清單07勾股定理勾股定理逆定理（18種題型解讀（58題））

清單07勾股定理、勾股定理逆定理（18種題型解讀（58題））【知識導(dǎo)圖】【知識清單】【考試題型1】利用勾股定理求線段長1．（2023上·四川成都·八年級校考期中）若直角三角形兩條直角邊的長分別為3和6，則該直角三角形斜邊上的高為．【答案】655【分析】本題考查了勾股定理的和面積法的應(yīng)用．由勾股定理求斜邊，再由面積法求斜邊上高即可．【詳解】解：由勾股定理該三角形的斜邊為6設(shè)斜邊上高為h，由面積法12∴h=6故答案為：652．（2023上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，做一個長80cm，寬60cm的長方形木框，需在對角的頂點間釘一根木條用來加固，則木條的長為【答案】100【分析】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，由于長方形木框的寬和高與所加固的木板正好構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：木條的長為802故答案為：100．3．（2023上·重慶忠縣·九年級重慶市忠縣忠州中學(xué)校?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=AC，AD是BC的中線，若AB=10，BC=12，則AD長為．【答案】8【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，由等腰三角形的性質(zhì)，得到AD是BC邊上的高，再由勾股定理即可求出AD的長，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵AB=AC，AD是BC的中線，∴AD⊥BC，BD=1在Rt△ABD中，AB=10，BD=6由勾股定理，得AD=A故答案為：8．4．（2023上·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若∠ABC的平分線交AC于點D，則AD的長為【答案】5【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、勾股定理，由勾股定理可得AB=5，作DE⊥AB于E，再由角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，利用三角形的面積進行計算可得CD=32，最后由【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3∴AB=A如圖，作DE⊥AB于E，，∵AC平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵S△ABC=∴1∴CD=3∴AD=AC-CD=4-3故答案為：52【考試題型2】利用勾股定理求面積5．（2023上·江蘇連云港·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是．【答案】13【分析】本題主要考查了勾股定理，由勾股定理求出AB【詳解】解：由勾股定理得，AB∴正方形的面積是13，故答案為：13．6．（2023上·海南·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，頂點A、B、C恰好分別落在一組平行線中的三條直線上，若相鄰兩條平行線間的距離是2個單位長度，則△ABC的面積是．【答案】50【分析】過點C作DE⊥AD，則BE⊥CE，證明△ACD≌△CBE，進而根據(jù)勾股定理求得AC=BC=10，根據(jù)三角形面積公式即可求解．本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得BC的長是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點C作DE⊥AD，則BE⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBEAAS∴BE=CD，∵相鄰兩條平行線間的距離是2個單位長度，∴BE=CD=6,CE=8Rt△BCE中，BC=∴S故答案為：507．（2023上·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，分別以AC、AB為邊向外作正方形，面積分別為S1，S2．若S1=2，S【答案】2【分析】本題考查的是勾股定理，熟練掌握“如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+【詳解】解：∵以AC、AB為邊向外作正方形，S1=2，∴AC2=2在Rt△ABC中，BC∴BC=2．故答案為：2．8．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在水平桌面上依次擺著三個正方形，已知位于中間的正方形的面積為5，兩邊的正方形面積分別是S1，S2，則S

【答案】5【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得AC=CD，∠ACD=90°，再根據(jù)等角的余角線段得∠BAC=∠DCE，則可根據(jù)“AAS”判定△ACB≌△DCE，得到AB=CE，BC=DE；由勾股定理得AC2=A【詳解】解：如圖，

∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∵∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，在△ACB和△DCE中，∠ABC=∠CED∠BAC=∠DCE∴△ACB≌△DCESAS∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：A即Sb∴S故答案為：5．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理和正方形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段相等．9．（2023上·遼寧本溪·八年級統(tǒng)考期中）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面積依次為8、

