壓軸真題必刷01實數和勾股定理（壓軸30題5種題型訓練）

壓軸真題必刷01：實數和勾股定理【題型歸納】題型一：實數新定義問題1．（2023下·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？计谀τ趦蓚€實數x，y，我們定義：，有下列說法：①；②；③若，則．其中說法正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據定義新運算的規(guī)則，逐一進行計算，進而得出結論即可．【詳解】解：∵，∴，故①錯誤；∵，∴；故②正確；∵，∴，∴，∴，即：，無法得到；故③錯誤；綜上：正確的有1個；故選B．【點睛】本題考查定義新運算，有理數的加減運算，分式的運算．理解并掌握定義新運算的規(guī)則，是解題的關鍵．2．（2023下·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀τ诟鱾€數位均不為0的三位數，將的各個數位中任取兩個數位構成一個兩位數，這樣就可以得到六個兩位數，這六個兩位數叫做的“強化數”，例如：，則的強化數字是25、52、23、32、53、35，的所有“強化數”之和與11的商記為，若，；若和是兩個三位數，它們都有“強化數”，，（，、、均為整數），若的值能被5整除，記，則的最小值為．【答案】12/【分析】根據題目所給定義即可求出的結果；根據題意可知三位數是“強化數”，則，可得，由，，，得，根據的值能被5整除，可知，即，要求的最小值，則只需滿足題意的取最?。ㄔ叫。?，取最大（越大），再根據從大到小逐一判斷是否符合題意即可求解．【詳解】解：，則的強化數字是32、23、31、13、21、12，則，設三位數是“強化數”，則，∵，（，、、均為整數），都有“強化數”，∴，∵，，，∴，，則又∵的值能被5整除，∴，即要求的最小值，則只需滿足題意的取最?。ㄔ叫。?，取最大（越大），則當時，此時不符合題意；當時，此時不符合題意；當時，此時不符合題意；當時，此時，即當越小，則最小，則，，不符合題意；，，不符合題意；，，不符合題意；，，符合題意；即：最小為，最大為，∴的最小值為．【點睛】題主要考查了新定義，不定方程的應用，關鍵是正確理解新定義和求解不定方程．3．（2023下·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┤绻粋€四位整數P能分解成兩個兩位數的乘積，且這兩個兩位數各數位上的數字之和相等，把這樣的整數P稱為“可愛數”，把這樣的分解稱為“可愛分解”，即，，（且a，b，c，d均為整數）．若恰好為完全平方數，且A是5的倍數，則滿足條件的最大“可愛數”為．【答案】5625【分析】由題意知，，，，，且為正整數，則的值為0或5，，即，由且a，b，c，d均為整數，可得，，可知且是3的整數倍，則的最大值為15，，即，①當時，，，根據，確定適當的值，然后求；②當時，，根據，確定適當的值，然后求；比較大小，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，，，，，且為正整數，∴的值為0或5，，即，∵且a，b，c，d均為整數，∴，，∴且是3的整數倍，∴的最大值為15，∴，即，①當時，，，當時，，，；當時，，舍去；當時，，舍去；②當時，，當時，，舍去；當時，，舍去，當時，，，；當時，，舍去；當時，，舍去；∵，∴滿足條件的最大“可愛數”為5625．【點睛】本題考查了新定義的運算．解題的關鍵在于根據題意確定等量關系．4．（2023下·重慶銅梁·八年級重慶市巴川中學校校考期末）對于四位數正整數，若滿足，則把M叫做“友好數”．將“友好數”M的個位字去掉得到的三位數記為s，將千位數字去掉得到的三位數記為t，并規(guī)定．則；若四位正整數（，，，x，y，m，n為整數）是“友好數”，且除以5余1，則滿足條件的N的最大值為．【答案】【分析】根據題意知的s為，t為，，根據即可得；先根據除以5余1知四位正整數N的個位是6，再結合，那么，N是“友好數”，所以，即，因為，，則，，因為要求滿足條件的N的最大值，所以，即可知道滿足條件的N的最大值．【詳解】解：根據題意知的s為，t為，，根據即可得；∵除以5余1知四位正整數N的個位是6，再結合，那么，即，因為N是“友好數”，所以，即，因為，，則，，因為要求滿足條件的N的最大值，，所以，即可知道滿足條件的N的最大值，把，，，代入中，即此時N的最大值為，故答案為：，．【點睛】本題考查的是實數的新定義運算內容，熟練掌握新定義運算法則是解題的關鍵．5．（2022上·四川內江·八年級四川省內江市第六中學?？计谥校┤绻麩o理數m的值介于兩個連續(xù)正整數之間，即滿足（其中a、b為連續(xù)正整數），我們則稱無理數m的“神奇區(qū)間”為．例：，所以的“神奇區(qū)間”為．若某一無理數的“神奇區(qū)間”為，且滿足，其中，是關于x、y的二元一次方程組的一組正整數解，則．【答案】33或127/127或33【分析】根據“神奇區(qū)間”的定義，還有二元一次方程正整數解這兩個條件，尋找符合的情況．【詳解】解：“神奇區(qū)間”為，、為連續(xù)正整數，，，是關于x、y的二元一次方程組的一組正整數解，符合條件的，有，，；，，．，，時，，，，，，，時，，，，，故的值為或，故答案為：或．【點睛】本題考查新定義，估算無理數大小，二元一次方程整數解相關知識，綜合考查學生分析、計算能力．6．（2022上·湖南永州·八年級統(tǒng)考期末）某校數學課外小組利用數軸為學校門口的一條馬路設計植樹方案如下：第k棵樹種植在點處，其中，當時．表示非負實數a的整數部分，例如．按此方案，第2021棵樹種植在點處，則．【答案】674【分析】首先根據題目條件分析的取值情況，探究的規(guī)律，繼而利用規(guī)律求解．【詳解】解：由題意可得：當，7，10，時，，當等于其余大于等于2的正整數時，均等于0，∴，，，．且，∴，故答案為：674．【點睛】本題主要考查了數字之間的關系，解題的關鍵是讀懂題目信息，列舉部分數字，找到的規(guī)律，利用規(guī)律進行求解．題型二：二次根式的化簡求值問題7．（2023下·浙江·八年級階段練習）已知，則代數式的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據已知，得到，整體思想帶入求值即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選C．【點睛】本題考查二次根式的化簡求值．熟練掌握二次根式的運算法則，利用整體思想進行求解，是解題的關鍵．8．（2022下·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）二次根式除法可以這樣做：如．像這樣通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去或者把根號中的分母化去，叫做分母有理化．有下列結論：①將式子進行分母有理化，可以對其分子、分母同時乘以；②若a是的小數部分，則的值為；③比較兩個二次根式的大小：；④計算；⑤若，，且，則整數．以上結論正確的是（

