河南省安陽市林州市部分學(xué)校2023屆高考一模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省安陽市林州市部分學(xué)校2023屆高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B.2.已知全集，集合滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為全集，，所以，所以.故選：C.3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量，若，則，則.故選：D.4.已知，直線，若點滿足，過點作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗點滿足，所以點是以為焦點的橢圓，所以點的軌跡為，聯(lián)立，消去得，，所以直線與橢圓相離，設(shè)與直線平行的直線方程為，聯(lián)立，消去得令，解得，當(dāng)時，，可得的最大值為，當(dāng)時，，可得的最小值為，故選：A.5.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也作陀羅，閩南語稱作“干樂”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老?！保畟鹘y(tǒng)古陀螺大致是木制或鐵制的倒圓錐形、現(xiàn)有一圓錐形陀螺（如圖所示），其底面半徑為4，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回到原位置時，圓錐本身恰好滾動了4周，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為，設(shè)圓錐的母線長為，則，所以，所以該圓錐的表面積為.故選：D.6.若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.7.已知正三棱臺的上、下底面的棱長分別為，高為3，則該棱臺外接球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖為正三棱臺，分別為正三棱臺上下底面的中心，則該棱臺外接球的球心在直線上，設(shè)上下底面外接圓的半徑分別為，棱臺外接球的半徑為，則，所以r1=1,因為，則球心在三棱臺內(nèi)部，即線段上，設(shè)OO由勾股定理可得，解得，所以，所以該棱臺外接球的體積為.故選：A.8.已知函數(shù)定義域均為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，因為，所以，所以，因為，所以，則，所以①，所以，所以，即，所以函數(shù)是以為周期周期函數(shù)，由①得，所以，所以，所以.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國四大傳統(tǒng)節(jié)日，賽龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國自古傳承，至今不輟，一個袋中裝有大小一樣的4個豆沙粽、2個成肉粽，現(xiàn)從中隨機(jī)地取3個粽子，設(shè)取出的3個粽子中成肉粽的個數(shù)為X，則（）A.的所有可能取值為0，1，2，3 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因為袋中裝有4個豆沙粽、2個成肉粽，從中隨機(jī)地取3個粽子，所以的所有可能取值為0，1，2，且，，，則，.故選：BCD.10.已知，則（）A. B.C.的最小值為 D.〖答案〗ABD〖解析〗由，得，則分別為直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)，而函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，又直線與互相垂直，因此點與關(guān)于直線對稱，則，對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，函數(shù)單調(diào)遞增，，，則，，即，，C錯誤；對于D，顯然，因此，D正確.故選：ABD.11.設(shè)拋物線的焦點為為拋物線上一動點．當(dāng)點運動到點時，，直線與拋物線相交于兩點，點，則（）A.拋物線的方程為B.的最小值為8C.以為直徑的圓與軸相切D.若以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則直線過焦點〖答案〗ACD〖解析〗對于A：因為拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點到的距離為，則，解得，所以拋物線的方程為，故A正確；可得拋物線的方程為的焦點，準(zhǔn)線.對于B：若，則，解得，即點在拋物線內(nèi)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點為過點作的垂線與拋物線的交點時，等號成立，故B錯誤；對于C：設(shè)的中點為，過作y軸的垂線，垂足為，則，因為，可得，所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；對于D：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，，即的中點，若以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則，即，整理得，即，此時，滿足題意，此時直線過焦點，故D正確；故選：ACD.12.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，則，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，由，可得，即，又，，則則，則，故選項A判斷正確，選項C判斷錯誤；構(gòu)造函數(shù)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）則在R上單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時，，即，，則，又，當(dāng)時單調(diào)遞減，則，則故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開式中的系數(shù)為60，則實數(shù)______．〖答案〗〖解析〗展開式的通項為，令，則，所以展開式中的系數(shù)為，解得.14.寫出一個過點和點的圓的方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗依題意，不妨求以為直徑的圓，因為點和點，所以，的中點為，則以為直徑的圓的方程為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則圖象的對稱中心為______．〖答案〗〖解析〗由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減可得，解得，又，解得，解得所以當(dāng)時，，所以，令，得，所以圖象的對稱中心為.16.在正四面體中，M為線段AC上一點，且，點N為線段BC的中點，則直線與平面所成角的正切值是_____．〖答案〗〖解析〗如圖，過點A作AO垂直底面，垂足為O，連接，因為平面，則，，過點M作于G，連接NG，又，則且，因為平面，所以平面，又平面，所以，則即為直線與平面所成角的平面角，設(shè)正四面體的棱長為2，則，所以，則，在中，則由余弦定理可得：，在中，，所以，所以直線與平面所成角的正切值是．