高考數(shù)學(xué)（理）培優(yōu)增分一輪全國經(jīng)典版培優(yōu)講義第5章第3講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

第3講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和板塊一知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí)[必備知識(shí)]考點(diǎn)1等比數(shù)列的有關(guān)概念1．定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q.2．等比中項(xiàng)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab(ab≠0)．考點(diǎn)2等比數(shù)列的有關(guān)公式1．通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.2．前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))[必會(huì)結(jié)論]等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比數(shù)列．(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(5)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(6)等比數(shù)列{an}滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))時(shí)，{an}是遞減數(shù)列．[考點(diǎn)自測]1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列．()(2)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．()(3)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.()(4)如果{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．()(5)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．[2018·河南名校聯(lián)考]在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，則公比q的值為(A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3答案D解析由a9＝a2a3a4得a1q8＝aeq\o\al(3,1)q6，所以q2＝aeq\o\al(2,1)，因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以q＝a1＝3.故選D.3．[課本改編]等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)答案C解析由已知條件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝eq\f(1,9).故選C.4．[2018·黃岡調(diào)研]設(shè)等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則eq\f(S4,a3)的值()A.eq\f(15,4)B.eq\f(15,2)C.eq\f(7,4)D.eq\f(7,2)答案A解析根據(jù)等比數(shù)列的公式，得eq\f(S4,a3)＝eq\f(\f(a11－q4,1－q),a1q2)＝eq\f(1－q4,1－qq2)＝eq\f(1－24,1－2×22)＝eq\f(15,4).故選A.5．[2015·全國卷Ⅰ]在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝________.答案6解析∵a1＝2，an＋1＝2an，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．又∵Sn＝126，∴eq\f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6.6．[2018·衡中檢測]在等比數(shù)列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，則a3＝________.答案4或－4解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3－a1q＝6，,a1q4－a1＝15，))兩式相除，得eq\f(q,1＋q2)＝eq\f(2,5)，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝eq\f(1,2).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－16，,q＝\f(1,2).))故a3＝4或a3＝－4.板塊二典例探究·考向突破考向等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1(1)[2017·全國卷Ⅱ]我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞答案B解析設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，∴S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.故選B.(2)[2017·江蘇高考]等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，則a8＝________.答案32解析設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，))兩式相除得eq\f(1－q3,1－q6)＝eq\f(1－q3,1－q31＋q3)＝eq\f(1,9)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))所以a8＝eq\f(1,4)×27＝25＝32.觸類旁通等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)所求問題可迎刃而解．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算的過程．【變式訓(xùn)練1】(1)[2018·東北師大附中月考]已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＋a3＝eq\f(5,2)，且a2＋a4＝eq\f(5,4)，則eq\f(Sn,an)＝()A．4n－1 B．4n－1C．2n－1 D．2n－1答案D解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q2＝\f(5,2)，,a1q1＋q2＝\f(5,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝\f(1,2)，))則an＝a1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(a1,2n－1)，Sn＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝eq\f(a12n－1,2n－1)，所以eq\f(Sn,an)＝2n－1.故選D.(2)[2018·安徽皖江名校聯(lián)考]已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2·a4＝16，S3＝7，則a8＝________.答案128解析∵a2·a4＝aeq\o\al(2,3)＝16，∴a3＝4(負(fù)值舍去)，∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝eq\f(a11－q2,1－q)＝eq\f(\f(4,q2)1＋q1－q,1－q)＝3，∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－eq\f(2,3)或q＝2，∵an>0，∴q＝－eq\f(2,3)舍去，∴q＝2，∴a1＝1，∴a8＝27＝128.

