福建省泉州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期泉州市高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)本試卷共20題，滿分150分，共8頁(yè).考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在草稿紙、試題卷上答題無效.3.選擇題答案使用鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào);非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B., C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意集合，，則，故選：A2已知角終邊上有一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合正切函數(shù)的定義，即可得答案.【詳解】由題意知角終邊上有一點(diǎn)，故，故選：B3.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由作差法逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由題意，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意，即，故C正確；對(duì)于D，由題意，即，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意首先得，根據(jù)它的定義域、單調(diào)性以及它所過定點(diǎn)即可得解.【詳解】由題意函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，解得，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且過定點(diǎn)，對(duì)比選項(xiàng)可知A符合題意.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由題意，所以，化簡(jiǎn)得，因，所以，所以，解得.故選：B.6.若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷時(shí)，，無最大值，由判斷在時(shí)的單調(diào)性，可得單調(diào)性，確定最大值，結(jié)合題意列出不等式，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，無最大值；又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，結(jié)合題意可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.7.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義以及函數(shù)的單調(diào)性,一一判斷各選項(xiàng)中的函數(shù)性質(zhì)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A，為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，正確；對(duì)于C，設(shè)，定義域?yàn)镽，滿足，故函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，故在R上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，設(shè)，定義域?yàn)镽，且滿足，故為奇函數(shù)；又在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞減，故在R上單調(diào)遞增，D正確，故選：BCD8.生物研究小組觀察發(fā)現(xiàn)，某地區(qū)一昆蟲種群數(shù)量在8月份隨時(shí)間（單位：日，）的變化近似地滿足函數(shù)，且在8月1日達(dá)到最低數(shù)量700，此后逐日增長(zhǎng)并在8月7日達(dá)到最高數(shù)量900，則（）A.B.C.8月17日至23日，該地區(qū)此昆蟲種群數(shù)量逐日減少D.8月份中，該地區(qū)此昆蟲種群數(shù)量不少于850的天數(shù)為13天【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)最小正周期，即可求得，判斷A；結(jié)合函數(shù)的最值可確定的值，判斷B；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及周期，可判斷C；根據(jù)函數(shù)最小值求出，可得函數(shù)解析式，由題意列出不等式，求得t的范圍，結(jié)合k的取值，即可判斷D.【詳解】不妨設(shè)8月1日時(shí)為，則設(shè)T為最小正周期，則，即，A正確；又，B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為12，所以種群數(shù)量從8月13日至19日逐漸增加，從8月19日至25日逐漸減少，C錯(cuò)誤；由以上分析可知，當(dāng)時(shí)，y取到最小值100，即，故，則，令，則，則，即，故或或，共13天，D正確，故選：AD9.定義在上奇函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.2是的一個(gè)周期C.是的一個(gè)對(duì)稱中心 D.為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，直接由奇函數(shù)性質(zhì)得；對(duì)于B，首先得，進(jìn)一步有以及，由此即可判斷；對(duì)于C，由對(duì)稱軸、對(duì)稱中心即可得解.【詳解】定義在上的奇函數(shù)滿足，所以，故A正確；且，所以，即的周期是4，不是2，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋缘膶?duì)稱軸為，又為的一個(gè)對(duì)稱中心，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；因?yàn)?，所以，即為偶函?shù)，故D正確.故選：ACD.10.已知，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，結(jié)合基本不等式即可判斷A；結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，利用基本不等式可判斷B；將化為關(guān)于x的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷是C；通過變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可判斷D..【詳解】對(duì)于A，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，A正確；對(duì)于B，由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即的最大值為，B正確；對(duì)于C，又，得，故由于，而對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞減，在上無最值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，故，由于，故，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了基本不等式的應(yīng)用，主要是求最值問題，難點(diǎn)是選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要通過變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡相應(yīng)位置.11.已知，則_____________.（結(jié)果用表示）【答案】【解析】【分析】直接由換底公式即可得解.【詳解】由題意.故答案為：.12.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_________.【答案】1【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，分類討論k的取值范圍，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求得答案.【詳解】由題意知在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，綜合可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，故答案為：113.對(duì)于任意且，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).若的圖象也過點(diǎn)，則____.