【答案】4【分析】根據(jù)正方形的面積的計算方法，勾股定理的運用，可得c2+e【詳解】解：設(shè)正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，中間正方形E的邊長為e∴SA=a2，SB=b根據(jù)所有三角形都是直角三角形，∴c2+e2=∵a2∴a2=e2-故答案為：4．【考試題型3】已知兩點坐標求兩點距離10．（上海市徐匯區(qū)部分學(xué)校20232024學(xué)年八年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）若點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為(-3,0)，則線段AB的長為．【答案】2【分析】本題主要考查了兩點間距離公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點Ax1,y1【詳解】解：∵點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為(-3,0)，∴線段AB的長為-3-1211．（2019下·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，點P5,-12到原點O0,0的距離是【答案】13【分析】本題主要考查求兩點之間的距離，利用勾股定理直接計算即可．【詳解】解：由勾股定理得，點P5,-12到原點O0,0的距離為故答案為：13．【考試題型4】勾股樹問題12．（2023上·山東濟寧·七年級濟寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┫旅娓鹘Ma、b、c，是勾股數(shù)的是．（填序號）（1）a=7，b=24，c=25（2）a=5，b=13，c=12（3）a=4，b=5，c=6（4）a=0.5，b=0.3，c=0.4【答案】（1）（2）【分析】此題考查的知識點是勾股數(shù)．根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形，據(jù)此逐項判定即可．【詳解】解：（1）72（2）53（3）22（4）a=0.5，b=0.3，c=0.4均不是整數(shù)，故不符合題意；故答案為：（1）（2）．13．（2023上·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．若正整數(shù)a，n滿足a2+n2=n+12，這樣的三個整數(shù)a,n,n+1（如：3，4，5或5，12，【答案】7【分析】根據(jù)a2+n2=n+12，得到a2=2n+1【詳解】解：∵a2∴a2∴a2∵n<115，∴2n+1<231，∴a2為231以內(nèi)的數(shù)，有：9,25,49,81,121,169,225，共7∴共有7組這樣的“完美勾股數(shù)”；故答案為：7．【點睛】本題考查勾股數(shù)，理解并掌握“完美勾股數(shù)”的定義，是解題的關(guān)鍵．【考試題型5】勾股定理與折疊問題14．（2023上·四川成都·八年級?？计谥校┮阎鐖D長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，則AE的長為cm，BF的長為【答案】45【分析】由折疊的對稱性知BE=DE,AE=9-BE，在Rt△ABE中利用勾股定理可求得AE、BE；再由折疊性可證∠BEF=∠DEF結(jié)合內(nèi)錯角∠BFE=∠DEF，可證∠BEF=∠BFE【詳解】解：∵EF是四邊形EFCD與EFC∴BE=DE,AE+BE=AE+DE=AD=9cm又∵AB=3設(shè)BE=xcm，則在Rt△ABE中，A∴3解得：x=5則BE=DE=5cmAE=9-5=4cm由折疊的性質(zhì)知∠BEF=∠DEF，再由AD∥BC知∠BFE=∠DEF∴∠BEF=∠BFE，則BF=BE=5故答案為：4；515．（2023上·貴州六盤水·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D．E為線段BD上一點，連接CE，將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點B'落在CD的延長線上．若AB=5，BC=4，則△B'

【答案】12【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計算，由勾股定理求得AC的長，由面積關(guān)系可求得CD的長，再由勾股定理可求得BD的長；由折疊的性質(zhì)可得BC=B'C=4，S△BCE=S△【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=A∵CD⊥AB，∴S△ABC=∴CD=12∴BD=B由折疊的性質(zhì)可得BC=B'C=4∴12BE?CD=∴BE=5∵DE+BE=BD=16∴DE=6∴S故答案為：12516．（2023上·浙江杭州·八年級杭州市十三中教育集團（總校）校聯(lián)考期中）如圖，長方形ABCD中，∠B=90°，AB=6，BC=8，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上，則BE【答案】3【分析】利用勾股定理求出AC=10，利用折疊的性質(zhì)得到∠AFE=∠CFE=∠B=90°，BE=EF，AF=AB=6，則CF=AC-AF=4，設(shè)BE=x，則EF=x，CE=8-x，利用勾股定理得到x2+4【詳解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°∴AC=8∵把∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上，∴∠AFE=∠CFE=∠B=90°，BE=EF，AF=AB=6，∴CF=AC-AF=10-6=4，設(shè)BE=x，則EF=x，CE=8-x，在Rt△CEF∵EF∴x解得x=3，∴BE=3．故答案為：3．17．（2023上·江蘇泰州·八年級靖江市靖城中學(xué)校考期中）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與AC的交點為E，則AE的長是．

【答案】13【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)證明AD=AB=2，∠B=∠ADB，【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得AD=AB=2，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，設(shè)AE=x，CE=DE=AC-AE=3-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：A∴22解得x=13∴AE=13故答案為：13618．（2023上·河南駐馬店·八年級駐馬店市第二初級中學(xué)校考期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=6，點E是線段BC上的動點，將△ABE沿直線AE翻折，得到△AB'E，點F是DC上一點，且DF=2，連接AF，B'F，則當(dāng)BE

