2021屆人教a版（文科數(shù)學(xué)）立體幾何（選擇題填空題）單元測試

專題05立體幾何（選擇題、填空題）

己知三棱錐尸-ABC的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,AA8C是邊長為2的正三角形，E,F分

別是南,AB的中點，ZCEF=90°,則球。的體積為

A.8遍兀B.4a兀

C.2匹nD.匹n

答案D

解法一：?.?/%=P6=PC,△ABC為邊長為2的等邊三角形，.ABC為正三棱錐，

:.PB±AC，又E，尸分別為P4，的中點，P8，.?.所J_AC，又EF上CE，

CEC\AC=C,EF_L平面PAC,：.PB，平面PAC,:.ZAPB=90°,PA=PB=PC=O,

ABC為正方體的一部分，2R=J2+2+2=遍,即

/?=—,.-.V=-7T/?，=-71X^=7671.故選D.

2338

解法二：設(shè)Q4=PB=PC=2x,瓦E分別為尸448的中點，，所〃必，口￡/='/>8=%,

2

?.?△A8C為邊長為2的等邊三角形，，。/二百，

又NC￡F=90°,:.CE^yj3-x2,AE^-PA=x,

2

△A￡C中，由余弦定理可得cosZEAC=**一住巧,

2x2xx

作尸DJ_AC于。，

?:PA=PC、\。為AC的中點，cosZE4C=—3+r=J_,

PA2x4x2x

2x?+1=2?x~——,x——'PA-PB=PC-V2>

22

又AB=BC=AC=2,兩兩垂直，

2R=y/2+2+2=V6..-.V=-7t/?3=-7tx—=故選D.

2338

名師點評本題主要考查學(xué)生的空間想象能力，補體法解決外接球問題.可通過線面垂直定理，得到三棱

兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進而補體成正方體解決.

2.設(shè)a,P為兩個平面，則a〃夕的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與￡平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與￡平行

C.a,“平行于同一條直線D.a,尸垂直于同一平面

答案B

由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是a〃6的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知,

若a〃尸，則a內(nèi)任意一條直線都與月平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與萬平行是a〃尸的必要條件，

故選B.

名師點評本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面

平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的

錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如："若a<=a,。u￡,a〃力，則a〃4”此類的錯誤.

3.如圖，點N為正方形ABC。的中心，為正三角形，平面ECZ)J_平面A8C￡>,M是線段ED的中點,

則

M,

B

N

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM*EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM豐EN,且直線BM,EN是異面直線

答案B

如圖所示，作石十O,連接ON,BD,易得直線BM,EN是三角形的中線，是相交直線.

過M作于尸，連接B尸,

???平面CDEL平面A8CO,后0,^^石^匚平面⑺七一二七0工平面/^。。，MF_L平面ABQ9,

與△EON均為直角三角形.設(shè)正方形邊長為2,易知EO=6,ON=1,EN=2,

MF=—,BF=-,：.BA/=V7，:.BM手EN,故選B.

22

名師點評本題考查空間想象能力和計算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.解答本題時，先利用垂

直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進而解決問題.

4.祖咂是我國南北朝時代的偉大科學(xué)家，他提出的“事勢既同，則積不容異”稱為祖唾原理，利用該原理可

以得到柱體的體積公式Vm=Sh,其中S是柱體的底面積，〃是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示（單

位：cm）,則該柱體的體積（單位：cm3）是

A.158

C.182

答案B

由三視圖得該棱柱的高為6,底面可以看作是由兩個直角梯形組合而成的，其中一個上底為4,下底為6,

2+64+6]

高為3,另一個的上底為2,下底為6,高為3,則該棱柱的體積為------X3J-------x3x6=162.

22

故選B.

名師點評本題首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體——棱柱，根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計算幾何體的體積，

常規(guī)題目.難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、視圖用圖能力、基本計算能力的考查.易錯點有二，一是不能正確

還原幾何體；二是計算體積有誤.為避免出錯，應(yīng)注重多觀察、細(xì)心算.