考向等比數(shù)列的性質(zhì)命題角度1等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5A．5eq\r(2)B．7C．6D．4eq\r(2)答案A解析(a1a2a3)×(a7a8a9)＝aeq\o\al(6,5)＝50，a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)＝5eq\r(2).選A.(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則S5＝答案31解析a3a5＝a2a6＝64，因?yàn)閍3＋a5＝20，所以a3和a5為方程x2－20x＋64＝0的兩根，因?yàn)閍n>0，q>1，所以a3<a5，所以a5＝16，a3＝4，所以q＝eq\r(\f(a5,a3))＝eq\r(\f(16,4))＝2，所以a1＝eq\f(a3,q2)＝eq\f(4,4)＝1，所以S5＝eq\f(1－q5,1－q)＝31.命題角度2等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于()A.eq\f(1,8)B．－eq\f(1,8)C.eq\f(57,8)D.eq\f(55,8)答案A解析因?yàn)閍7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq\f(1,8).故選A.(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于()A．80B．30C．26D．16答案B解析由題意知公比大于0，由等比數(shù)列性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列．設(shè)S2n＝x，則2，x－2,14－x成等比數(shù)列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故選B.觸類旁通等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用問題(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要．考向等比數(shù)列的判定與證明例4[2018·蘭州模擬]已知數(shù)列{an}滿足對任意的正整數(shù)n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.(1)證明：數(shù)列{an－3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝eq\f(an,3n)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)因?yàn)閍n＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以數(shù)列{an－3n}是首項(xiàng)為5、公比為5的等比數(shù)列．所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.(2)由(1)知，bn＝eq\f(an,3n)＝eq\f(3n＋5n,3n)＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))1＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2＋…＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n＝n＋eq\f(\f(5,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n)),1－\f(5,3))＝eq\f(5n＋1,2·3n)＋n－eq\f(5,2).觸類旁通等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)等比中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．提醒前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中．【變式訓(xùn)練2】已知數(shù)列{an}滿足2a1＋4a2＋…＋2nan＝eq\f(nn＋1,2).(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，由2a1＝1，得a1＝eq\f(1,2)，當(dāng)n≥2時(shí)，由2a1＋4a2＋…＋2nan＝eq\f(nn＋1,2)，得2a1＋4a2＋…＋2n－1an－1＝eq\f(n－1n,2)，于是2nan＝eq\f(nn＋1,2)－eq\f(n－1n,2)＝n，整理得eq\f(an,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，又a1＝eq\f(1,2)符合上式，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等比數(shù)列．(2)由(1)得，an＝n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，Tn＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，①eq\f(1,2)Tn＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＋…＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1，②由①－②得eq\f(1,2)Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1，即Tn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1－n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n,1－\f(1,2))－n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝2－eq\f(n＋2,2n).核心規(guī)律1.已知a1、q、n、an、Sn中的任意三個(gè)，即可求得其余兩個(gè)，這體現(xiàn)了方程思想．2.證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法或等比中項(xiàng)法，其他方法用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．滿分策略1.求解等比數(shù)列的問題，要注意等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用以減少運(yùn)算量，而提高解題速度．2.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考易錯(cuò)警示系列8——數(shù)列中的思維定式致誤[2018·武漢檢測]已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪[1，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)錯(cuò)因分析本題易錯(cuò)的原因是受q>0的思維定式的影響，遺漏當(dāng)q<0時(shí)的情況，認(rèn)為S3＝eq\f(1,q)＋1＋q≥3.解析因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中a2＝1，設(shè)其公比為q，所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)＋1＋q))＝1＋q＋eq\f(1,q).當(dāng)公比q>0時(shí)，S3＝1＋q＋eq\f(1,q)≥1＋2eq\r(q·\f(1,q))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)q＝1時(shí)，等號成立；當(dāng)公比q<0時(shí)，S3＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－q－\f(1,q)))≤1－2eq\r(－q·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,q))))＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)q＝－1時(shí)，等號成立．所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案D答題啟示等比數(shù)列的公比q<0時(shí)，相鄰兩項(xiàng)一定異號，相隔一項(xiàng)的兩項(xiàng)符號一定相同；等比數(shù)列的公比q>0時(shí)，數(shù)列中的各項(xiàng)符號相同；用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，如果其公比q不確定，要分q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.