湖北省部分學校2023-2024學年高二下學期聯(lián)合教學質量檢測數(shù)學試卷

2023—2024學年下學期聯(lián)合教學質量檢測高二數(shù)學試卷滿分150分，考試用時120分鐘注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的補集概念即得.【詳解】依題，由可得，.故選：A.2.已知，是不共線的向量，且，，，若B，C，D三點共線，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運用向量的減法運算得，B，C，D三點共線，即，根據(jù)向量平行求出.【詳解】因為，且B，C，D三點共線，即,又，所以，解得.故選：C.3.已知一個袋子中有大小和質地相同的8個球，其中有3個白球（標號為1~3），5個紅球（標號為），現(xiàn)從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則兩次摸到同種顏色球的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分步以及分類計數(shù)原理，即可根據(jù)古典概型的概率公式求解.【詳解】不放回地依次隨機摸出2個球,共有種選擇，則兩次都摸到同色球共有種選擇，故兩次摸到同種顏色球的概率為，故選：A4.已知函數(shù)在R上單調遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因為在上單調遞增，且時，單調遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.5.已知數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.3 B.3 C.2 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推關系，賦值即可求解．【詳解】若，，變形得到，，當時，，解得；當時，，解得；當時，，解得；故選：B.6.已知點在拋物線上，過點作圓的切線，若切線長為，則點到的準線的距離為（）A.5 B.6 C.7 D.【答案】A【解析】【分析】由圓的切線的性質可求得，結合拋物線方程計算可得點橫坐標，即可得點到的準線的距離.【詳解】如圖所示：設切點為Q，則，則，設，則由兩點間距離公式得到，解得，因為，所以，因為的準線方程為，所以點到的準線的距離PE為.故選：A.7.折紙發(fā)源于中國19世紀，折紙傳入歐洲，與自然科學結合在一起成為建筑學院的教具，并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學的一個分支.我國傳統(tǒng)的一種手工折紙風車（如圖1）是從正方形紙片的一個直角頂點開始，沿對角線部分剪開成兩個角，將其中一個角折疊使其頂點仍落在該對角線上，同樣操作其余三個直角制作而成的，其平面圖如圖2，則下列結論成立的個數(shù)為（）①；②；③；④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何關系，直接判斷與是否平行，即可判斷A;再根據(jù)轉化向量求數(shù)量積判斷B；根據(jù)幾何關系，以及相等相等向量轉化，判斷C；根據(jù)向量轉化證明數(shù)量積相等.【詳解】A.，則與不平行，故①錯誤；B.設，，，，故②正確；C.，故③正確；D.，故④正確.故選：C8.已知函數(shù)，若函數(shù)在有6個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，得或，作出函數(shù)的圖象，結合函數(shù)圖象，分，和三種情況討論即可得解.【詳解】令，即，解得或，如圖，作出函數(shù)的圖象，當時，有無數(shù)個解；當時，則方程無解，因為函數(shù)在有6個不同零點，所以方程在有6個不同的實根，即函數(shù)的圖象在有6個不同的交點，由圖可知，，所以，當時，則方程無解，則方程在有6個不同的實根，即函數(shù)的圖象在有6個不同的交點，由圖可知，，所以，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象分類討論是解題的關鍵.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知，且復平面內(nèi)對應的點為，則下面說法正確的有（）A.B.若，則，中至少有個是C.滿足的點形成的圖形的面積為D.若，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】設復數(shù)，對于A，分別計算即可；對于B，根據(jù)可得即可判斷；對于C，由可得即可判斷；對于D，由得，并計算即可計算最小值.詳解】設復數(shù)，對于A，，則，所以，而，故A正確；對于B，若，則，即，則或，則或，則，中至少有個是，故B正確；對于C，，所以，所以點形成的圖形面積為，故C錯誤；對于D，因，所以，且，所以，且所以，所以最小值為，故D正確.故選：ABD.10.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱組合而成，，，是上的動點．則（）A.平面平面B.為的中點時，C.存在點，使得直線與的距離為D.存在點，使得直線與平面所成的角為【答案】AB【解析】【分析】選項，由，，可得平面，再由面面垂直的判定定理可作出判斷；選項B，取的中點，連接，，可證，，從而作出判斷；選項C，先證平面，從而將原問題轉化為求點到平面的距離，再以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求點到面的距離，即可作出判斷；選項D，利用向量法求線面角，即可得解．【詳解】對于選項A，由題意知，，平面，因為平面，所以，又，、平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，即選項A正確；對于選項B，當為的中點時，取的中點，連接，，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為和都是等腰直角三角形，所以，所以，所以，即選項B正確；對于選項C，因為，且平面，平面，所以平面，所以直線與的距離等價于直線到平面的距離，也等價于點到平面的距離，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設點，其中，，由射影定理知，，即，所以，，，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，若直線與的距離為，則點到平面的距離為，而點到平面的距離，所以不存在點，使得直線與的距離為，即選項C錯誤；對于選項D，，，所以，，，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，若直線與平面所成的角為，則，由，知，代入上式整理得，此方程無解，所以不存在點，使得直線與平面所成的角為，即選項D錯誤．故選：AB．11.已知雙曲線的漸近線方程為，過的右焦點的直線交雙曲線右支于，兩點，的內(nèi)切圓分別切直線，，于點，，，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則（）A.的離心率等于 B.切點與右焦點重合C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A選項，根據(jù)漸近線方程求出，得到離心率；B選項，由雙曲線定義和切線長定理得到，得到切點與右焦點重合；C選項，根據(jù)雙曲線定義和的內(nèi)切圓的半徑得到；D選項，作出輔助線，得到，利用萬能公式得到答案.