）A．①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】①類比示例，利用分式的基本性質進行分母有理化；②估計無理數的整數部分，求出小數部分，進而分母有理化進行化簡；③通過分母有理化，比較兩個二次根式的大??；④通過分母有理化找到題中無理式求和的運算規(guī)律，從而化簡求出值；⑤與y可以利用分母有理化化簡，可得出x與y互為倒數，故，然后觀察方程特點，求得n的值．【詳解】解：，故將式子進行分母有理化，可以對其分子、分母同時乘以，故①對；∵a是的小數部分，∴，∴，故②錯誤；∵，，又∵，，∴，∴，∴，∴，故③對；∵，故④錯誤；⑤∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，，，，，∵，∴，即，解得.故⑤正確．故選：D．【點睛】本題考查利用分式的基本性質、平方差公式進行分母有理化,解決二次根式的化簡、比較大小和運算的問題．9．（2020上·河南洛陽·九年級?？茧A段練習）設a為的小數部分，b為的小數部分，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先分別化簡所給的兩個二次根式，分別求出a、b對應的小數部分，然后化簡、運算、求值，即可解決問題．【詳解】∴a的小數部分為，∴b的小數部分為，∴，故選：B．【點睛】該題主要考查了二次根式的化簡與求值問題；解題的關鍵是靈活運用二次根式的運算法則來分析、判斷、解答．10．（2023上·湖南常德·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列分母有理，……從計算結果中找出規(guī)律．【答案】2022【分析】先分母有理化，然后合并同類二次根式，最后用平方差公式計算．【詳解】解：原式．故答案為：2022．【點睛】本題主要考查了規(guī)律型問題——二次根式的混合運算．熟練掌握分母有理化，探究規(guī)律，合并同類二次根式，平方差公式，二次根式的乘法法則是解決問題的關鍵．11．（2021下·廣西南寧·八年級南寧二中校聯考期末）已知：；；；……按此規(guī)律，請表示出第2021個式子．【答案】【詳解】∵第1個數：第2個數：第3個數：第4個數：∴第n個數當n=2021時，故答案為.【點睛】本題考查的是找規(guī)律，找出式子與序號的關系是解決本題的關鍵.12．（2023下·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小華根據學習“二次根式“及”乘法公式“積累的經驗，通過“由特殊到一般”的方法，探究”當時，與的大小關系”．下面是小單的深究過程：①具體運算，發(fā)現規(guī)律：當時，特例1：若，則；特例2：若，則；特例3：若，則．②觀察、歸納，得出猜想：當時，．③證明猜想：當時，∵，∴，∴．當且僅當時，．請你利用小華發(fā)現的規(guī)律解決以下問題：(1)當時，的最小值為(2)當時，的最小值為；(3)當時，求的最大值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）直接由題中規(guī)律即可完成；（2）當時，，則可由題中規(guī)律完成；（3）原式變形為，由，計算出的最小值，即可求得的最大值，則最后可求得原式的最大值．【詳解】（1）解：當時，均為正數，由題中規(guī)律得：，當且僅當，即時，，∴當x＞0時，的最小值為2；故答案為：2；（2）解：當時，，由題中規(guī)律得：，當且僅當，即時，，∴當x＜0時，的最小值為；故答案為：；（3）解：∵，∴當時，，∴，當且僅當，即時，，∵，∴，∴，∴，當且僅當時，的最大值為，∴當時，的最大值為．【點睛】本題考查了求代數式的最大值或最小值問題，讀懂題目中的規(guī)律是解題的關鍵，另外特別注意規(guī)律中兩個字母均為正數，在使用時要注意．題型三：勾股定理在幾何在的應用13．（2023下·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，．頂點的坐標為，以為邊向的外側作正方形．將組成的圖形繞點逆時針旋轉，每次旋轉，則第98次旋轉結束時，點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作軸于，在中，，，可得，根據四邊形是正方形以及等腰直角三角形的性質可得，將組成的圖形繞點逆時針旋轉，每次旋轉，每旋轉8次回到最初位置，從而得到第98次旋轉結束時，相當于將逆時針旋轉了，作軸于，通過證明，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點作軸于，，頂點的坐標為，，在中，，，，，，四邊形是正方形，，，，是等腰直角三角形，，，，，，將組成的圖形繞點逆時針旋轉，每次旋轉，每旋轉8次回到最初位置，，第98次旋轉結束時，相當于將逆時針旋轉了，如圖所示，，則，，作軸于，則，，，，，，，，第98次旋轉結束時，點的坐標為，故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質、勾股定理、坐標與旋轉規(guī)律問題、三角形全等的判定與性質，，熟練掌握正方形的性質、旋轉的性質、三角形全等的判定與性質，是解題的關鍵．14．（2023下·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形中，，，是的中點，線段在邊上左右滑動，若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】將沿著向左平移使與重合，得到，根據動點最值問題“將軍飲馬”模型，作關于的對稱點，連接，此時的最小值為線段長，利用勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：將沿著向左平移使與重合，得到，如圖所示：