【答案】3或6【分析】本題考查了勾股定理，翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)；分兩種情況討論，利用直角三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理求解即可．【詳解】①當(dāng)點B'在直線AF下方，且∠A

又∵∠AB∴點E，B'，F(xiàn)三點共線在Rt△AB'AB∴Rt∴B設(shè)BE=x，則B'E=x，在Rt△FEC中，由勾股定理，得F即(x+2)2解得x=3，故BE=3．②當(dāng)點B'在直線AF上方，且∠AB'F=90°時，點此時點E與點C重合，故BE=6．故答案為：3或6．【考試題型6】勾股定理與網(wǎng)格問題19．（2023上·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，以數(shù)1表示的點為圓心，陰影正方形邊長為半徑，畫圓弧交數(shù)軸于點A（點A位于原點右側(cè)），則點A表示的數(shù)為．

【答案】5【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸和勾股定理．先根據(jù)勾股定理求出圓弧的半徑，再求出點A到原點的距離，然后結(jié)合點A在數(shù)軸上的位置即可得出答案．【詳解】解：∵正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，∴陰影正方形的邊長即圓弧半徑為12∴點A到原點的距離是5+1∴點A表示的數(shù)是5+1故答案為：5+120．（2023上·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，在方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，△ABC的面積是，點A到BC邊的距離為．

【答案】72【分析】本題主要考查了根據(jù)網(wǎng)格求三角形面積，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方”．用割補法即可求出△ABC的面積，根據(jù)勾股定理得出BC=12+32【詳解】解：根據(jù)題意可得：S△ABC根據(jù)勾股定理可得：BC=1設(shè)點A到BC邊的距離為h，S△ABC則72解得：h=7故答案為：72，721．（2023上·廣東深圳·八年級深圳實驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D，由四個邊長為1的小正方形構(gòu)成一個大正方形，連接小正方形的三個頂點，可得到△ABC，則△ABC中AB邊上的高是．

【答案】3【分析】作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理求出AB的長，再利用三角形的面積求出三角形的高CD即可．【詳解】作CD⊥AB于D,如圖所示：

∵小正方形的邊長為1，∴AB=1∵S△ABC∴S△ABC解得：CD=3故答案為：35【點睛】此題考查了勾股定理以及三角形的面積，根據(jù)題意得出△ABC的面積等于正方形面積減去其他3個三角形的面積是解題的關(guān)鍵．【考試題型7】利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系22．（2023上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC,BD交于點O．若AD=1,BC=4，則AB2

