2024高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）

2024高考?jí)狠S卷新高考I卷數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知，則（）A. B. C.1 D.23.已知向量，若與的夾角為，則（）A. B. C. D.4.中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為.若，則的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.20245.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.590 B.602 C.630 D.6506.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為為上一點(diǎn)，垂直于點(diǎn)為等邊三角形，過(guò)的中點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，則直線的方程為（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)，，則（）A.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)8.在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，與底面所成的角分別為，，且，則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線，則（）A.的取值范圍是 B.的焦點(diǎn)可在軸上也可在軸上C.的焦距為6 D.的離心率的取值范圍為10.“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個(gè)面都是正多邊形，并且所有棱長(zhǎng)也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相同．有幾種阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到如圖，正八面體的棱長(zhǎng)為3，取各條棱的三等分點(diǎn)，截去六個(gè)角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（）A.共有18個(gè)頂點(diǎn) B.共有36條棱C.表面積為 D.體積為11.重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛(ài).古人曾有詩(shī)贊曰：“開(kāi)合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動(dòng)點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線，則__________．13.從分別寫有數(shù)字的張卡片中任取張，設(shè)這張卡片上的數(shù)字之和為，則__________．14.記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知，求使取得最大項(xiàng)時(shí)的值．（參考值：）16.某民營(yíng)學(xué)校為增強(qiáng)實(shí)力與影響力，大力招攬名師、建設(shè)校園硬件設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：年份序號(hào)x12345招生人數(shù)y/千人0.811.31.72.2（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．17.在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點(diǎn)，且．（1）求四棱錐的高；（2）求二面角的正弦值．18.已知橢圓和的離心率相同，設(shè)的右頂點(diǎn)為，的左頂點(diǎn)為，，（1）證明：；（2）設(shè)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為P，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，連，求的最大值．參考公式：19.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，，注：，，，，已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處階帕德近似，并求的近似數(shù)精確到（2）在（1）的條件下：①求證：；②若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2024高考?jí)狠S卷新高考I卷數(shù)學(xué)答案1C【解析】，，所以．2B【解析】，所以，所以，故選：B.3A【解析】由題意得，所以．故選：A4D【解析】，所以除以9的余數(shù)是8，選項(xiàng)中只有2024除以9余8.故選：D5A【解析】因?yàn)椋?，兩式相減可得.由，，解得，所以，滿足上式，故，所以.故選：A6B【解析】設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，連接圖略），因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以拋物線的方程為，準(zhǔn)線為，則，易知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則，則.因?yàn)?，所以直線的斜率為，直線的方程為.7.D【解析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).8.B【解析】本題考查線面角與三角恒等變換，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).設(shè)，，因?yàn)椋?，所以?因?yàn)?，所以，解得（?fù)根已舍去）.9AC【解析】對(duì)于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)可得，故，的焦點(diǎn)只能在軸上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)的半焦距為，則，，即焦距為，故C正確；對(duì)于D，離心率，，，的取值范圍是，故D錯(cuò)誤．故選：AC.10BD【解析】由圖可知該多面體有24個(gè)頂點(diǎn)，36條棱，故A錯(cuò)誤，B正確；該多面體的棱長(zhǎng)為1，且表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正六邊形組成，故該多面體的表面積為，故C錯(cuò)誤；正八面體可分為兩個(gè)全等的正四面體，其棱長(zhǎng)為，過(guò)作平面于，連接，如下圖：因?yàn)槠矫?，且平面，所以，正方形中，由邊長(zhǎng)為，則對(duì)角線長(zhǎng)為，則，在中，，則，正八面體的體積為，切割掉6個(gè)棱長(zhǎng)均為1的正四棱錐，減少的體積為，所以該阿基米德多面體的體積為，故D正確．故選：BD.11ABD【解析】如圖，作,分別以為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由可得，且，若，則，解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；若，則，，所以，所以，故B正確；，由于，故，故，故C錯(cuò)誤；由于，故，而，所以，所以，故D正確，故選：ABD12.【解析】，由于的圖象的一條對(duì)稱軸為直線，所以，解得．又因?yàn)?，所以．故答案為?13.【解析】從分別寫有數(shù)字的張卡片中任取張卡片的所有種結(jié)果中，，張卡片上的數(shù)字之和分別為：，所以．故答案為：14.2【解析】若，則，此時(shí)，因?yàn)椋院椭兄辽儆幸粋€(gè)小于等于2，所以，又當(dāng)，時(shí)，，所以的最大值為2．若，則，此時(shí)，因?yàn)?，所以和中至少有一個(gè)小于2，所以．綜上，的最大值為2．故答案為：2.15.（1）（2）4【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）有，所以，設(shè)時(shí)，最大，因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以，所以使取得最大?xiàng)時(shí)的值為4.16.（1）證明見(jiàn)解析（2），2.8千人．【小問(wèn)1詳解】由題意知，，，所以，因?yàn)榕c1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．【小問(wèn)2詳解】，，所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，由此預(yù)測(cè)當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)為2.8千人．17.（1）3（2）【小問(wèn)1詳解】如圖，過(guò)作的平行線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，．，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，，，四邊形為矩形，，為棱的中點(diǎn)，，從而，又因?yàn)?，，平面，平面，平面，平面，，，平面，平面，平面．為四棱錐的高，即，四棱錐的高為；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)是平面的法向量，則可取，設(shè)是平面的法向量，則可取，所以，所以二面角的正弦值為.18（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，的離心率，當(dāng)時(shí)，的離心率；當(dāng)時(shí)，的離心率，當(dāng)時(shí)，的離心率；因?yàn)?，所以或，得，又，所以，且；由題意知，，即，則，，它們的斜率之積為，因此.【小問(wèn)2詳解】由（1）問(wèn)知，，聯(lián)立與的方程，將y消去得：，解得，，又在曲線上，則，，聯(lián)立與的方程，將y消去得：，解得，，又在曲線上，則，，因此的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，即，所以，記，?dāng)最大時(shí)，也最大；可知，令得，解得，又，則，令得，因此在處取得最大值，且最大值為，因此最大值為.19（1），（2）①證明見(jiàn)解析；②【小問(wèn)1詳解】由題可知函數(shù)在處的階帕德近似，則，，，由得，所以，則，又由得，所以，由得，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】①令，，因?yàn)?，所以在及上均單調(diào)遞減.當(dāng)，，即，而，所以，即，當(dāng)，，即，而，所以，即，所以不等式恒成立；②由得在上恒成立，令，且，所以是的極大值點(diǎn)，又，故，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，，