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為，由，得，解得，所以；（2）由（1）得，所以.18.已知的內(nèi)角的對邊分別為．（1）求；（2）若為線段上一點，且，求的長．解：（1）因為，所以由正弦定理可得，因為，所以，即，因為，所以，所以，即.（2）由題意知，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去）.因為，所以，故.所以，即的長為.19.如圖，圓錐的頂點為，其母線長為3，點都在底面圓上，為直徑，且，設(shè)分別是母線上靠近點的三等分點．（1）證明：．（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值．（1）證明：因為，，，所以，則，在圓錐中，平面，平面，則，即,又因為為直徑，則，又，，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為分別是母線上靠近點的三等分點，所以且，又，所以，即.（2）解：由得，均為等邊三角形，則，如圖，以為坐標(biāo)原點，垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，的高為，則，，則，，，，，，分別是母線上靠近點的三等分點，所以，則，，則，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,令，則，設(shè)平面的法向量為n=x2,令，則，因為，所以，故二面角的余弦值為.20.某公司進(jìn)行工資改革，將工作效率作為工資定檔的一個重要標(biāo)準(zhǔn)，大大提高了員工的工作積極性，但也引起了一些老員工的不滿．為了調(diào)查員工的工資與工齡的情況，人力資源部隨機(jī)從公司的技術(shù)研發(fā)部門中抽取了16名員工了解情況，結(jié)果如下：工齡（年）12345678年薪（萬）9.9510.129969.9610.019.929.9810.04工齡（年）910111213141516年薪（萬）10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，，，其中表示工齡為i年的年薪，．（1）求年薪與工齡i（）的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為年薪與工齡具有線性相關(guān)關(guān)系（若，則可以認(rèn)為年薪與工齡不具有線性相關(guān)關(guān)系）．（2）在抽取的16名員工中，如果年薪都在之內(nèi)，則繼續(xù)推進(jìn)工資改革，同時給每位老員工相應(yīng)的補(bǔ)貼，如果有員工年薪在之外，該員工會被人力資源部約談并進(jìn)行崗位調(diào)整，且需要重新計算原抽取的16名員工中留下的員工年薪的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，由于人力資源部需要安撫老員工的情緒，工作繁重，現(xiàn)請你幫忙計算留下的員工年薪的均值和標(biāo)準(zhǔn)差．（精確到0.01）附：樣本的相關(guān)系數(shù)，，，，．解：（1）計算相關(guān)系數(shù)，因為，所以可認(rèn)為年薪與工齡不具有線性相關(guān)關(guān)系．（2）因為，，所以在之內(nèi)的范圍是，顯然第13號員工不在此范圍之內(nèi)，所以需要對余下的員工進(jìn)行計算，剔除離群值后，剩下的數(shù)據(jù)平均值為，因為，所以，所以剔除離群值后樣本方差為，故剔除離群值后樣本標(biāo)準(zhǔn)差為．21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有三個不同的零點，求a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，，當(dāng)x<1時，；當(dāng)x>1時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由有三個不同的零點，有三個不同的根，又不是方程的根，有三個不同的根，令，，即與有三個不同的交點，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，的極小值為，又為過點的直線，斜率為，由與有三個不同的交點，且，直線的斜率，，即a的取值范圍為.22.如圖，已知直線，M是平面內(nèi)一個動點，且MA與相交于點A（A位于第一象限），，且MB與相交于點B（B位于第四象限），若四邊形OAMB（O為原點）的面積為．（1）求動點M的軌跡C的方程；（2）過點的直線l與C相交于P，Q兩點，是否存在定直線l′:，使以PQ為直徑的圓與直線l′相交于E，F(xiàn)兩點，且為定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)，所在直線方程為，聯(lián)立方程得，同理，，所以四邊形OAMB的面積為：，所以，所以動點M的軌跡C的方程為．（2）假設(shè)存在定直線l′：，使為定值．設(shè)，PQ中點，直線l方程為，聯(lián)立方程，由，得，，，，設(shè)G到直線l′：的距離，，因為為定值，所以為定值．由為定值，故即，即當(dāng)時，為定值，此時．所以存在定直線，使為定值．河南省安陽市林州市部分學(xué)校2023屆高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B.2.已知全集，集合滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為全集，，所以，所以.故選：C.3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量，若，則，則.故選：D.4.已知，直線，若點滿足，過點作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗點滿足，所以點是以為焦點的橢圓，所以點的軌跡為，聯(lián)立，消去得，，所以直線與橢圓相離，設(shè)與直線平行的直線方程為，聯(lián)立，消去得令，解得，當(dāng)時，，可得的最大值為，當(dāng)時，，可得的最小值為，故選：A.5.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也作陀羅，閩南語稱作“干樂”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老?！保畟鹘y(tǒng)古陀螺大致是木制或鐵制的倒圓錐形、現(xiàn)有一圓錐形陀螺（如圖所示），其底面半徑為4，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回到原位置時，圓錐本身恰好滾動了4周，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為，設(shè)圓錐的母線長為，則，所以，所以該圓錐的表面積為.故選：D.6.若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.7.已知正三棱臺的上、下底面的棱長分別為，高為3，則該棱臺外接球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖為正三棱臺，分別為正三棱臺上下底面的中心，則該棱臺外接球的球心在直線上，設(shè)上下底面外接圓的半徑分別為，棱臺外接球的半徑為，則，所以r1=1,因為，則球心在三棱臺內(nèi)部，即線段上，設(shè)OO由勾股定理可得，解得，所以，所以該棱臺外接球的體積為.