【答案】17【分析】根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；【詳解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AA∴A∵AD=1,BC=4,∴A故答案為：17．【點睛】本題考查的是垂直的定義，勾股定理的應(yīng)用，正確理解“垂美”四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．23．（2022下·河北石家莊·八年級石家莊外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．（1）若AB=5，OA=3，OC=4，則BC=；（2）若AD=2，BC=5，則A（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】427【分析】（1）根據(jù)題意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，進行等量代換，可以得到AB（3）由（2）得求解過程可以得到AB【詳解】（1）∵AC⊥BD，∴∠BOC=∠COD=∠DOA=∠AOB=90°，∴OB===4，∴CB===42故答案為42（2）由（1）得：∴OB2+OC2=BC2，∵AD=2，BC=∴A=7．故答案為7．（3）由（2）得：AB∴m故答案為m2【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關(guān)鍵．24．（2022上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線分別為AC，BD，且AC⊥BD于點O，若AD＝2，BC＝6，則【答案】40【分析】AB、CD分別是兩個直角三角形的斜邊。在RtΔAOB中，AB在RtΔCOD中，CDAB進而求解．【詳解】在RtΔAOB中和RtΔCOD中，AB2AB==A==40故答案為：40．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．25．（2022·北京海淀·八年級?？计谥校蔷€互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，若AB=6，CD=10【答案】136【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得，BO2在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，BO∴BO2+C∴AD故答案為：136．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．【考試題型8】勾股定理的證明方法26．（2023上·河南鄭州·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮目茖W(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1)，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請你從圖1，圖2，圖3中任選一個圖形來證明該定理；(2)①如圖4，圖5，圖6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為S1,S2，直角三角形面積為【答案】(1)見解析(2)①3；②S1【分析】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計算的知識；（1）根據(jù)面積法即可證明勾股定理；（2）①設(shè)面積為S1的正方形邊長為a，面積為S2的正方形邊長為b，面積為S3的正方形邊長為c②結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、非陰影部分去除三角形后的面積，再根據(jù)陰影部分面積（S1+S2）=以a為直徑的半圓面積+以b為直徑的半圓面積【詳解】（1）證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正形面積的和．即c2化簡得：a2在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．大正方形面積為：a+b2小正方形面積為：c2四個直角三角形面積之和為：4×1∵大正方形面積=小正方形面積+四個直角三角形面積之和∴a+b∴a2在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即12化簡得：a2（2）①三個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S設(shè)面積為S1的正方形邊長為a，面積為S2的正方形邊長為b，面積為S3根據(jù)題意得：a如圖4：S1=a2，∴S1如圖5：S1=12π∵1∴S1如圖6：S1=12×a×∵3∴S1∴三個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S故答案為：3；②S1以a為直徑的半圓面積為：12以b為直徑的半圓面積為：12非陰影部分去除三角形后的面積為：12∵陰影部分面積(S1+S2)=以a為直徑的半圓面積+以b為直徑的半圓面積∴S1結(jié)合（1）的結(jié)論：a∴1∴S127．（2023上·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1所示，有若干張正方形和長方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分別是邊長為a、b的正方形，C型卡片是長為a、寬為b的長方形，且它的一條對角線長為c（如圖1中的虛線）．(1)【操作一】若用若干張圖1中的卡片拼成一個邊長為a+3b的正方形，則需要A型卡片__________張，B型卡片__________張，C型卡片__________張；(2)【操作二】將兩張C型卡片沿如圖1所示虛線剪開后，拼成如圖2所示的正方形，請借助于圖2中陰影部分面積的兩種表達方式，探索a、b、c滿足的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；(3)【操作三】如圖3，將2張A型卡片和2張B型卡片無疊合的置于長為2a+b，寬為a+2b的長方形中．若圖2中陰影部分的面積為4，圖3中陰影的部分面積為15，記每張A型、B型、C型卡片的面積分別為SA、SB、SC【答案】(1)1；9；6(2)a2(3)13【分析】本題主要考查了完全平方公式應(yīng)用，關(guān)鍵能夠分割圖形，了解各個部分組成，便可表示各個類型的數(shù)量，善用整體代入法，表示出相應(yīng)部分面積，利用整體代入法求解．（1）根據(jù)完全平方公式把a+3b2（2）求出陰影部分圖形的面積即可；（3）利用圖2中陰影部分的面積為4，圖3中陰影的部分面積為15，得到a-b=2，ab=3，利用整體代入法進而求得答案．【詳解】（1）解：∵a+3b2故需要A型卡片1張，B型卡片9張，C型卡片6張；故答案為：1；9；6；（2）解：a2圖②陰影部分圖形的面積可表示為：a-b2或c∴a-b∴a∴a（3）解：∵圖2中陰影部分的面積為4，∴a-b∵圖3中陰影的部分面積為15，∴2a+b∴ab=3，∴SA【考試題型9】分類討論思想在直角三角的應(yīng)用28．（2024上·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）若一直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則斜邊長為（

）A．13 B．119 C．13或15 D．15【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，直接根據(jù)勾股定理解答即可，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵一直角三角形兩直角邊長分別為5和12，∴由勾股定理得，斜邊長=5故選：A．29．（2023上·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）在Rt△ABC中，已知其兩邊長分別為a，b，且滿足a-32+A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【答案】C【分析】根據(jù)非負數(shù)可得a=3,b=4，然后分兩種情況：當(dāng)兩直角邊長為3,4時，當(dāng)斜邊長為4時，結(jié)合勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵a-32∴a-3=0，解得：a=3，當(dāng)兩直角邊長為3，4時，第三邊長的平方為32當(dāng)斜邊長為4時，第三邊長的平方為42綜上所述，第三邊長的平方為25或7．故選：C【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握非負數(shù)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．30．（2022上·陜西榆林·八年級校考期中）直角三角形的兩直角邊的長分別為6，10，第三邊長為（

）A．8 B．234 C．8或234 D．8【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理可求得直角三角形斜邊的長，即可求解．【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊長為6和10，∴斜邊==6故選：B．【點睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．【考試題型10】利用勾股定理解決動點問題31．（2023上·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射線BC，AD是腰BC的高線，E是△ABC外射線BC上一動點，連結(jié)AE．

