1，得a2020＝eq\f(1,2)，a2021＝eq\f(3,2)，q＝3，所以a2030＋a2031＝(a2020＋a2021)q10＝2·310.(3)在等比數(shù)列{an}中，由a4a7＝－512得a3a又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，因為公比q為整數(shù)，所以q＝eq\r(5,\f(a8,a3))＝－eq\r(5,\f(128,4))＝－2，故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.]1．(變條件)將例3(3)中等比數(shù)列滿意的條件改為“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a[解]因為{an}是等比數(shù)列，所以a5a6＝a4a又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，當(dāng)a4＝4，a7＝－2時，q3＝－eq\f(1,2)，a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7q3＝－7，當(dāng)a4＝－2，a7＝4時，q3＝－2，a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7q3＝－7．故a1＋a10＝－7．2．(變結(jié)論)例3(3)題的條件不變，求log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|．[解]因為a4a7＝－512，所以a2a9＝a3故log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|＝log4(|a2a9|·|a3a8|)＝log45122＝log2＝9．等比數(shù)列的常用性質(zhì)性質(zhì)1：通項公式的推廣：an＝am·qn－mm，n∈N＋.性質(zhì)2：若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋nk，l，m，n∈N＋，則ak·al＝am·an.特殊的，若k＋φ＝2mm，k，φ∈N＋，則ak·aφ＝性質(zhì)3：若{an}，{bn}項數(shù)相同是等比數(shù)列，則{λbn}，仍是等比數(shù)列.性質(zhì)4：在等比數(shù)列{an}中，序號成等差數(shù)列的項仍成等比數(shù)列.性質(zhì)5：遞增；遞減；q＝1?{an}為常數(shù)列；q＜0?{an}為搖擺數(shù)列.1．在解決與等比數(shù)列有關(guān)的計算問題時，我們首先想到的方法是通法，即通過解方程組求兩個基本量首項a1和公比q，求解過程中要留意整體代換方法的應(yīng)用，但是有些問題合理地選擇性質(zhì)求解，可以削減運算量，提高解題效率．2．解數(shù)列的實際應(yīng)用題時，首先要分清是哪種數(shù)列模型，是求某一項，還是求某些項的和，再用相應(yīng)的公式求解．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)數(shù)列{－2n－1}是遞減數(shù)列． ()(2)等比數(shù)列{an}中，a1＞1，q＜0，則數(shù)列|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…是遞增數(shù)列． ()(3)若G是a，b的等比中項，則G2＝ab，反之也成立． ()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正確；(2)不正確，如a1＝2，q＝－eq\f(1,2)，則|an|＝2×eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1,2n－2)是遞減數(shù)列；(3)不正確，當(dāng)G是a，b的等比中項時，G2＝ab成立，但當(dāng)G2＝ab時，G不肯定是a，b的等比中項，如G＝a＝b＝0．2．在等比數(shù)列{an}中，a4＝6，則a2a6A．4 B．8C．36 D．32C[因為{an}是等比數(shù)列，所以a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝36．]3．在等比數(shù)列{an}中，a