2021屆人教a版（文科數(shù)學(xué)） 空間點(diǎn)線面的位置 關(guān)系 單元測試

2021屆人教A版（文科數(shù)學(xué)）空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系單元測

試

已知三棱柱AB’-/BiJ的側(cè)棱垂直于底面，該棱柱的體積為2#,AB=4,AC=2,

NBAC=60。，若在該三棱柱內(nèi)部有一個(gè)球，則此球表面積的最大值為（）?

A.8nB.（16-8狗匹

C.2nD.（4"回兀

2、如果用□表示1個(gè)立方體，用□表示兩個(gè)立方體疊加，用■表示3個(gè)立方體

疊加，那么圖中由7個(gè)立方體擺成的幾何體，從正前方觀察，可畫出平面圖形是

（）

/正前方

D.

3、如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）

①正方體②圓錐③三棱臺④正四棱錐

①②B.①③C.①④D.②④

4、經(jīng)過點(diǎn)（1,3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（）

A.%+y=4B.y=x+2C.y=3x或x+y=4D.y=3x或

y=x+2

5、一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，這個(gè)三棱柱的側(cè)（左）視圖的面積為6省則這

俯視圖

A.12B.16C.8小D.12m

6、

矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將三角形ABC折起，當(dāng)平面ABCJ?平面ACD時(shí)，四

面體ABCD的外接球的體積是（）。

125125125125

-----n-----n-----n-----n

A.12B.9C.6D.3

7、如圖，已知三棱錐的俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊長為2

的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（）

8、若空間中〃個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)〃的取值（）

A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3

9、已知某幾何體的外接球的半徑為其三視圖如圖所示，圖中均為正方形，則該

幾何體的體積為（)

168

A.16B.3c.3D.8

77

10、已知三棱錐A—88中，AB=AC,ABYAC,BD1DC,ZDBC=-,

6

3

若三棱錐A-BCD的最大體積為則三棱錐/-EG）外接球的表面積為

2

A.4百nB.8nC.12nD.1273n

11、如圖所示的直觀圖中，AOAB的原來平面圖形的面積為

3戊

A.3B.2C.3mD.6

12、如圖，記正方形ABCD四條邊的中點(diǎn)為S,M,N,T,連接四個(gè)中點(diǎn)得小正方形SMNT,

將正方形ABCD、正方形SMNT繞對角線AC旋轉(zhuǎn)一周得到的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積依次記

為ViM,貝廣戶2=（）

13、

有一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的底面半徑相等，此圓錐的母線與底面所成角為60。，若此

圓柱的外接球的表面積是圓錐的側(cè)面積的4倍，則此圓柱的高是其底面半徑的（）。

A.五倍B.2倍C.20倍D.3倍

14、某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為（)

12

B.2+1+羅九C.2+(1+V5)冗D.

n

已知球。半徑為3行，設(shè)S、A、8、C是球面上四個(gè)點(diǎn)，其中

NABC=90,A8=8C=4jI,則棱錐S—ABC的體積的最大值為（）。

A6472D64夜八320n32血

3939

16、

已知正方體的棱長為2,則該正方體的外接球的直徑為（）.（）。

A.V2B.73C.20D.2下）

17、

某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖右側(cè)是半圓，則該幾何體的體積為（）

4+2n4+n2+2n2+n

A.3B.3c.3D.3

18、已知某三棱錐的三視圖（單位前）如圖所示，則該三棱錐的體積是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.6cm'B.2cm"C.3cm'D.1cm3

19、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與左視圖均為半徑是2的圓,這個(gè)幾

20、將長方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為

21、若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

-271-

seas

24

40--n20--n20--n

A.20-2nB.3c.3D.3

22、球。的一個(gè)截面圓的圓心為M,圓M的半徑為b，O用的長度為球O的半徑

的一半，則球O的表面積為（）

A.4萬

C.124

23、如圖，用一邊長為垃的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做

成一個(gè)蛋巢，將體積為？萬的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則

3

雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底面的距離為（）

V33

-------1----

22

24、如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是（）

A.該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體

B.該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)

C.該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形

D.該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形

25、有一個(gè)半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

26、我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器

—商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若乃取3,其體積為12.6（立

方寸），則圖中的x為.