(1)當(dāng)AD=4，BC=5時，求CD的長；(2)當(dāng)BC=CE時；求證：AE⊥AB；(3)設(shè)△ACD的面積為S1，△ACE的面積為S2，且S1S2=18【答案】(1)3；(2)見解析；(3)2或116【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）證明CA=CE=CB，推出∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，利用三角形內(nèi)角和定理，可得結(jié)論；（3）由S△ACD：S△ACE=18：25，推出CD：CE=18：25，設(shè)CD=18k，CE=25k，則【詳解】（1）解：∵∠CAB=∠B，∴AC=BC=5，∵AD⊥BE，∴∠ADC=90°，∴CD=A（2）∵BC=CE，AC=CB，∴AC=CE=CB，∴∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，∵∠AEC+∠B+∠EAB=180°，∴2∠AEB+2∠B=180°，∴∠AEB+∠B=90°，∴∠EAB=90°，∴AE⊥AB；（3）∵S△ACD：S△ACE∴CD：CE=18：25，設(shè)CD=18k，CE=25k，則DE=7k，∵AD⊥EC，DE≠CD，∴AC≠AE，當(dāng)CE=CA=25k時，BC=CA=25k，∴BE=BC+CE=50k，BEBC當(dāng)AE=EC=25k時，AD=A∴AC=A∴BC=AC=30k，∴BE=BC+CE=55k，∴BE綜上所述，滿足條件的BEBC的值為2或11【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的面積計算、等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理,三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用等知識，靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．32．（2023上·江西·八年級期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3cm(1)如圖（1），當(dāng)t=時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；(2)如圖（2），在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌【答案】(1)112或(2)154cm【分析】本題主要考查直角三角形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，（1）分兩種情況進行解答，①當(dāng)點P在BC上時，②當(dāng)點P在BA上時，分別畫出圖形，利用三角形的面積之間的關(guān)系，求出點P移動的距離，從而求出時間即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得對應(yīng)頂點為A與D，P與E，Q與F；于是分兩種情況進行解答，①當(dāng)點P在AC上；②當(dāng)點P在AB上，AP=4，AQ=5，分別求出P移動的距離和時間，進而求出【詳解】（1）解：①當(dāng)點P在BC上時，如圖①-1若△APC的面積等于△ABC面積的一半，則CP=1此時，點P移動的距離為AC+CP=12+9移動的時間為：332②當(dāng)點P在BA上時，如圖①若△APC的面積等于△ABC面積的一半，則PD=12AB，即點P此時，點P移動的距離為AC+CB+BP=12+9+15移動的時間為：572故答案為：112或19（2）△APQ≌△DEF，即對應(yīng)頂點為A與D，P與E，Q與①當(dāng)點P在AC上，如圖②-1此時，AP=4，AQ=5，∴點Q移動的速度為5÷4÷3②當(dāng)點P在AB上，如圖②-2此時，AP=4，AQ=5，即，點P移動的距離為9+12+15-4=32cm，點Q移動的距離為9+12+15-5=31∴點Q移動的速度為31÷32÷3綜上所述，兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，點Q的運動速度為15433．（2023上·吉林長春·八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，動點P從點A出發(fā)沿線段AB以每秒2個單位長的速度運動至點B，過點P作PQ⊥AB，交射線AC于點Q．設(shè)點P的運動時間為t秒t>0

(1)線段AB的長為_____．(2)連接CP，當(dāng)△ACP是等腰三角形時，求t的值．(3)當(dāng)直線PQ把△ABC分成的兩部分圖形中有一個是軸對稱圖形時，直接寫出t的值．【答案】(1)13(2)t的值為52或1013或(3)t的值為12或5【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可得；（2）分如圖21所示，當(dāng)AC=AP時；如圖22所示，當(dāng)AP=CP時，過點P作PD⊥AC于D，過點C作CE⊥AB于E，利用面積法求出CE=125，進而利用面積法求出PD=45AP=125（3）分圖31和圖32兩種情況討論計算，由軸對稱圖形的性質(zhì)，用相等的線段建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12∴AB=A故答案為：13；（2）解：如圖21所示，當(dāng)AC=AP時，∴2t=5，∴t=5

如圖22所示，當(dāng)AP=CP時，過點P作PD⊥AC于D，過點C作CE⊥AB于E，

∴AD=CD=1∵S△ABC∴CE=AC?BC∵S△ACP∴PD=AP?CE∵AP=2t，∴PD=24在Rt△ADP中，由勾股定理得：A∴2t2解得t=10當(dāng)AC=CP時，過點C作CE⊥AB于E，∵CE=60∴AE=A∴AP=2AE=50∴t=綜上所述，t的值為52或1013或（3）解：由題意，分以下兩種情況：①如圖31所示，當(dāng)點Q在線段AC上，且CQ=PQ時，連接BQ，