由平移性質得到，，作關于的對稱點，連接，如圖所示：

由對稱性得到，，由圖可知，，此時，當三點共線時，有最小值，為線段長，，，在長方形中，，，由矩形性質可得，，是的中點，，與關于的對稱，，在長方形中，，在中，，，，由勾股定理得到，的最小值，故選：C．【點睛】本題考查動點最值問題將軍飲馬模型，涉及平移性質、對稱性質、勾股定理等知識，熟練掌握動點最值問題將軍飲馬模型題型的識別及做題方法步驟是解決問題的關鍵．15．（2023上·江蘇淮安·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，點P、Q分別是邊上的動點，則的最小值等于（

）

A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】由勾股定理可得，作A關于的對稱點，過點作，交于點，交于點，根據對稱可得：，得到當三點共線時，最小，再根據垂線段最短，得到時，最小，據此求解即可．【詳解】解：在中，，∴作A關于的對稱點，過點作，交于點，交于點，

∵，∴當三點共線時，最小，∵垂線段最短，∴時，最小，連接，∵關于對稱，∴，∴，∵，∴，即：，∴．故選D．【點睛】本題主要考查利用軸對稱求線段和最小問題．熟練掌握通過構造軸對稱解決線段和最小是解題的關鍵．16．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，．點P從點C出發(fā)，沿折線運動，速度為2個單位長度秒．點D為的中點，連接、．點P運動時間為t秒．