5.設(shè)三棱錐J48c的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱%上的點（不含端點）.記直線PB與直線

AC所成的角為a,直線P8與平面ABC所成的角為人二面角P-AC-B的平面角為y,則

A.p<y,a<yB./f<a,fi<y

C.fi<a,y<aD.a<fi,y</i

答案B

如圖，G為AC中點，連接VG,V在底面ABC的投影為0,則P在底面的投影。在線段AO匕過。

作上垂直于ACTE,連接PE,BD,易得PE〃VG,過P作尸尸〃4。交出丁連接8尸，過。作

DH//AC.交BG于H,則a=NBPF,。=NPBD,y=NPED,結(jié)合△PF8,4BDH,△尸。8均為直

五一公r加PFEGDHBD

角二角形，可得cosa="~'='——?=---<_-=cos萬,即a>〃o；

PBPBPBPB

PDPD

在RsPE。中，tan/=—>—=tan/7,即/>￡,綜上所述，答案為B.

V.

名師點評本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以

及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識求解，而后比較大小.而充分利用

圖形特征，則可事倍功半.常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯誤有，不能正確作圖得出各種角，未能想到利用“特殊

位置法“，尋求筒便解法.

6.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱

表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為8,則在此圓柱側(cè)面上，從/到N的路徑中，最短路徑的長度為

A.2V17B.275

C.3D.2

答案B

根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，知點M在上底面上，點N在下底面上，且可以確定點M和點N

分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所

求的最短路徑的長度為、訴娶=2#，故選B.

名師點評該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明

確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，

利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.

7.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面1所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最

大值為

3G2V3

A.

~T~亍

372

rny/3

42

答案A

根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，

所以在正方體ABCD-\B,CXD｝中，

平面A5A與線4\，4與，4。所成的角是相等的,

所以平面AgA與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的,

同理，平面GBD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的,

要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面與GBO中間，且過棱的中點的正六邊形，且

邊長為也,

2

G㈤2

所以其面積為3&

S=6x--4-Xl--2--J=--4---故選A.

名師點評該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務(wù)是需要先確定截

面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點的正六邊形，利用

六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.即首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條

棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的

位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.

8.中國古建筑借助梯卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫梯頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的

小長方體是樺頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件

的俯視圖可以是

ABCD

答案A

本題主要考查空間幾何體的三視圖.由題意知，俯視圖中應(yīng)有一不可見的長方形，且俯視圖應(yīng)為對稱圖形.

故選A.

9.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cnP）是

俯視圖

A.2B.4

C.6D.8

答案C

根據(jù)三視圖可得幾何體為一個直四棱柱，高為2,底面為直角梯形，上、下底分別為1,2,梯形的高

為2,因此幾何體的體積為gx（l+2）x2x2=6,

故選C.

名師點評先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀，再在具體幾何體中求體積或表面枳等.

10.設(shè)A，B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，“臺。為等邊三角形且其面積為96,則三棱

錐。-A8C體積的最大值為

A.125/3B.18>/3

C.246D.546

答案B

如圖所示，設(shè)點M為三角形ABC的重心，E為AC中點,

D

?O

當(dāng)點￡>在平面ABC上的射影為M時，三棱錐O—ABC的體枳最大，此時，OD=OB=R=4,

S/\ABC=￥AB?=96-AB=6.???點M為三角形ABC的重心，；.BM=,BE=26

.,.RtZ^OBM中，有OM=dOB2-BM?=2,：DM^OD+OM=4+2=6,

???(^fic)max=1x9>5x6=18V3,故選B.

名師點評本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，

判斷出當(dāng)點D在平面ABC上.的射影為三角形ABC的重心時，三棱錐D-A5C體積最大很關(guān)鍵，由M

為三角形ABC的重心，計算得到BM=|BE=26,再由勾股定理得到。M,進而得到結(jié)果，屬于

較難題型.

11.在長方體中，AB=BC=\,A^=x/3,則異面直線AR與。片所成角的余弦值為

石

-一

-

A.C56

B.

及

立D.