在Rt△BCQ和RtBQ=BQCQ=PQRt△BCQ≌∴四邊形PBCQ是軸對稱圖形，符合題意，∵PB=BC=12，∴13-2t=12，解得t=1②如圖，當(dāng)點Q在AC延長線上，且AP=AC時，設(shè)PQ交BC于點D，連接AD，

同理可證：Rt△ACD≌∴四邊形ACDP是軸對稱圖形，符合題意，∵AP=AC=5，∴2t=5，解得t=5綜上，當(dāng)直線PQ把△ABC分成的兩部分圖形中有一個是軸對稱圖形時，t的值為12或5【點睛】本題考主要查了勾股定理、等腰三角形三線合一、軸對稱圖形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等知識點，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．【考試題型11】利用勾股定理解決規(guī)律問題34．（2023上·廣西南寧·九年級南寧市第四十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的邊長為2，其面積標記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2023【答案】1【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的面積以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“Sn=4×12n-1”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出面積標記為S【詳解】解：∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE=CE,∠CED=90°，∴CD∴DE=2即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的22∵正方形ABCD的邊長為2，S1∴面積標記為S2的正方形邊長為2則S2面積標記為S3的正方形邊長為2則S3面積標記為S4的正方形的邊長為2則S4……，∴S則S2023的值為：4×故答案為：1235．（2023上·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2=c2，那么正整數(shù)a、babc345861015817………………xy122A．142 B．143 C．144 D．145【答案】A【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到a=【詳解】解：由題可得，3=22-1，4=2×2，∴a=n2-1，b=2n，c=n2∴當(dāng)c=n解得：n=11，∴x=120，y=22，∴x+y=142，故選：A．36．（2023上·河北保定·八年級保定十三中?？计谥校﹫D1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形演化而成的．若圖2中的OA1

（1）線段OA12的長為（2）若S1代表△A1OA2的面積；S2代表△A2【答案】23【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，數(shù)字的規(guī)律探究，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡．熟練掌握勾股定理，推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理得，OA2=OA1+A1A2（2）由題意知，S1=S△A1OA2=1【詳解】（1）解：由勾股定理得，OAOAOA……∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為OA∴OA故答案為：23（2）解：由題意知，S1S2S3……∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為Sn∴S===33故答案為：33237．（2023上·四川成都·九年級校聯(lián)考期中）如圖，等腰Rt△OA1A2，OA1=A1A2=1，以O(shè)

【答案】64【分析】本題主要考查了等腰直角三角形和勾股定理結(jié)合，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的性質(zhì)分別求出OA1、OA2、……、【詳解】∵OA1=∴OA又∵Rt△O∴OA∴OA同理可得：OA4=2OA3=22根據(jù)題意可得：OA∴S△O故答案為：64．【考試題型12】利用勾股定理解決新定義問題38．（2023上·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期中）新定義：將一個凸四邊形分成一個等腰三角形和一個等腰直角三角形的對角線叫做這個四邊形的“等腰直角線”．已知一個直角梯形的“等腰直角線”等于4，它的面積是．【答案】4+42或【分析】分兩種情況，結(jié)合勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ABC是等腰直角三角形，AD=AC=4，

∴AB∴AB=22∴梯形ABCD的面積為12如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ABC是等腰直角三角形，CD=AC=4，

∴∠BAD=∠B=90°，∠BAC=45°，∴∠CAD=∠D=45°，∴∠ACD=90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD=2∴梯形ABCD的面積為12如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ABC是等腰直角三角形，CD=AC=4；綜上所述，它的面積為4+42或12故答案為：4+42或【點睛】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．39．（2020上·山西太原·八年級太原師范學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形，根據(jù)奇異三角形的定義，請你判斷：若某三角形的三邊長分別為1、2、7，則該三角形（填“是”或者“不是”）奇異三角形．【答案】是【分析】根據(jù)奇異三角形的定義，即可求解．【詳解】解∵12∴該三角形是奇異三角形．故答案是：是．【點睛】本題主要考查了新定義的理解，明確題意，理解新定義是解題的關(guān)鍵．40．（2022上·四川成都·八年級?？计谥校┒x：在平面直角坐標系xOy中，已知點P1a,b，P2c,b，P3c,d，這三個點中任意兩點間的距離的最小值稱為點P1，P例如：點P1-1,2，P21,2，P31,3的（1）理解：點Q10,1，Q24,1，Q34,4的（2）探究：已知點O0,0，A-4,0，B-4,y．則點O，A，B的“最佳間距”【答案】34【分析】（1）求出Q1Q2、Q1Q3、Q2Q3的值即可得到點Q（2）求出AB=y，OA=4，并得到結(jié)論△OAB是以點A為直角頂點的直角三角形，所以“最佳間距”等于AB或BC的長度，即4或y【詳解】解：（1）∵Q1Q2=4-0∴點Q10,1，Q24,1，Q34,4的故答案為：3；（2）∵點A-4,0，B∴AB⊥x軸，AB=y∵點O0,0，A∴點O，A是x軸上兩點，且OA=4；∴△OAB是以點A為直角頂點的直角三角形，所以“最佳間距”等于AB或OA的長度，即4或y．當(dāng)AB>OA，即y>4時，“最佳間距”等于4當(dāng)AB=OA，即y=±4時，“最佳間距”等于4；當(dāng)AB<OA，即y<4時，“最佳間距”等于y所以點A，B，C的“最佳間距”的最大值為4．故答案為：4【點睛】本題主要考查了坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理求兩點間的距離等知識，提煉出新定義的規(guī)則，根據(jù)規(guī)則，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．41．（2023下·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）定義：我們把三角形某邊上高的長度與這邊中點到高的距離的比值稱為三角形某邊的“中偏度值”．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是AB邊上的高，則△ABC中AB邊的“中偏度值”為．