1卜!,5.4卜3T

正視圖惻視圖

俯視圖

27、已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以0為球心的球面上，且cosA二二一,BC=1,AC=3,

3

三棱錐0-ABC的體積為—，則球0的表面積為_________。

6

28、一個(gè)簡單幾何體的主視圖、俯視圖如下圖所示，則其左視圖不可能為

29、已知在直三棱柱ABC-AIB?中，NBAC=12O。，AB=AC=AA1=2,若棱AA】在正視

圖的投影面a內(nèi)，且AB與投影面a所成角為磯30。4846。。）.設(shè)正視圖的面積為m,側(cè)

視圖的面積為n,當(dāng)。變化時(shí)，mn的最大值是.

30、如圖，長方體A3CO-44GA的三個(gè)面的對角線A。，\B,AC的長分

別是3,2,3,則該長方體的外接球的表面積為.

H

31、圓臺上、下底面面積分別為團(tuán)、國，側(cè)面積是畫,這個(gè)圓臺的高為

32、一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四

個(gè)全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點(diǎn)P為頂點(diǎn)，加工成一個(gè)如圖所示的

正四棱錐容器，當(dāng)x=6cm時(shí)，該容器的容積為cm'.

(第11題圖)

33、請將圖中各圖補(bǔ)上適當(dāng)?shù)奶摼€，使它們能比較直觀地看出是立體圖形.

34、面體至少有幾個(gè)面?這個(gè)多面體是怎樣的幾何體？

35、分別畫一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱臺.

36、已知圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4和6的矩形，則該圓柱的表面積為

37、如圖，在三棱錐S-ABC中，SAJ■底面ABC,4ABe=90°,且點(diǎn)4/是

SB的中點(diǎn)，4V-SC且交SC于點(diǎn)N.

(1)求證：SCJ■平面AMN；

(2)當(dāng)AB=BC=1時(shí)，求三棱錐M-SAN的體積.

38、已知正四面體棱長為1,分別求該正四面體的外接球與內(nèi)切球半徑.

39、請給以下各圖分類.

。11AA

(5)(6)(7)(8)

40、下圖為一個(gè)正方體表面的一種展開圖，圖中的線段AB、CD、歷和GH在原正

方體中不在同一平面內(nèi)的共有多少對？

41、如圖所示，正三棱柱的底面邊長是4cm,過BC的一個(gè)平面交側(cè)棱AA'于點(diǎn)

若AO的長為2cm,求截面△BCD的面積.

42、如圖，已知4B是圓柱底面圓。的直徑，底面半徑R=l,圓柱的表面積

為8兀；點(diǎn)C在底面圓。上，且NAOC=120°.

(1)求三棱錐A-4CB的體積;

(2)求異面直線與0C所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

43、一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm,高為4cm,其中有一個(gè)高為xcm的內(nèi)接圓柱:

(1)求圓錐的側(cè)面積；

(2)當(dāng)尤為何值時(shí)，圓柱側(cè)面積最大？并求出最大值.

44、如圖所示，在邊長為5+W的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個(gè)扇形，以0

為圓心畫一個(gè)圓，M,N,K為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓0為圓錐底面,

圍成一個(gè)圓錐，求圓錐的表面積與體積.

參考答案

1、答案C

已知三棱柱ABC-A1B/1的側(cè)棱垂直于底面，AB=4,AC=2,々BAC=60。，

由余弦定理可得：BC=2^,.-.B^+AC^AB2,.-.BC1AC,此直角三角形內(nèi)切圓半徑

2強(qiáng)=—x2x2J3AA].._C

又?.?該棱柱的體積為2\可得A/--,

而22，，若在該三棱柱內(nèi)部有一個(gè)球，則此球半徑的最大值為2,故此球

表面積的最大值為2m.故選C.

名師名師點(diǎn)評先通過計(jì)算得底面為直角三角形，進(jìn)而得內(nèi)切圓半徑為r=43，再根據(jù)

AA,￡

AA-份—=—<5/3-1

體積得高A、-#,比較22,從而得解.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)

切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的

數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正

方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對

角線長等于球的直徑.