一

52

答案C

方法一：用一個與原長方體相同的長方體拼到原長方體的前面，如圖，則與尸〃AR,連接。尸，易求

得￡>4=OP=石，B[P=2,則/。與P是異面直線A。與。片所成的角，

由余弦定理可得3"4八*+次-叱=注=立

'2DB-PB14后5

故選C.

21

方法二：以。為坐標(biāo)原點，D4,OC,。。所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則力（0,0,0）,A（1,0,0）,4（1,1,6）,2（0,0,白1所以礪后）,瓶=（1,1,石），

/4.7TD*\AD]?DB]—1+3y/5

因為c國四,m〉=畫畫=互存=彳，

所以異面直線AA與。及所成角的余弦值為夸，故選C.

名師點評先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線

線角相等或互補關(guān)系求結(jié)果.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建

恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出

直線的方向向量或平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)

12.己知平面a,直線施,〃滿足，"0a,〃ua,則“/n〃知'是"施〃a”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

因為mCa,兀ca,m//n＜所以根據(jù)線面平行的判定定理得m〃a.由m〃a不能得出m與a內(nèi)任一直線平行,

所以是m〃a的充分不必要條件，故選A.

名師點評充分、必要條件的三種判斷方法：

（1）定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假.并注意和圖示相結(jié)合，例如“p=q”為真，則p是q的

充分條件.

（2）等價法：利用pnq與非正非p,qnp與非尸非q,pQq與非q=非p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論

是否定式的命題，一般運用等價法.

（3）集合法：若4=8,則4是8的充分條件或B是2的必要條件；若4=8,則4是B的充要條件.

13.己知四棱錐S-ABC。的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段A8上的點（不含端點），設(shè)SE與BC

所成的角為仇，SE與平面ABC。所成的角為仇，二面角S-4B-C的平面角為仇，則

A.0\<6I<!9->.B.

C.01<ft<02D.02<ft<01

答案D

設(shè)。為正方形A8CQ的中心，M為A8中點，過E作8c的平行線EF,交C。于F,過。作ON垂直

EF于N,連接SO,SN,SE,SM,OM,OE,則SO垂直于底面4BCD,垂直于A8,

因此ZSEN=q,ZSEO=d2,ZSMO="，

,,cSNSNSOSO

從而tan"=---=----Jan”n，=---Jan/n=----,

1ENOM2EO3OM

因為SN>SO,EO>OM,所以tanq>tan。,>tan4,即0]>03>02,

故選D.

名師點評分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小

關(guān)系.

14.已知直三棱柱ABC—中，ZABC=120°,AB=2，BC=C6=1，則異面直線A用與BC；所

成角的余弦值為

A.立B.巫

25

「Mn73

53

答案C

如圖所示，補成直四棱柱—,

則所求角為NBC]D,?;BC,=C,BD=>/22+l-2x2xlxcos60°=耳,C、D=AB\=后,

易得=8。2+8。:，因此cos/B￡D=3=半=典，故選C.

CQyJ55

名師點評平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面

問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面宜線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角：

③計算：求該角的值，常利用解三角形；

TT

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是(0,—],當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面

2

直線所成的角.求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.

15.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長

為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為

A.10B.12

C.14D.16

答案B

由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如下圖，則該幾何體各面內(nèi)只有兩個相同的梯

形，則這些梯形的面積之和為2X(2+4)X2X'=12,故選B.

2

名師點評三視圖往往與幾何體的體積、表面積以及空間線面關(guān)系、角、距離等問題相結(jié)合，解決此類問

題的關(guān)鍵是由三視圖準(zhǔn)確確定空間幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征并且熟悉常見幾何體的三視圖.

16.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為

H—2-?1

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.372B.26

C.272D.2

答案B

幾何體是四棱錐P-ABCD,如圖.

最長的棱長為補成的正方體的體對角線，

即該四棱錐的最長棱的長度為/=亞百百=2百?

故選B.

名師點評本題考查了空間想象能力，由三視圖還原幾何體的方法:

或者也可根據(jù)三視圖的形狀，將幾何體的頂點放在正方體或長方體里面，便于分析問題.