【答案】24【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出△ACB中AB邊上的高和該邊上的中點到CD的距離，再求它們的比值即可．【詳解】解：作CE為△ACB的中線，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=A∵1∴1∴CD=12∴BD=∵CE為Rt△ABC斜邊AB上的中線，AB=5∴BE=∴ED=BE-BD=即點E到CD的距離為710則△ABC中AB邊的“中偏度值”為125【點睛】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出AB邊上的高和該邊上的中點到高的距離．【考試題型13】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形42．（2023上·江蘇連云港·八年級?？计谥校┤切蔚娜呴L分別是7,24,25，可以判斷這是三角形．【答案】直角【分析】本題考查勾股定理的逆定理；由勾股定理的逆定理可知，該三角形為直角三角形．【詳解】解：∵72∴該三角形是直角三角形，故答案為：直角．43．（2022下·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）一個三角形的三邊長為5、5、25，則該三角形的面積為【答案】5【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的面積，根據(jù)勾股定理的逆定理得出三角形的直角三角形，再求出三角形的面積即可．【詳解】解：∵52+2∴52∴三角形的直角三角形，直角邊是5和25∴三角形的面積是12故答案為：5．44．（2023上·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）若n>1，△ABC三邊長分別是n2-1，2n，n2+1，則【答案】直角【分析】此題考查勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，利用較短兩邊的平方和等于較長邊的平方即可得到三角形是直角三角形．【詳解】∵n∴△ABC是直角三角形，故答案為：直角．45．（2023上·山東威?！ぐ四昙壨＝?jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)皇冠中學(xué)校聯(lián)考期中）已知△ABC三邊長分別為a，b，c，且滿足a2c2-b【答案】等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形【分析】本題主要考查了多項式的因式分解，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．把已知等式移項分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘積為0兩因式中至少有一個為0得到關(guān)系式，即可做出判斷．【詳解】解：∵a2∴a2∴c2∴a2∴a+ba-b∵△ABC三邊長分別為a，b，c，∴a+b≠0，∴a-b=0,c∴a=b,c∴△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．故答案為：等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形【考試題型14】圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點46．（2023下·浙江臺州·八年級?？计谥校┰谌鐖D所示的5×5的方格圖中，點A和點B均為圖中格點．點C也在格點上，滿足△ABC為以AB為斜邊的直角三角形．這樣的點C有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對應(yīng)點即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點C共有4個，故選D．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵．47．（2019·福建·校聯(lián)考一模）點A（2，m），B（2，m5）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況考慮：當(dāng)∠OAB＝90°時，點A在x軸上，進而可得出m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時，點B在x軸上，進而可得出m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．綜上，對照四個選項即可得出結(jié)論．【詳解】解：分三種情況考慮（如圖所示）：當(dāng)∠OAB＝90°時，m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時，m?5＝0，解得：m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2?10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．綜上所述：m的值可以為0，5，1，4．故選B．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況求出m的值是解題的關(guān)鍵．【考試題型15】在網(wǎng)格上判斷直角三角形48．（2023上·四川達州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，圖中小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點都在格點上，則△ABC是（

）

A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出△ABC各邊的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀即可．【詳解】解：由圖形可知：AB2=42∴AB∴△ABC是直角三角形．故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a249．（2023上·貴州貴陽·八年級校考階段練習(xí)）如圖是由6個邊長相等的正方形組成的網(wǎng)格，則∠1+∠2=（）