(1)的長度為______．(2)當時，求線段的長．(3)數學小組在探究“當t為何值時，為等腰三角形”．①小彤推斷：當點P在邊上運動時，為直角，故若為等腰三角形，只能是．請你按照她的思路，求出此時的t值．②小園推斷：當點P在邊上運動時，有可能等于．請你延續(xù)她的思路，直接寫出此時的t值．③小南猜想：當點P在邊上運動時，不可能出現的情況．請你證明她的猜想是正確的．【答案】(1)10(2)10(3)①2；②4.8；③見解析【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）根據求出點P的位置，從而得解；（3）①按照小彤的思路，根據列出方程求解即可；②按照小彤的思路，根據列出方程求解即可；③按照小南的思路，利用垂線段最短和②中的結論可知，從而證明．【詳解】（1）解：∵中，，，，∴，故答案為：10；（2）當時，路程為，又∵，，∴，∴此時點P即為點B，∴；（3）∵點D為的中點，，∴，①當點P在邊上運動時，為直角，故若為等腰三角形，只能是，又依題意得到：，∴，解得：，②當點P在邊上運動時，，∴，．連接，

假設等于成立，則有，∴，又∵∴，即∴，即，∴，∴，解得：，即有可能等于，此時的t值為；③由②可知點C到AB的距離為4.8，∴當點P在邊上運動時，，又∵，∴，∴當點P在邊上運動時，不可能出現的情況．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，垂線段最短，勾股定理，正確作圖和作輔助線，以及掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．17．（2023上·福建福州·八年級校聯考期末）如圖1，，，，．

(1)求的面積；(2)如圖2，點M在邊上，點N在邊上，求的最小值；(3)如圖3，點P是在邊上，過點P分別作直線、直線的對稱點D、E，當周長最小時，求線段的長．【答案】(1)；(2)的最小值為；(3)線段的長為．【分析】（1）作于點D，利用含30度角的直角三角形的性質求得的長，再利用三角形面積公式即可求解；（2）作點關于的對稱點，連接，作交于點M，交于點N，則的最小值為的長，證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質即可求解；（3）利用軸對稱的性質求得是等腰三角形，且頂角為定角，當取最小值時，的周長有最小值，即當時，的周長有最小值，利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：作于點D，

∵，，∴，∴的面積為；（2）解：作點關于的對稱點，連接，作交于點M，交于點N，

此時，，則的最小值為的長，∵點與點關于對稱，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴的最小值為；（3）解：∵點D、E是點P關于直線和的對稱點，∴，，，，∴，，∴是等腰三角形，且頂角為定角，∴當取最小值時，的周長有最小值，∴當時，的周長有最小值，

∵，，∴，∴，∴，∴線段的長為．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．18．（2023上·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，的一個動點，作點關于的對稱點，，交直線于點．

(1)若，，是邊上的高線．①求線段的長；②當，求線段的長；(2)在的情況下，當是等腰三角形時，直接寫出的度數．【答案】(1)①；②；(2)或【分析】（1）①根據題意，作出高線，利用等面積法列等式求解即可得到答案；②根據對稱性，結合①中，得到即可得到；（2）根據是等腰三角形，分三種情況：①；②；③；結合條件求解即可得到答案．【詳解】（1）解：①如圖，過點作，

