云南省玉龍縣第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

云南省玉龍縣第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（）A. B.C. D.2．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S，若，且，則S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-103．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．已知點(diǎn)到直線：的距離為1，則等于（）A. B.C. D.5．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則最小值為（）A.-2 B.-1C.1 D.26．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定7．已知分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.19．均勻壓縮是物理學(xué)一種常見(jiàn)現(xiàn)象.在平面直角坐標(biāo)系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)描述.設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，若將曲線縱向均勻壓縮至原來(lái)的一半，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，則曲線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，再縱向均勻壓縮至原來(lái)的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.10．某產(chǎn)品的銷售收入（萬(wàn)元）是產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，生產(chǎn)成本（萬(wàn)元）是產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，要使利潤(rùn)最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（）A.6千臺(tái) B.7千臺(tái)C.8千臺(tái) D.9千臺(tái)11．已知全集，，（）A. B.C. D.12．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)，則__________14．某天上午只排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、體育三節(jié)課，則體育不排在第一節(jié)課的概率為_(kāi)________15．已知正方形的邊長(zhǎng)為分別是邊的中點(diǎn)，沿將四邊形折起，使二面角的大小為，則兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_________16．已知點(diǎn)在圓C：（）內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為8，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，C是以為直徑的圓上異于的點(diǎn)，平面平面分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為2，求銳二面角的余弦值.18．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，是的等差中項(xiàng).數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前2n項(xiàng)和.19．（12分）如圖，四棱臺(tái)的底面為正方形，面，（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線m與平面所成角的正弦值20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）記,的面積分別為，求的取值范圍；（3）若的重心在圓上，求直線的斜率.22．（10分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，首項(xiàng)，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.2、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，直接計(jì)算S3即可.【詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C3、B【解析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出即可得到結(jié)論【詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B4、D【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線：的距離為1，故可得，整理得，解得.故選：.5、B【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最小，有最小值為故選：B6、A【解析】首先求出直線過(guò)定點(diǎn)，再判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷；【詳解】解：直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，即點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交；故選：A7、D【解析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，故，且，故，故選：D8、A【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項(xiàng)為，然后根據(jù)條件可解出，進(jìn)而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為由，可得：又，則有：則故選：A9、C【解析】設(shè)單位圓上一點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)題設(shè)變換后坐標(biāo)為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設(shè)，單位圓上一點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過(guò)橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，縱向均勻壓縮至原來(lái)的，得到對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，∴，則，故中，可得：.故選：C.10、A【解析】構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求得最大值處對(duì)應(yīng)的自變量即可.【詳解】設(shè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則，∴.令，解得（舍去）或，經(jīng)檢驗(yàn)知既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn)，∴應(yīng)生產(chǎn)6千臺(tái)該產(chǎn)品.故選：A【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，與一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到11、C【解析】根據(jù)條件可得，則，結(jié)合條件即可得答案.【詳解】因，所以，則，又，所以，即.故選：C12、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求AN與BM對(duì)應(yīng)的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)解析式，可求得解析式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.詳解】∵，∴，∴.故答案為：.14、【解析】寫出語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、體育的所有可能排列，找出其中體育不排在第一節(jié)課的情況，利用概率公式計(jì)算即可.【詳解】所有可能結(jié)果如下：（語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，體育）；（語(yǔ)文，體育，數(shù)學(xué)）；（數(shù)學(xué)，語(yǔ)文，體育）：（數(shù)學(xué)，體育，語(yǔ)文）；（體育，語(yǔ)文，數(shù)學(xué)）；（體育，數(shù)學(xué)，語(yǔ)文）,其中體育不排在第一節(jié)課的情況有四種，則體育不排在第一節(jié)課的概率15、.【解析】取BE的中點(diǎn)G，然后證明是二面角的平面角，進(jìn)而證明，最后通過(guò)勾股定理求得答案.【詳解】如圖，取BE的中點(diǎn)G，連接AG,CG，由題意，則是二面角的平面角，則，又，則是正三角形，于是.根據(jù)可得：平面ABE，而平面ABE，所以，而，則平面BCFE，又平面BCFE，于是，，又，所以.故答案為：.16、【解析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.【詳解】由點(diǎn)在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)垂直于該定點(diǎn)與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由分別是的中點(diǎn)，得到，在由是圓的直徑，所以，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證得面，即可證得面；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，過(guò)C垂直于面直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：在，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槭菆A的直徑，所以，又由平面平面，平面平面，且平面，所以面，因?yàn)?，所以?【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知面，所以直線與平面所成角為，由題意知，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，過(guò)C垂直于面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，，設(shè)面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)面的法向量為，則，取，可得，所以，則，所以銳二面角的余弦值為.18、（1），（）（2）【解析】（1）等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，根據(jù)條件列出方程，并解方程即可；（2）數(shù)列根據(jù)的奇偶分段表示，奇數(shù)項(xiàng)通過(guò)乘公比錯(cuò)位相減法克求得前項(xiàng)和，偶數(shù)項(xiàng)則是通過(guò)裂項(xiàng)求和.【小問(wèn)1詳解】由得，.又，，所以，即，解得或（舍去）.所以（），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，適合上式，故（）.綜上可得：，【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，由題意，有①②①-②得：，則有：..故.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）：連結(jié)交交于點(diǎn)O，連結(jié)，，通過(guò)四棱臺(tái)的性質(zhì)以及給定長(zhǎng)度證明，從而證出，利用線面平行的判定定理可證明面；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理以及基本事實(shí)可證明，即求與平面所成角的正弦值；通過(guò)條件以及面面垂直的判定定理可證明面面，則為與平面所成角，利用余弦定理求出余弦值，即可求出正弦值.【詳解】（1）證明：連結(jié)交交于點(diǎn)O，連結(jié)，，由多面體為四棱臺(tái)可知四點(diǎn)共面，且面面，面面，面面，∴，∵和均為正方形，，∴，所以為平行四邊形，∴，面，面，∴平面（2）∵面，平面，平面，∴，又∵，∴∴求直線m與平面所成角可轉(zhuǎn)化為求與平面所成角，∵和均為正方形，，且，∴，，∴，又∵面，∴∴面，∴面面，由面面，設(shè)O在面的投影為M，則，∴為與平面所成角，由，可得，又∵，∴∴，直線m與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）找兩個(gè)平面的交線，可通過(guò)兩個(gè)平面的交點(diǎn)找到，也可利用線面平行的性質(zhì)找和交線的平行直線；（2）求直線和平面所成角，過(guò)直線上一點(diǎn)做平面的垂線，則垂足和斜足連線與直線所成角即為直線和平面所成角.20、（1）當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求時(shí)的最小值，令，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，成立，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使恒成立，則，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使恒成立，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件得到，，即可得到橢圓的方程.（2）首先設(shè)直線為，與橢圓聯(lián)立得到，根據(jù)得到的范圍，從而得到的范圍.（3）設(shè)重心，根據(jù)重心性質(zhì)得到，，再代入求解即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)樽箜旤c(diǎn)，所以，根據(jù)，可得，解得，