【詳解】A選項，由題意得，解得，故離心率，A正確；B選項，，由雙曲線定義可得，，兩式相減得，即，故切點與右焦點重合，B正確；C選項，的內(nèi)切圓的半徑為，故，C錯誤；D選項，連接，則平分，其中，故，所以.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：利用雙曲線定義和切線長定理推出切點與右焦點重合，從而推理得到四個選項的正誤.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若存在，使不等式成立，則a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】利用分離參變量思想，再用換元法轉化到對鉤函數(shù)求最小值，即可得到取值范圍.【詳解】由，因為，所以，令，由，構造函數(shù)，即，當且僅當時取等號，所以故答案為：.13.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒有2個紅球和1個白球，乙盒有1個紅球和1個白球.先從甲盒中取出2個球放入乙盒，再從乙盒中取出2個球放入甲盒.記事件A為“從甲盒中取出2個紅球”，事件B為“乙盒還剩1個紅球和1個白球”，則______，______.【答案】①.##②.【解析】【分析】利用條件概率與獨立事件的概率公式即可得解.【詳解】第一空：，第二空：從甲盒中取出的是一個紅球和一個白球，乙盒中還剩下兩個紅球或者兩個白球.則故答案為：；.14.如圖，正三棱錐的側面和底面所成角為，正三棱錐的側面和底面所成角為和位于平面的異側，且兩個正三棱錐的所有頂點在同一個球面上，則__________，的最大值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由幾何體結構特征可知為外接球直徑即得；先設，外接球半徑為R，則由以及已知條件可求得，再根據(jù)幾何體結構特征得，再結合兩角和正切公式以及基本不等式即可求解.【詳解】由幾何體結構特征可知為外接球直徑，所以；連接，交平面于點，取中點，連接，由正棱錐性質知，且，則、，，設，外接球半徑為R，則，所以由得，，又，故，而，當且僅當時取等，故.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：求解的關鍵是由以及已知數(shù)據(jù)求出.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在等差數(shù)列（）中，，.（1）求的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，證明.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項與公差，即可得解；（2）利用裂項相消法求出，進而可得出結論.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，即，解得，所以，所以數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】∵，∴，（方法一），∴化簡得：，∴.（方法二），∴.16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，（1）已知，（i）求；（ii）若，為邊上的中點，求的長.（2）若為銳角三角形，求證：【答案】（1）（i）或；（ii）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）（i）由，結合正弦定理化簡可得結果；（ii）由，，利用正弦定理求出，，在，由余弦定理求出的長即可得解；（2）求出，將問題轉化為證明，利用，化簡可得結論.【小問1詳解】（i）因為，，所以，由正弦定理可得：，即，因為在，，，則，因為，所以或；（ii），所以，則，則，由正弦定理可得：，即，又，解得，，因為為中點，則，在中，由余弦定理可得：，即，則.【小問2詳解】因為為銳角三角形，，則，則，要證，即證，由于，由，則，所以，故，則，則，證畢.17.如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）易證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理即可證明；（2）取的中點，連結，，則，，，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角即可．【小問1詳解】由題意得：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取中點，連結，，由已知得，是邊長為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，，所以，，，故，以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，取，則，設平面的法向量為，則，即，取，則，所以，，故二面角的正弦值．18.某校舉行投籃趣味比賽，甲、乙兩位選手進入決賽，每位選手各投籃4次，選手在連續(xù)投籃時，第一次投進得1分，并規(guī)定：若某次投進，則下一次投進的得分比本次得分多1分；若某次未投進，則該次得0分，且下一次投進得1分.已知甲同學每次投進的概率為，乙同學每次投進的概率為，且甲、乙每次投籃相互獨立.（1）求甲最后得3分的概率；（2）記甲最后得分為X，求X的概率分布和數(shù)學期望；（3）記事件B為“甲、乙總分之和為7”，求.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用獨立事件同時發(fā)生哪幾種情形，再計算概率即可；（2）利用記分規(guī)則，統(tǒng)計四次投籃中的得分情形，最低0分，最高10分，再計算概率，即可得分布列，求期望；（3）同比甲的概率計算方法，再來計算乙的得分概率，利用兩獨立事件相乘，再考慮各種情形相加即可.【小問1詳解】記事件A為“甲得3分”，分析3分是，不可能是，所以在這四次投籃中，連續(xù)兩次投中，另兩次沒中，記甲得3分，所以【小問2詳解】X的取值為0，1，2，3，4，6，10，01234610【小問3詳解】記為乙最后得分，則事件為“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分”故19.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）試討論函數(shù)的單調性；（3）當時，不等式恒成立，求整數(shù)a的最大值．【答案】（1）（2）答案見詳解（3）4【解析】【分析】（1）求導，利用導數(shù)判斷的單調性和最值；（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，對進行分類討論即可得出原函數(shù)的單調區(qū)間；（3）問題轉化為恒成立，令新函數(shù)，利用導數(shù)求其最小值的范圍，即可求得整數(shù)的最大值.【小問1詳解】當時，則，可知的定義域為，且，令，解得；令，解得，可知的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，所以函數(shù)的最小值為.小問2詳解】由題意可知的定義域為，且，當時，恒成立，所以的單調遞減區(qū)間是，無單調遞增區(qū)間.當時，令解得，令，解得；令，解得，所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；綜上所述：當時，的單調遞減區(qū)間是，無單調遞增區(qū)間；當時，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)