在中，，，，是邊上的高線，，即，解得：；②根據題意，如圖所示：

點關于對稱點為，，由①知，則，；（2）如圖所示：

由是等腰三角形，分三種情況：①；②；③；①當時，點關于對稱點為，，在中，，'是的一個外角，，即；②當時，點關于對稱點為，，在中，，是的一個外角，，即；③當時，點關于對稱點為，，是的一個外角，，即（舍棄），綜上所述，在的情況下，或．題型四：勾股定理的實際應用19．（2022下·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）如圖，圓柱的高為6cm，底面周長為16cm，螞蟻在圓柱側面爬行，從點A爬到點B的最短路程是cm．【答案】10【分析】過A點和過B點的母線剪開，展成平面，連接AB，則AB的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到B點的最短路程，求出AD和BD的長，根據勾股定理求出斜邊AB即可．【詳解】解：如圖所示：沿過A點和過B點的母線剪開，展成平面，連接AB，則AB的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到B點的最短路程，AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，由勾股定理得：（cm）．故答案為：10．【點睛】本題考查了平面展開?最短路線問題和勾股定理的應用，關鍵是知道求出AB的長就是螞蟻在圓柱表面從A點爬到B點的最短路程．20．（2021上·重慶·七年級校聯考期末）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為dm．【答案】17【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據兩點之間線段最短進行解答．【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為8dm，寬為，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xdm，由勾股定理得：，解得．故答案為：17．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據題意判斷出長方形的長和寬即可解答．21．（2021下·浙江·八年級統(tǒng)考期末）在數學綜合實踐課中，小明和同學對類似八下教科書25頁例2的問題進行拓展探索：如圖1，一根長為5米的木棍斜靠在一豎直的墻上，為4米，如果木棍的頂端沿墻下滑米，底端向外移動米，下滑后的木棍記為，則與滿足的等式，即關于的函數解析式為，小明利用畫圖軟件畫出了該函數圖象如圖2，（1）請寫出圖象上點的坐標（1，）（2）根據圖象，當的取值范圍為時，的周長大于的周長．【答案】【分析】（1）把的橫坐標代入，求解點的縱坐標即可；（2）先分別求解的周長，的周長，可得：當的周長的周長時，即，再畫出直線的圖象，直線過點、，觀察函數圖象可得答案.【詳解】解：（1）當時，，故點的坐標為，故答案為1；（2）由，得：，由題意得：，，則的周長，而的周長，則當的周長的周長時，即，由（1）知，當時，，當時，，則在原圖象的基礎上，畫出直線的圖象如下，直線過點、，從圖象看，當時，，即的周長大于的周長，故答案為：．【點睛】本題考查的是動態(tài)問題的函數圖象，二次根式的化簡，理解圖象上點的橫坐標與縱坐標的含義，利用兩個函數圖象的交點坐標解決有關不等關系問題是解題的關鍵.22．（2021上·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業(yè)余數學愛好者．向常春在1994年構造發(fā)現了一個新的證法．【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形△ABC和△DAE如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．請用a，b，c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四邊形AECD＝，再探究這三個圖形面積之間的關系，它們滿足的關系式為，化簡后，可得到勾股定理．【知識運用】如圖2，河道上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距200米，C，D為兩個菜園（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD＝80米，BC＝70米，現在菜農要在AB上確定一個抽水點P，使得抽水點P到兩個菜園C，D的距離和最短，則該最短距離為米．【知識遷移】借助上面的思考過程，請直接寫出當0＜x＜15時，代數式的最小值＝．【答案】（小試牛刀），，，；（知識運用）米；（知識遷移）【分析】（小試牛刀）根據梯形、三角形的面積公式求解即可，四邊形面積為和的面積和，求解即可；（知識運用）作點關于的對稱點，連接，則，由三角形三邊關系可得當三點共線時，距離最?。唬ㄖR遷移）如下圖，，，、，點為線段上一點，則，由上可得當三點共線時，距離最?。驹斀狻拷猓海ㄐ≡嚺５叮┯蓤D形可得化簡可得故答案為：，，，；（知識運用）作點關于的對稱點，連接，如下圖：由題意可得：，則的最小值，即為的最小值由三角形三邊關系可得：，當三點共線時∴的最小值為，米故答案為米；（知識遷移）如下圖，，，、，點為線段上一點，則，由上可得當三點共線時，距離最小，最小為，故答案為【點睛】此題考查了勾股定理的證明以及勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的應用．