2、答案B

分析

根據(jù)題意和圖可知，左邊和右邊各為一個(gè)正方體，當(dāng)中下面為三個(gè)正方體，上面為兩個(gè)

正方體，然后根據(jù)題中定義好的表示方法組合在一起即可.

詳解

由題意和圖可知，左邊和右邊各為一個(gè)正方體，用表示，

當(dāng)中為三個(gè)正方體，用■表示，

上面為兩個(gè)正方體，用□表示，

所以答案B是符合題意的，

故選：B.

名師點(diǎn)評

本題考查幾何體的正視圖的畫法，解題關(guān)鍵是注意用什么樣的小正方形，代表幾個(gè)小正

方體.

3、答案D

4、答案D

5、答案D

設(shè)此三棱柱底面邊長為。，高為人，則由圖示知立。=2百，.-.a=4,側(cè)視圖面積為

2

20x/?=6百，〃=3.這個(gè)三棱柱的體積為由x42x%=12百.故D正確。

4

6、答案C

設(shè)矩形ABCD的對角線AC,BD的交點(diǎn)為點(diǎn)O,

0A=OB=0C=0D=-M+42=-

由矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可知：2丫2,

在翻折過程中。人，。8，比,0。才長度不變，據(jù)此可知點(diǎn)。為球心，

54,4125125

R=0A=一V=—JTR=—rex=n

外接球半徑2,外接球的體積3386.

本題選擇C選項(xiàng).

7、答案C

8、答案C.

〃=3：平面上3點(diǎn)構(gòu)成正三角形，符合題意，〃=4：空間中4點(diǎn)構(gòu)成正四面體，符合

題意，〃=5：顯然任三點(diǎn)不共線，考慮四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正四面體，第5個(gè)點(diǎn)必為正四面

體的外接球的球心，但其半徑與正四面體的棱長顯然不相等，故不成立，故選C.

考查目的：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

9、答案C

由該三視圖可知：該幾何體是一個(gè)正方體，切去四個(gè)角所得的正四面體，其外接球等同

國3a=2

于該正方體的外接球，設(shè)正方體的棱長為a,則有2,故該正四面體的體積為

1138

V=23—x4x-x2=-

323,選C.

10、答案C

取的中點(diǎn)。，連接AO,DO,作于點(diǎn)E,設(shè)AB=AC=x.

AB_LAC,BD1DC

...AO=OB=OC=OD,即。三棱錐A—BCO外接球的球心.

AB=AC,AB1AC

：.AO=OB=OC=OD=—x

2

71

,：ZDBC=-

6

：.CD=—x

2

...DE=—x

4

3

：三棱錐A-BCD的最大體積為-

2

.?.當(dāng)DE為三棱錐A-BCD的高時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大，即

二x=&，則三棱錐A-BCD的外接球的半徑為—xV6=V3.

2

三棱錐A-BCD的外接球的表面積為4萬x（百丫=12兀.

故選C.

名師點(diǎn)評：本小題主要考查幾何體外接球的表面積的求法，考查三角形外心的求解方法.

在解決有關(guān)幾何體外接球有關(guān)的問題時(shí)，主要的解題策是找到球心，然后通過解三角形

求得半徑.找球心的方法是先找到一個(gè)面的外心，再找另一個(gè)面的外心，球心就在兩個(gè)

外心垂線的交點(diǎn)位置.

11、答案D

根據(jù)直觀圖的畫法（斜二測畫法），還原出平面圖形，即可求出平面圖形的面積

詳解

直觀圖4AOB,還原為平面圖形是一個(gè)直角三角形，直角邊長為：3,4;所以它的面積為：

1

-x3x4=6

2故答案為：D

名師點(diǎn)評

求直觀圖面積的關(guān)鍵是，找出實(shí)際圖形中的底邊長和高，實(shí)際圖形中的高線，在直觀圖

中變?yōu)榕c水平線成45°角，長度為原來一半的線段；也就說說，直觀圖還原成實(shí)際圖形,

平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段變成原來的2倍。

12、答案B

將正方形ABCD、正方形SMNT繞對角線AC旋轉(zhuǎn)一周得到的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體分別為同底圓錐的

組合體和圓柱，假設(shè)小正方形邊長為1,求出旋轉(zhuǎn)后的幾何體的底面半徑和高，分別代入

圓錐與圓柱的體積公式，求出兩圓錐的體積以及圓柱的體積，從而可得結(jié)果.