【答案】【解析】【分析】由題意首先得，然后代入得，由此即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒過定點(diǎn)，所以，所以，所以，又的圖象也過點(diǎn)，所以，又，解得，所以.故答案為：.14.將函數(shù)圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若對(duì)于任意，總存在唯一的.使得，則的取值范圍為_____________.【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)圖象變換以及三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，令，則，因?yàn)闀r(shí)，所以，因?yàn)閷?duì)于的任意取值，在上有唯一解，即在上有唯一解，如圖所示：由圖可知，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到在上有唯一解，畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合即可順利得解.四、解答題：本大題共6題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.集合.（1）若，求（2）若是的充分條件，求的取值范圍.【答案】15.或；16.【解析】【分析】（1）解不等式求出集合A，根據(jù)集合補(bǔ)集以及并集運(yùn)算，即可求得答案；（2）根據(jù)是的充分條件，可得，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【小問1詳解】由，解得，則，時(shí)，，故或，；【小問2詳解】因?yàn)?，，而是的充分條件，故，故，解得.16.已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且滿足.（1）求的解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間；（3）對(duì)于任意，函數(shù)在上都存在一個(gè)最大值，寫出關(guān)于的函數(shù)解析式.【答案】（1）（2）圖象見解析，（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用待定系數(shù)法，求出，即得答案；（2）化簡(jiǎn)為分段函數(shù)形式，即可作出其圖象，根據(jù)圖象可得單調(diào)遞增區(qū)間；（3）結(jié)合圖象求出時(shí)，時(shí)，，分段討論t的取值范圍，即可得M的表達(dá)式.【小問1詳解】設(shè)，由于二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，故，由，得，即，故，故；【小問2詳解】，作出其圖象如圖：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間；【小問3詳解】由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故.17.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（1）求的最小正周期和對(duì)稱軸方程：（2）已知,求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)的表達(dá)式，結(jié)合其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求出a的值，可得的解析式，即可求得最小正周期，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求得其對(duì)稱軸方程；（2）由得出，利用二倍角公式可求出的值，再利用誘導(dǎo)公式即可求得，即得答案.【小問1詳解】由題意得，該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，即，解得，故，則的最小正周期為；令，則，即的對(duì)稱軸方程為；【小問2詳解】因?yàn)?，故，則，故.18.已知.（1）證明是奇函數(shù)，并說出在其定義域上的單調(diào)性；（2）若存在實(shí)數(shù)和，使得，且，求的取值范圍.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）直接由奇函數(shù)的定義證明即可，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性證明即可.（2）首先得在有解，等價(jià)轉(zhuǎn)換為在上有解，分類討論即可得解.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是奇函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞減.【小問2詳解】因?yàn)椋瞧婧瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，由題意得在有解，，令，則，令，則，由得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，或時(shí)，，所以，在有解，等價(jià)于在上有解.當(dāng)時(shí)，，因，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得，所以在上有解，所以的取值范圍為.19.某物品上的特殊污漬需用一種特定的洗滌溶液直接漂洗，表示用個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗一次以后，殘留污漬量與原污漬量之比.已知用1個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗一次，可洗掉該物品原污漬量.（1）寫出的值，并對(duì)的值給出一個(gè)合理的解釋；（2）已知，①求；②“用個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗一次”與“用個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗兩次”，哪種方案去污效果更好？【答案】（1）；解釋見解析（2）①1，2；②答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意即可確定的值，并得出的值的一個(gè)合理的解釋；（2）①根據(jù)，結(jié)合函數(shù)解析式，即可求得答案；②求出兩種方案下的殘留污漬量，作差比較大小，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】由題意得，的值表示的含義為沒有用洗滌溶液漂洗，殘留污漬沒有變化；【小問2詳解】①，由，，得；又，則，②，設(shè)清洗前物品上污漬殘留量為單位1，“用個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗一次”后殘留污漬量為，“用個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗兩次”后殘留污漬量為，，當(dāng)時(shí)，，即“用個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗兩次”效果好；當(dāng)時(shí)，，兩種方案效果相同；當(dāng)時(shí)，，即“用個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗一次”效果好.20.給定函數(shù)與，若為減函數(shù)且值域?yàn)椋槌?shù)），則稱對(duì)于具有“確界保持性”.（1）證明：函數(shù)對(duì)于不具有“確界保持性”；（2）判斷函數(shù)對(duì)于是否具有“確界保持性”；（3）若函數(shù)對(duì)于具有“確界保持性”，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析（2）具有（3）3【解析】【分析】（1）令，以特殊值說明函數(shù)不滿足值域?yàn)椋纯勺C明結(jié)論；（2）根據(jù)對(duì)于具有“確界保持性”的定義，說明滿足定義中的條件，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，先確定時(shí)，函數(shù)符合題意，再分別說明和時(shí)，函數(shù)值域不符合題意，即可確定答案.【小問1詳解】證明：令，因?yàn)?，不滿足函數(shù)值域?yàn)?，故函?shù)對(duì)于不具有“確界保持性”；【小問2詳解】函數(shù)對(duì)于具有“確界保持性”；理由如下：令，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)對(duì)于具有“確界保持性”；【小問3詳解】令，根據(jù)“確界保持性”定義可知在上單調(diào)遞減，故，即的值域?yàn)?；由于，可以看到，若?dāng)，即時(shí)，則可化簡(jiǎn)為，且在上均單調(diào)遞減，故先證明符合題意；當(dāng)時(shí)，，先證明在上單調(diào)遞減，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，故，，，則，即，故，即，所以在上單調(diào)遞減；故，又