故選：A.8.已知函數(shù)定義域均為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，因為，所以，所以，因為，所以，則，所以①，所以，所以，即，所以函數(shù)是以為周期周期函數(shù)，由①得，所以，所以，所以.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國四大傳統(tǒng)節(jié)日，賽龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國自古傳承，至今不輟，一個袋中裝有大小一樣的4個豆沙粽、2個成肉粽，現(xiàn)從中隨機(jī)地取3個粽子，設(shè)取出的3個粽子中成肉粽的個數(shù)為X，則（）A.的所有可能取值為0，1，2，3 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因為袋中裝有4個豆沙粽、2個成肉粽，從中隨機(jī)地取3個粽子，所以的所有可能取值為0，1，2，且，，，則，.故選：BCD.10.已知，則（）A. B.C.的最小值為 D.〖答案〗ABD〖解析〗由，得，則分別為直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)，而函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，又直線與互相垂直，因此點與關(guān)于直線對稱，則，對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，函數(shù)單調(diào)遞增，，，則，，即，，C錯誤；對于D，顯然，因此，D正確.故選：ABD.11.設(shè)拋物線的焦點為為拋物線上一動點．當(dāng)點運動到點時，，直線與拋物線相交于兩點，點，則（）A.拋物線的方程為B.的最小值為8C.以為直徑的圓與軸相切D.若以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則直線過焦點〖答案〗ACD〖解析〗對于A：因為拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點到的距離為，則，解得，所以拋物線的方程為，故A正確；可得拋物線的方程為的焦點，準(zhǔn)線.對于B：若，則，解得，即點在拋物線內(nèi)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點為過點作的垂線與拋物線的交點時，等號成立，故B錯誤；對于C：設(shè)的中點為，過作y軸的垂線，垂足為，則，因為，可得，所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；對于D：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，，即的中點，若以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則，即，整理得，即，此時，滿足題意，此時直線過焦點，故D正確；故選：ACD.12.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，則，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，由，可得，即，又，，則則，則，故選項A判斷正確，選項C判斷錯誤；構(gòu)造函數(shù)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）則在R上單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時，，即，，則，又，當(dāng)時單調(diào)遞減，則，則故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開式中的系數(shù)為60，則實數(shù)______．〖答案〗〖解析〗展開式的通項為，令，則，所以展開式中的系數(shù)為，解得.14.寫出一個過點和點的圓的方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗依題意，不妨求以為直徑的圓，因為點和點，所以，的中點為，則以為直徑的圓的方程為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則圖象的對稱中心為______．〖答案〗〖解析〗由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減可得，解得，又，解得，解得所以當(dāng)時，，所以，令，得，所以圖象的對稱中心為.16.在正四面體中，M為線段AC上一點，且，點N為線段BC的中點，則直線與平面所成角的正切值是_____．〖答案〗〖解析〗如圖，過點A作AO垂直底面，垂足為O，連接，因為平面，則，，過點M作于G，連接NG，又，則且，因為平面，所以平面，又平面，所以，則即為直線與平面所成角的平面角，設(shè)正四面體的棱長為2，則，所以，則，在中，則由余弦定理可得：，在中，，所以，所以直線與平面所成角的正切值是．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為，由，得，解得，所以；（2）由（1）得，所以.18.已知的內(nèi)角的對邊分別為．（1）求；（2）若為線段上一點，且，求的長．解：（1）因為，所以由正弦定理可得，因為，所以，即，因為，所以，所以，即.（2）由題意知，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去）.因為，所以，故.所以，即的長為.19.如圖，圓錐的頂點為，其母線長為3，點都在底面圓上，為直徑，且，設(shè)分別是母線上靠近點的三等分點．（1）證明：．（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值．（1）證明：因為，，，所以，則，在圓錐中，平面，平面，則，即,又因為為直徑，則，又，，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為分別是母線上靠近點的三等分點，所以且，又，所以，即.（2）解：由得，均為等邊三角形，則，如圖，以為坐標(biāo)原點，垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，的高為，則，，則，，，，，，分別是母線上靠近點的三等分點，所以，則，，則，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,令，則，設(shè)平面的法向量為n=x2,令，則，因為，所以，故二面角的余弦值為.20.某公司進(jìn)行工資改革，將工作效率作為工資定檔的一個重要標(biāo)準(zhǔn)，大大提高了員工的工作積極性，但也引起了一些老員工的不滿．為了調(diào)查員工的工資與工齡的情況，人力資源部隨機(jī)從公司的技術(shù)研發(fā)部門中抽取了16名員工了解情況，結(jié)果如下：工齡（年）12345678年薪（萬）9.9510.129969.9610.019.929.9810.04工齡（年）910111213141516年薪（萬）10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，，，其中表示工齡為i年的年薪，．（1）求年薪與工齡i（）的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為年薪與工齡具有線性相關(guān)關(guān)系（若，則可以認(rèn)為年薪與工齡