23．（2021·江蘇蘇州·蘇州市立達中學校?？级＃┥衔?點，某臺風中心在A島正南方向處由南向北勻速移動，同時在A島正西方向處有一艘補給船向A島勻速駛來，補給完后改變速度立即向A島正北方向的C港勻速駛去，如圖所示是臺風中心、補給船與A島的距離S和時間t的圖象．已知臺風影響的半徑是（包含邊界），請結合圖象解答下列問題：（1）臺風的速度是_________，補給船在到達A島前的速度是_________，圖中點P的實際意義是_______________；（2）從幾點開始，補給船將受到臺風的影響？（3）設補給船駛出A島到駛到C港之前受到臺風影響的時間為a小時，出于安全考慮，補給船速度不超過、．求出圖中補給船航行時間m的正整數值及此時補給船在駛入C港之前受臺風影響的總時間．【答案】（1）20，60，補給船與臺風中心分別在A島正北與正南方向，且到A島的距離相等；（2）8點12分；（3）補給船在駛入C港之前受臺風影響的總時間為小時．【分析】（1）首先根據圖像為臺風中心、補給船與A島的距離S和時間t的圖象，臺風在上午8點距離A島100km，即可得出線段DE為臺風中心距離A島的距離S和時間t的圖象；補給船上午8點距離A島40km，即可得出線段FG為補給船與A島的距離S和時間t的圖象，從圖像獲取信息即可求得各自的速度；由題目可知，補給船到達A島后，還要去C港，此時與臺風的圖像相交，結合各自的速度，即可得出點P的實際意義；（2）由臺風影響的半徑是（包含邊界），即可畫出此情況下的圖形，利用勾股定理列出方程，求解即可得出答案；（3）根據補給船駛出A島到駛到C港之前受到臺風影響的時間為a小時，即可列出方程，解出a，根據題目要求，補給船速度不超過且，列出不等式，再根據m為正整數，即可求出m；補給船受臺風影響總時間為駛向C港受影響的時間加上駛向A島受影響的時間，即可求得答案．【詳解】（1）由題分析得，線段DE為臺風中心與A島之間的距離S與時間t的圖像，∴臺風的速度,線段FG是補給船與A島的距離S與時間t的圖像，∴補給船的速度，∴點P表示：補給船與臺風中心分別在A島正北與正南方向，且到A島的距離相等；（2）如圖所示開始受影響，即BH=100km，設t小時后補給船開始受臺風影響，則在中，由勾股定理得，，解得，（不合題意，舍去），∴補給船出發(fā)（分鐘），開始受臺風影響，∴從8點12分開始補給船開始受臺風影響；（3）由圖可得，補給船離開A島時，臺風已經移動了1小時，臺風中心距離A島的距離為：，由圖可知，補給船離開A島駛向C港的路程為120km，時間為，故補給船離開A島駛向C港的速度為：(km/h)，∵補給船駛出A島到駛到C港之前受到臺風影響的時間為a小時，∴解得，∵∴，由圖可知，去分母得，解得：，又∵補給船速度不超過，∴由圖可知，去分母得，解得：∴∵m為正整數，∴當即補給船駛出A島到駛到C港之前受臺風影響的時間為，在補給船出發(fā)駛向A島的過程中，有沒有受臺風影響，∴補給船在駛入C港之前受臺風影響的總時間．【點睛】本題考查了從函數圖像獲取信息，勾股定理，一元二次方程的應用，解不等式組，解題關鍵是正確理解題意，能從函數圖像中獲取需要信息進行求解．24．（2020上·四川達州·八年級?？茧A段練習）如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（2）（2）甲方案所修的水渠較短；理由見解析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結果．【詳解】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積＝AB?CH＝AC?BC，∴CH＝（m），∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠較短．【點睛】本題考查了勾股定理的應用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形是解決問題的關鍵．題型五：勾股定理與其他知識交匯25．（2022上·北京海淀·八年級校考期末）在中，，為內一點，連接，，延長到點，使得．(1)如圖1，延長到點，使得，連接，．若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2．若，試探究，，這三條線段之間的數量關系，并證明你的結論．【答案】(1)見詳解(2)，證明過程見詳解【分析】（1）證明由全等三角形的性質得出，證出，即可得出結論；（2）由題意畫出圖形，延長到，使，連接，，由（1）得，，由勾股定理的逆定理證出，得出，再由勾股定理得出結論．【詳解】（1）在和中，，，，，．（2）由題意補全圖形如下：延長到，使，連接，，，，，由（1）得，，，，，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形和直角三角形的性質，勾股定理和它的逆定理，證出是解本題的關鍵．26．（2022上·福建漳州·八年級福建省長泰縣第一中學校考期末）如圖1，長方形，，點是線段上一動點（不與，重合），點是線段延長線上一動點，連接，，，交于點．設，，已知與之間的函數解析式如圖2所示．(1)與之間的函數關系式，邊的長為；(2)小黃認為：“的度數不會隨著點的運動而發(fā)生變化”．你同意小黃的觀點嗎？請說明理由．(3)是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)同意，理由見解析(3)存在，【分析】（1）設與的函數表達式為，根據圖像經過，得到關于、二元一次方程組，求解即可，再求出當時的的值即可得出的長；（2）根據勾股定理定理表示出、、，再根據勾股定理的逆定理即可得出的度數；（3）設存在的值，使得，根據等邊對等角及平行線