跟蹤訓(xùn)練已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(A．7B．5C．－5D．－7答案D解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a5a6＝a4a7＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4.))當(dāng)a4＝4，a7＝－2時(shí)，易得a1＝－8，a10＝1，從而a1＋a10＝－7；當(dāng)a4＝－2，a7＝4時(shí)，易得a10＝－8，a1＝1，從而a1＋a10＝－7.故選D.板塊四模擬演練·提能增分[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q等于()A．3B．－3C．－1D．1答案A解析兩等式相減得a4－a3＝2a3，從而求得eq\f(a4,a3)＝3＝q.故選A.2．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)答案C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，由題可知q≠1，則a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，∴eq\f(1,16)×q6＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×q3－1))，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝eq\f(1,2).故選C.3．[2018·江西九江一模]已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝()A．2n－2－eq\f(1,4) B．2n－1－eq\f(1,2)C．2n－1 D．2n＋1－2答案B解析因?yàn)閍2·a6＝16，所以a3·a5＝16，又a3＋a5＝10，等比數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以a3＝2，a5＝8，所以公比q＝2，a1＝eq\f(1,2)，所以Sn＝eq\f(\f(1,2)1－2n,1－2)＝2n－1－eq\f(1,2).故選B.4．[2018·延慶模擬]等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝()A．n(n＋1) B．n(n－1)C.eq\f(nn＋1,2) D.eq\f(nn－1,2)答案A解析∵a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,4)＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，將d＝2代入上式，解得a1＝2，∴Sn＝2n＋eq\f(nn－1·2,2)＝n(n＋1)．故選A.5．[2015·全國卷Ⅱ]已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84答案B解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故選B.6．已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若a3a5＝eq\f(1,4)a1，且a4與a7的等差中項(xiàng)為eq\f(9,8)，則S5等于()A．35B．33C．31D．29答案C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，所以a3a5＝aeq\o\al(2,1)q6＝eq\f(1,4)a1，得a1q6＝eq\f(1,4)，即a7＝eq\f(1,4).又a4＋a7＝2×eq\f(9,8)，解得a4＝2，所以q3＝eq\f(a7,a4)＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2)，a1＝16，故S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32))),1－\f(1,2))＝31.故選C.7．[2018·昆明模擬]設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq\f(S4,S2)＝3，則eq\f(S6,S4)＝()A．2B.eq\f(7,3)C.eq\f(3,10)D．1或2答案B解析設(shè)S2＝k，S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，∴eq\f(S6,S4)＝eq\f(7k,3k)＝eq\f(7,3).故選B.8．已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則eq\f(b2,a1＋a2)的值為________．答案eq\f(3,10)解析因?yàn)?，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以beq\o\al(2,2)＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3，所以eq\f(b2,a1＋a2)＝eq\f(3,10).9．商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)b(b>a)以及實(shí)數(shù)x(0<x<1)確定實(shí)際銷售價(jià)格c＝a＋x(b－a)．這里，x被稱為樂觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項(xiàng)．據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于________．答案eq\f(－1＋\r(5),2)解析已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項(xiàng)，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因?yàn)閎>a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f(－1＋\r(5),2)或x＝eq\f(－1－\r(5),2)(舍去)．10．等比數(shù)列{an}滿足：對任意n∈N*,2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1>an，則公比q＝________.答案2解析由題知2(anq2－an)＝3anq，即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－eq\f(1,2)，又an＋1>an，故q＝2.[B級知能提升]1．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)，則x的值為()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案C解析解法一：∵Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)＝eq\f(x,3)·3n－eq\f(1,6)，由上述結(jié)論，得eq\f(x,3)＝eq\f(1,6)，∴x＝eq\f(1,2).解法二：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝x－eq\f(1,6)；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2.∵{an}是等比數(shù)列，∴n＝1時(shí)也應(yīng)適合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－eq\f(1,6)，解得x＝eq\f(1,2).故選C.2．記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m的值為(A．4B．7C．10D．12答案A解析因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝aeq\o\al(2,m).又am－1am＋1－2am＝0，則aeq\o\al(2,m)－2am＝0.所以am＝2.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前2m－1項(xiàng)積T2m－1＝aeq\o\al(2m－1,m)，即22m－1＝128，故m＝4.選A.3．[2016·全國卷Ⅰ]設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________答案64解析設(shè){an}的公比為q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得