詳解

將正方形ABCD繞對角線AC旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為同底的兩個(gè)圓錐的組合體，

將正方形SMNT繞AC旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓柱,

設(shè)正方形SMNT的邊長為1,則正方形ABCD的邊長為國,

則圓錐的底面半徑和高均為1,

1

圓柱的底面半徑為2,高為1,

1227T/1\2n

V=2x-xnxlx1=—=nx-x1=-

則33\2j4,

V18

-=—

V23,gpVrV2=8:3,故選B.

名師點(diǎn)評

本題主要考查幾何體的體積以及空間想象能力，屬于中檔題.空間幾何體體積問題的常

見類型及解題策：（1）求簡單幾何體的體積時(shí)若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則

可直接利用公式求解；（2）求組合體的體積時(shí)，若所給定的幾何體是組合體，不能直接

利用公式求解，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.（3）求以三視圖為背景的幾

何體的體積時(shí)應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.

13、答案B

設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為r,圓柱的外接球的半徑為R,則4=（4、2

+r2.

12

7

因?yàn)閳A錐的母線與底面所成角為60°,所以圓錐的高為百r,母線長l=2r.

所以圓錐的側(cè)面積為兀lr=2兀/，

所以4成2=4%9+/=4x2/，所以0+r=2,，所以〃2=4’,所以

”2.

r

故選B.

14、答案A

解：由三視圖知幾何體為半個(gè)圓錐，且圓錐的底面圓半徑為1,高為2,

母線長為泥，_

圓錐的表面積S=S?+S71X/+X2X2+XJIXIX泥=2+工坐打.

故選A.

15、答案A

s

根據(jù)題意知，直角三角形血?。的面積為16.其所在球的小

圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，若四面體S-ABC的體積的最大值，由于底面積1A.

不變，高最大時(shí)體積最大，所以，SQ與面ABC垂直時(shí)體積最大.設(shè)球小圓的圓心為

Q,如圖.設(shè)球心為0,半徑為R,則在直角中，OA1=AQ2+OQ2,即

R2=(少+(SQ-R)2,-.?R=372,SQ=472

則棱錐S—ABC的體積最大值為為V=|SMCxSQ="2.

故選A.

名師點(diǎn)評本題考查的知識點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD

的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想思想.

16、答案D

正方體的對角線就是正方體外接球的直徑，

由于正方體的棱長是2,

所以該正方體的外接球的直徑為,2?+2?+2?=2百.

本題選擇〃選項(xiàng).

名師點(diǎn)評：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,

明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切

于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，

正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.

17、答案B

根據(jù)此幾何體的三視圖可知，該幾何體一半是四棱錐，另一半是半圓錐組合而成，所以

1114+n

-xlx2x2+-x-n-12x2=------

其體積為33.故選B.

18、答案D

解：由三視圖知，幾何體是一個(gè)三棱錐，底面是直角邊長為1cm和2cm的直角三角形，

面積是LxiXZWcm?,三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，且長度是3cm,這是三棱錐的高,

2

.?.三棱錐的體積是」XlX3=lcm\故選D

3

19、答案B

由三視圖可知，該幾何體是球去掉四分之一后剩余的部分，

，“同nX2-8JI.

20、答案D

由于對角線被擋住，看不到，畫成虛線，注意位置.

21、答案C

首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)，然后求解其體積即可.

詳解

由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)四棱柱去掉半個(gè)球形成的組合體，

其中，棱柱的底面為對角線為2亞的正方形，則其邊長為a=2,高為h=5,

球的直徑為正方形的邊長，則其半徑R=i,

142

V=22x5—x-xnx13=20—n

據(jù)此可知，組合體的體積233.

本題選擇C選項(xiàng).

名師點(diǎn)評

（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及

直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體

積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

22、答案D

由題設(shè)可得=3,即R=2,故S=4乃x4=16%.故應(yīng)選D.