17.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱

截去一部分后所得，則該幾何體的體積為

A.90KB.63K

C.42nD.36兀

答案B

由題意，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3,高為4的圓柱，其體積

=7tx32x4=36n,上半部分是一個底面半徑為3,高為6的圓柱的一半，其體積

1,

V2=—X(TIX3'x6)=27K,故該組合體的體積V=K+匕=36兀+27兀=63兀.

故選B.

名師點評在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，

空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實

際形狀時，?般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾

何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)

體積公式求解.

18.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為

4

n

D.-

4

答案B

繪制圓柱的軸截面如圖所示:

由題意可得：AC=l,AB=g,結(jié)合勾股定理，底面半徑「=/12—（gj=*，

由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是丫=兀尸〃=兀*1=（兀，故選8.

名師點評（1）求解空間幾何體體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用

相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形

法等方法進行求解.

19.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cn?）是

71,

A.—+1

2

3兀,

C.----F1

2

答案A

根據(jù)所給三視圖可還原兒何體為半個圓錐和半個棱錐拼接而成的組合體，所以，兒何體的體積為

V=-X3X（7IX^+—x2xl）=—+1,故選A.

3222

名師點評思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等“

的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾

何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：（1）

首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；（2）觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、

右的高度；（3）畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.

20.如圖，己知正四面體。一ABC（所有棱長均相等的三棱錐），P,Q,R分別為A8,BC,CA上的點，

BQCR°

AP=PB,—=—=2,分別記二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角為C,,則

QCRA

A.y<a</3B.a<y</3

C.a</3<yD./3<y<a

答案B

設(shè)。為三角形A8C中心，則。到PQ距離最小，。到PR距離最大，。到R。距離居中，而三棱錐的高

相等，因此＜夕，所以選B.

名師點評立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考重點考查的考點與熱點.這類問題的設(shè)置一般有

線面位置關(guān)系的證明與角度距離的計算等兩類問題.解答第一類問題時一般要借助線面平行與垂直的判

定定理進行；解答第二類問題時先建立空間直角坐標(biāo)系，運用空間向量的坐標(biāo)形式及數(shù)量積公式進行求

解.

21.學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱

錐O—EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體的中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點，

A3=8。=6cm,44,=4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cnP,不考慮打印損耗，制作該模型所

需原料的質(zhì)量為___________g.

答案118.8

1,

由題意得，S四邊形EFGH=4x6-4x]x2x3=12cnr,

???四棱錐?的高為—研十12><3:12向.

又長方體ABCD-4耳GA的體積為%=4x6x6=144cm3,

所以該模型體積為V=匕一%-EFGH=144-12=132cn?,其質(zhì)量為0.9x132=118.8g.

名師點評本題考查兒何體的體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求

解.根據(jù)題意可知模型的體積為長方體體積與四棱錐體積之差進而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量

即可.

22.某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為I,

那么該幾何體的體積為.

答案40

如圖所示，在棱長為4的正方體中，三視圖對應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱VP24-NQG4之后余

卜的幾何體,

則幾何體的體積V=43-gx(2+4)x2x4=40.

名師點評本題首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體，再根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計算幾何體的體積.屬于中等

題.(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面

的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常

用等積法、分割法、補形法等方法進行求解.

23.己知/,加是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：

①山?、趍〃a；③/_La.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：.

答案如果/±a,m//a,則/

將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：

(I)如果/_La,加〃a,則/正確；

(2)如果/J_a,/_Lm,則"?〃a,不正確，有可能加在平面1內(nèi)；

(3)如果/_L/〃，m//a,貝/J_a,不正確，有可能/與Q斜交、I//a.

故答案為：如果/±a?rn//a,則l±m(xù).

名師點評本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.將所給論斷，分別作

為條件、結(jié)論加以分析即可.

24.已知四棱錐的底面是邊長為血的正方形，側(cè)棱長均為岔.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條

側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.

答案:

4

由題意，四棱錐的底面是邊長為正的正方形，側(cè)棱長均為君，借助勾股定理，可知四棱錐的高為

75^1=2.

