2025屆北京第五中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

2025屆北京第五中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）A.25 B.26C.27 D.283．若直線與圓：相切，則（）A.-2 B.-2或6C.2 D.-6或24．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的離心率為5，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.6．已知橢圓的離心率為，則（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，則（）A. B.C. D.8．?dāng)?shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的第（）A.項(xiàng) B.項(xiàng)C.項(xiàng) D.項(xiàng)9．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種10．已知圓柱的表面積為定值，當(dāng)圓柱的容積最大時(shí)，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.211．已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為，則直線與側(cè)面所成角的正切值為（）A. B.C. D.12．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，成立為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍______.14．拋物線C：的焦點(diǎn)F，其準(zhǔn)線過(guò)（-3，3），過(guò)焦點(diǎn)F傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則p=___________；弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)__________.15．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則＝________.16．已知數(shù)列中，.若為等差數(shù)列，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍18．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，離心率是.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公差；（2）求的最小值.20．（12分）某中學(xué)共有名學(xué)生，其中高一年級(jí)有名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個(gè)年級(jí)中抽取了名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)及圖中的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計(jì)全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，遞增等比數(shù)列滿(mǎn)足，且.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.22．（10分）已知橢圓的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)，且為定值（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.2、C【解析】根據(jù)通項(xiàng)公式及求出，從而求出前8項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為.故選：C3、B【解析】利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出的值.【詳解】圓心為，半徑為，由題意得：，解得：或6.故選：B4、A【解析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)5、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.6、D【解析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D7、D【解析】利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的求和公式可得，解得.故選：D.8、A【解析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)【詳解】數(shù)列為，故通項(xiàng)公式為，是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).故選：A.9、B【解析】由已知可得只需對(duì)剩下3人全排即可【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對(duì)剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B10、B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，則可得，則圓柱的體積為，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值，確定值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，即故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計(jì)算，考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).11、D【解析】根據(jù)題意把直線與側(cè)面所成角的正切值轉(zhuǎn)化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側(cè)面所成角的正切值為.故選：D.12、A【解析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，恒成立，得到，即可求解.【詳解】由題意，命題，成立為真命題，即，恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍.故答案為：.14、①.6；②.48.【解析】先通過(guò)準(zhǔn)線求出p，寫(xiě)出拋物線方程和直線方程，聯(lián)立得出，進(jìn)而求出弦AB的長(zhǎng).【詳解】由知準(zhǔn)線方程為，又準(zhǔn)線過(guò)（-3，3），可得，；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線方程為，和拋物線方程聯(lián)立，，得，故，又.故答案為：6；48.15、4【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得，可得，即數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可得值.【詳解】因?yàn)椋?，即?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，熟練運(yùn)用相應(yīng)的公式即可，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】利用等差中項(xiàng)求解即可【詳解】由為等差數(shù)列，則，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)切線方程；（2）由函數(shù)圖像可知，極大值大于零且極小值小于零，解不等式可得c的取值范圍試題解析：解：（I）由，得因?yàn)椋?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（II）當(dāng)時(shí)，，所以令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：所以，當(dāng)且時(shí)，存在，，，使得由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)18、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)即可代入計(jì)算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、向量數(shù)量積運(yùn)算，推理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，半焦距為c，則離心率，即，有，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，，，，，要使為定值，必有，解得，此時(shí)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性不妨令，，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的任意直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，恒有，所以存在滿(mǎn)足條件.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值19、（1）首項(xiàng)為-2，公差為1；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，再結(jié)合前n項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論，探求數(shù)列的性質(zhì)即可推理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，而為其前n項(xiàng)和，，，于是得：，解得，，所以，.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，，，數(shù)列是遞增數(shù)列，前3項(xiàng)均為非正數(shù)，從第4項(xiàng)起為正數(shù)，而，于是得的前2項(xiàng)和與前3項(xiàng)和相等并且最小，所以當(dāng)或時(shí)，.20、（1）樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為，；（2）；（3）.【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（3）利用頻率分布直方圖可計(jì)算出全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).【小問(wèn)1詳解】解：樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為.，解得.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)中位數(shù)為，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為.【小問(wèn)3詳解】解：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在的頻率為，故全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為.21、（1），（2）【解析】（1）先求，再由求出，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由條件可得，解出結(jié)合條件可得答案.（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法可求【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，也滿(mǎn)足上式，∴，則.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由得，解得或.因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，所以，.【小問(wèn)2詳解】①①①②：∴22、(1)（2）【解析】（1）由拋物線焦點(diǎn)可得c，再根據(jù)離心率可得a，即得b；（2）先設(shè)直線方程x=ty+m，根據(jù)向量數(shù)量積表示，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得為定值的條件，解出m；根據(jù)點(diǎn)到直線距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據(jù)面積公式可得關(guān)于t的函數(shù)，最后根據(jù)基本不等式求最值【詳解】試題解析：解：（1）設(shè)F1（﹣c，0），∵拋物線y2=﹣4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），且橢圓E的左焦點(diǎn)F與拋物