4

考查目的：球的半徑及球心距之間的關(guān)系球的面積公式等知識的綜合運(yùn)用.

23、答案D

由題得，蛋巢的底面是邊長為1的正方形，故經(jīng)過4個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑

為1,由于雞蛋的體積為47竺r，故雞蛋（球）的半徑為1,故球心到截面圓的距離為

3

J1一出=與，而垂直折起的4個(gè)小直角三角形的高為;，故雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底

面的距離為走+1+L正+-,故選D.

2222

考查目的：組合幾何體的面積、體積問題

24、答案D

根據(jù)幾何體的直觀圖，得出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，由此判斷選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D

錯(cuò)誤.

詳解

根據(jù)幾何體的直觀圖，得

該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體，

且有棱MA、MB、MC、MD,AB、BC、CD、DA、NA、NB,NC和ND,共12條；

頂點(diǎn)是M、A、B、C、D和N共6個(gè)；

且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共個(gè)，且每個(gè)

面都是三角形.

所以選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:D.

名師點(diǎn)評

本題考查了利用空間幾何體的直觀圖判斷幾何體結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

15

25、答案—I—二萬

36

由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個(gè)半球，下部是一個(gè)四棱錐,

半球的直徑為棱錐的底面對角線，

由棱錐的底底面棱長為1,可得2R=O.故R=包,

2

故半球的體積為：

3

棱錐的底面面積為：1,高為1,故棱錐的體積V=

3

故組合體的體積為'+也萬

16

即答案為二+半乃

名師點(diǎn)評本題考查由三視圖還原幾何體，并求其體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判

斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵.

26、答案1.6

由圖可得7x（；）xx+3xlx（5.4—x）=12.6=>x=1.6.

考查目的：1、三視圖；2、體積.

方法點(diǎn)晴本題主要考查三視圖和體積，計(jì)算量較大，屬于中等題型.應(yīng)注意把握三個(gè)視

圖的尺寸關(guān)系：主視圖與俯視圖長應(yīng)對正（簡稱長對正），主視圖與左視圖高度保持平

齊（簡稱高平齊），左視圖與俯視圖寬度應(yīng)相等（簡稱寬相等），若不按順序放置和不

全時(shí)，則應(yīng)注意三個(gè)視圖名稱.此外本題應(yīng)注意掌握柱體的體積公式.

27、答案16不

設(shè)球的半徑為R,AABC的外接圓半徑為r,球心0到截面ABC的距離為d,由

人2近伯..1

cosA=----得，sinA=—,

I2=BC~=AC2+AB'-2ACxABcosA=9+AB2-2x3ABx,解得AB=2>/2,

3

所以ACsinA=夜，所以％-.BC==Jx&x"=，解得

233。

d=—,由正弦定理知，2廠匹-=5=3,所以r=3,由球的截面性質(zhì)知，

2sinA12

3

R=yjr2+d2=2,所以球0的表面積為47/?2=16乃.

28、答案直角梯形

當(dāng)幾何體是一個(gè)長方體，其中一個(gè)側(cè)面為正方形時(shí)，A可能；當(dāng)幾何體是橫放的一個(gè)圓

柱時(shí)，B可能；當(dāng)幾何體是橫放的三棱柱時(shí)，C可能.于是只有D不可能.故選D.

29、答案12而

利用AB與投影面a所成角為“BA。=120°,AB=AC=2,AA】=2/BAD=6,將正視圖的面積m

和側(cè)視圖的面積n用。的三角函數(shù)表示，利用輔助角公式結(jié)3?！?8460°,可求解mn的最

大值.