若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，?個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的

高為1，圓柱的底面半徑為工，

2

故圓柱的體積為兀xl=：

名師點評根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑.注意本題中圓柱的底面半徑是棱錐底面

對角線長度的一半、不是底邊棱長的一半.

25.如圖，長方體ABCO—AgGA的體積是120,E為CG的中點，則三棱錐E-BCD的體積是▲.

答案10

因為長方體的體積為120,所以A3-3CCC1=120,

因為E為CG的中點，所以CE=gcG，

由長方體的性質(zhì)知CG，底面A3CD,

所以CE是三棱錐￡—BCD的底面BCD上的高，

所以三棱錐七—3。。的體積\/=！乂！4&8。.慮==1*，488。,。。1=’、120=10.

3232212

名師點評本題蘊含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注意理清

整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割"與“補''的方法解題.由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得

三棱錐的體積.

26.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但

南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊

形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂

點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱長為

.（本題第一空2分，第二空3分.）

答案26,72-1

由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個面，計18個面，第二層共有8個面,

所以該半正多面體共有18+8=26個面.

如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為x,則AB=6E=x,延長C8與FE的延長線交于點G,延長交

正方體的棱于”，由半正多面體對稱性可知，△BGE為等腰直角三角形，

BG=GE=CH=與x,；.GH=2x與x+x=（五+Dx=l，

X——7=--=y/2—1,

V2+1

即該半正多面體的棱長為0-1.

名師點評本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡

單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵.立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形.

27.如圖所示，正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為.

答案士

3

由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1,底面正方形的邊長等于淄，

所以該多面體的體積為2x；xlx（J5『=§.

名師點評解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件

構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積

公式的幾何體進行解決.

28.已知正方體ABC。-的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E,F,

G,H,M（如圖），則四棱錐M—EFG”的體積為.

答案_1

12

由題意可得，底面四邊形EFG”為邊長為正的正方形，其面積隰弋1，

~2S四邊形=2

頂點M到底面四邊形EFGH的距離為“_1，由四棱錐的體積公式可得：?_1*1乂1_1.

a-2EFGH-3X2X2~12

名師點評本題主要考查四棱錐的體積計算，空間想象能力等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求

解能力.

7

29.已知圓錐的頂點為S,母線S4,S3所成角的余弦值為京，S4與圓錐底面所成角為45。，若△S46的

面積為5/，則該圓錐的側(cè)面積為.

答案40匹兀

因為母線S4,S3所成角的余弦值為（，所以母線￡4，S3所成角的正弦值為史，因為△SAB的

88

面積為5>/15，設(shè)母線長為/,所以‘x/2x"l=5后,.?.『=80,

28

因為￡4與圓錐底面所成角為45°,所以底面半徑為r=/cos-=—/,

42

因此圓錐的側(cè)面積為兀〃=注冗尸=40及無

2

名師點評本題考查線面角、圓錐的側(cè)面積、三角形面積等知識點，考查學(xué)生空間想象與運算能力.先根

據(jù)三角形面積公式求出母線長，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)

果.

30.如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為0.0,E,尸為圓O

上的點，&DBC,4ECA,△布B分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC,

CA,A8為折痕折起△QBC,4ECA,使得￡>,E,F重合，得到三棱錐.當(dāng)"BC的邊長變化時，

所得三棱錐體積（單位：cn?）的最大值為.

答案4

如下圖，連接。。交BC于點G,設(shè)D,E,F重:合于S點，正三角形的邊長為x（x>0）,則OG△x且x=@x.

326

/o

FG=SG=5--x，

6

設(shè)"(3)=5/一-y-x5>x>0,則〃<x)=20d,

令〃'(x)=0=0,得工=46，易知〃(x)在片4代處取得最大直

.?.嗑X=—x48xV5^4=4V15.

名師點評對于三棱錐最值問題，需要用到函數(shù)思想進行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖

形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解決，當(dāng)變量

是高次時需要用到求導(dǎo)的方式進行解決.

3L2。2。年高考山東理數(shù)由一個長方體和兩個:圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體