A．80° B．85°C．90° D．95°【答案】C【分析】設(shè)小正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理逆定理得到∠A=90°，再由三角形內(nèi)角和定理進行計算即可．【詳解】解：如圖，設(shè)小正方形的邊長為1，

則AB=12+22∴AB∴∠A=90°，∵∠1+∠2+∠A=180°，∴∠1+∠2=180°-∠A=180°-90°=90°，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．50．（2021上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B都在格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（

A．△ABC的面積為10 B．∠BAC=90°C．AB=25 D．點A到直線BC的距離是【答案】A【分析】求出AC、BC，根據(jù)三角形的面積公式可以判斷A；根據(jù)勾股定理逆定理可以判斷B；根據(jù)勾股定理可以判斷C；根據(jù)三角形的面積結(jié)合點到直線的距離的意義可以判斷【詳解】解：∵AC=12+22∴AC∴∠BAC=90°，故B、C正確，不符合題意；∴S△ABC=設(shè)點A到直線BC的距離是h，∵S∴1∴h=2∴點A到直線BC的距離是2，故D正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面積公式、點到直線的距離，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【考試題型16】利用勾股定理逆定理求解51．（2023上·山東青島·八年級?？计谥校┤簟鰽BC的三邊分別是a，b，c，則下列條件能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．∠A=∠B=2∠C B．∠A:∠B:∠C=3:4:5C．a(chǎn)=1，b=2，c=3 D．a(chǎn)=1，b=2，【答案】D【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理，利用三角形內(nèi)角和定理求出△ABC中最大的內(nèi)角度數(shù)即可判斷A、B；利用勾股定理的逆定理：三角形中兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，那么該三角形是直角三角形，即可判定C、D．【詳解】解：A、∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=72°，∴不能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；B、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°×5∴不能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；C、∵12∴不能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；D、∵12∴能判斷△ABC是直角三角形，符合題意；故選D．52．（上海市徐匯區(qū)部分學(xué)校20232024學(xué)年八年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，且∠B=90°，下列結(jié)論中：①∠D=90°；②∠A+∠C=180°；③∠C=120°；④S四邊形ABCD=204A．② B．①② C．①④ D．①③④【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四邊形內(nèi)角和定理，先根據(jù)勾股定理得到AC2=AB2+BC2=625，進而證明CD2+AD2=AC2【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=20，BC=15∴AC∵CD=7，DA=24，∴CD∴CD∴△ACD是直角三角形，且∠D=90°，故①正確；∴∠BAD+∠BCD=360°-∠D-∠B=180°，故②正確；S四邊形ABCD=根據(jù)現(xiàn)有條件無法得到∠C=120°，故③錯誤；故選B．53．（2023下·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且a+ca-cA．∠A為直角 B．∠B為直角 C．∠C為直角 D．∠A是銳角【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進行計算逐一判斷即可解答．【詳解】解：∵a+ca-c∴a∴a∴△ABC是直角三角形，∴∠A為直角，故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【考試題型17】利用勾股定理逆定理證明54．（2023上·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知等腰△ABC的腰AB=13cm，D是腰AB上一點，且CD=12cm，(1)求證：△BDC是直角三角形．(2)求△ABC的周長．【答案】(1)證明過程見詳解(2)△ABC的周長為26+4【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理判定直角三角形的運用，掌握勾股定理的運用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，分類討論，①當(dāng)AB=AC=13cm時；②當(dāng)AB=BC=13（2）根據(jù)（1）中可知△BDC是直角三角形，運用勾股定理可求出BC的值，由此即可求解．【詳解】（1）證明：已知等腰△ABC的腰AB=13cm①當(dāng)AB=AC=13cm時，在△ACD中，CD=12cm，∴AD2=52∴AD∴△ACD是直角三角形，即∠ADC=90°，∴CD⊥AB，∴△BCD是直角三角形；②當(dāng)AB=BC=13時，在△BCD中，BD=AB-AD=13-5=8，∴BD2=82∵BD∴△BCD不是直角三角形，與上述證明矛盾，∴△ABC是以AB=AC的等腰三角形；∴△BDC是直角三角形．（2）解：由（1）可知，△ABC是以AB=AC=13cm的等腰三角形，△BDC∴BC=B∴△ABC的周長為AB+AC+BC=13+13+413即△ABC的周長為26+41355．（2023上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD為BC邊上的中線，且AD＝12，過點

(1)求證：AD⊥BC；(2)求DE的長．【答案】(1)見解析；(2)6013【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