詳解

AB與投影面a所成角為。時(shí)，平面ABC如圖所示，

0

???BC=Z^ZACE=60-6(

???BD=ABsin6,DA=ABcos&AE=ACcos(60°-9)；

ED=DA+AE=2cos(60°-0)+2cosG；

故正視圖的面積為m=ED*AM4[COS(6O0-0)+cosG]

側(cè)視圖的面積為n=BDxAA廣4sin。，

mn=16sin0[cos(6O°-0)+cos9|

=16sin0[cos6O0cos0+sin0sin6O°+cos0]

12sin20+8J3sin0

=8^0(26-30°)+4^5

v30°<0<60°,.*.30°<26-30°<90°,

故mn的最大值12區(qū)故答案為12亞

名師點(diǎn)評

本題考查了三視圖的投影的認(rèn)識和理解，以及二倍角公式與利用輔助角公式求最值，屬

于中檔題.求與三角函數(shù)有關(guān)的最值常用方法有以下幾種：①化成y=asin2x+bsinx+q^j

asinx+b

形式利用配方法求最值；②形如,-csinx+d的可化為sinx=(P(y)的形式利用三角函數(shù)有界

性求最值；③丫=asinx+bcosx型，可化為丫=/+b2$in(x+⑼求最值.

30、答案11%

724.02

設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,仇c,所以/+/+02=:一=故長方體的

2

外接球的直徑為2R=yja2+b2+c2=VT1,所以長方體的外接球的體積為4萬R2=11兀。

31、答案同

由于圓臺的側(cè)面積公式為S圓臺仞廣萬(R+r)/.所以母線所以由半徑差與高即母線

構(gòu)成的直角三角形可解出高等于?.故填畫.本小題關(guān)鍵是通過側(cè)面積求出母線的

長，從而利用重要的直角三角形解出圓臺的高.

32、答案48

33、答案用虛線把被平面遮住的部分畫出，如下圖的立體圖形.

①②③④

34、答案多面體至少有4個(gè)面，它是三棱錐.

35、答案畫三棱錐可分三步完成

第一步：畫底面---畫一個(gè)三角形；

第二步：確定頂點(diǎn)一一在底面外任一點(diǎn)；

第三步：畫側(cè)棱一一連結(jié)頂點(diǎn)與底面三角形各頂點(diǎn).

==

阿四棱可分三步完成

第一步：畫一個(gè)四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開始，順次在各個(gè)面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段

平行的線段?

第三步;將M余線段擦去.

24+2或24+±

36、答案""

37、答案：：(1)證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發(fā)給予

證明，而線線垂直的證明與尋找，往往從兩個(gè)方面，一是利用線面垂直性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為

線線垂直，另一是結(jié)合平幾條件，如本題利用等腰三角形底邊中線性質(zhì)得AM，SB(2)

求三棱錐體積，關(guān)鍵在于確定高，即線面垂直.由(1)得SCI平面AMN,因此

VM-SMN=VS-AMN=3AAMNSN,這樣只需在對應(yīng)三角形中求出對應(yīng)邊即可?

試題(1)SA底面ABC,???BC1SA,BC1AB,BC1?面SAB/BCAM,又因?yàn)镾A=AB,M

是SB的中點(diǎn)，二AM±SB,???AM1面SBC,SC1AM由已知AN1SC,???SC1平面AMN.

(2)???SCJ?平面AMN,二SN1平面AMN,而SA=AB=BC=1,???AC=SC=由，又

AN±SC,AN=-X???AMJ■平面SBC,AM1MN而

3

母m1也加由11

AM=—,???MN=—,???=XYXT=77'"VS-AMN=7SAAMN'SN=

2622612336

__1

\'M-SMN=''s-AMN=W

考查目的：線面垂直判定與性質(zhì)定理，三棱錐體積

思想名師點(diǎn)評垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

38、答案逅，逅

412

試題分析：設(shè)正四面體為PABC,兩球球心重合，設(shè)為0.

設(shè)P0的延長線與底面ABC的交點(diǎn)為D,則PD為正四面體PABC的高，PDL底面ABC,且

P0=R,0D=r,0D=正四面體PABC內(nèi)切球的高.

設(shè)正四面體PABC底面面積為S.

將球心0與四面體的4個(gè)頂點(diǎn)PABC全部連接，

可以得到4個(gè)全等的正三棱錐，球心為頂點(diǎn)，以正四面體面為底面.

每個(gè)正三棱錐體積％=!？S?r而正四面體PABC體積V2=!?S?（R+r）

33

11

所

以4?-?s?r=-?s?

根據(jù)刖面的分析，4?VFV2,33(R+r),

3i

所以R=3r,所以R尸。"