人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)【課件】

音樂能撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，---------但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。8.1.2樣本的相關(guān)系數(shù)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系的概念2、相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系相關(guān)關(guān)系—當(dāng)自變量取值一定,因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性（非確定性關(guān)系)函數(shù)關(guān)系---函數(shù)關(guān)系指的是自變量和因變量之間的關(guān)系是相互唯一確定的.1、對(duì)相關(guān)關(guān)系的理解散點(diǎn)圖1、散點(diǎn)圖：將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi)（i＝1，2，…，n）描在平面直角坐標(biāo)系中，以表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖.2、分類：（1）正相關(guān)、負(fù)相關(guān)正相關(guān)：如果散點(diǎn)圖的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，即一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也近似的由小變大，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱為正相關(guān)負(fù)相關(guān)：如果散點(diǎn)圖的點(diǎn)散布的位置是從在左上角到右下角的區(qū)域，即一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也近似的由大變小，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱為負(fù)相關(guān).（2）線性相關(guān)和非線性相關(guān)兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的確定(1).經(jīng)驗(yàn)作出推斷(2).通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，再利用模型進(jìn)行估計(jì)或推斷通過觀察散點(diǎn)圖中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,我們可以大致推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等,散點(diǎn)圖雖然直觀,但無法確切地反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度,也就無法量化兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的大小.能否像引入平均值、方差等數(shù)字特征對(duì)單個(gè)變量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析那樣,引入一個(gè)適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”,對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢?

對(duì)于變量??和變量??,設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)數(shù)據(jù)為(??1,??1),(??2,??2),?,(????,????),

平移繪制散點(diǎn)圖為這時(shí)的散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限,大多數(shù)散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號(hào),顯然,這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的

如果變量x和變量y負(fù)相關(guān),那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)點(diǎn)將分布在第二、四象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)異號(hào)居多.························

如果變量x和變量y正相關(guān),那么均值平移后的大多數(shù)點(diǎn)將分布在第一、三象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)同號(hào)居多；思考：根據(jù)上述分析,你能利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)平移后星現(xiàn)的規(guī)律,構(gòu)造一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎?根據(jù)散點(diǎn)圖特征，初步構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量.利用散點(diǎn)

的橫縱坐標(biāo)是否同號(hào),可以構(gòu)造一個(gè)量一般情形下,Lxy>0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);Lxy<0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).思考:Lxy的大小一定能度量出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎?

在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時(shí),如果體重的單位不變,把身高單位由米改為厘米,單位的改變不會(huì)改變體重與身高之間的相關(guān)程度.我們發(fā)現(xiàn),Lxy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不能直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.

為了消除單位的影響，進(jìn)一步做“標(biāo)準(zhǔn)化”處理為簡(jiǎn)單起見,把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)分別記為仿照Lxy的構(gòu)造,可以得到當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變小;當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大。當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大:當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小。我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)和絕對(duì)值的大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征：樣本相關(guān)系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)化處理后的成對(duì)樣本數(shù)據(jù):設(shè)其第一分量為

設(shè)其第二分量為

樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢?

樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1]當(dāng)|r|=1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系？當(dāng)|r|=1時(shí)

，向量

與

共線。

即存在實(shí)數(shù),使得

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)都落在直線

上

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)分量之間滿足一種線性關(guān)系由此可見，樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1，1],樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度：當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);

當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

樣本相關(guān)系數(shù)r有時(shí)也稱樣本線性相關(guān)系數(shù),|r|刻畫了樣本點(diǎn)集中于某條直線的程度.當(dāng)r=0時(shí)，只表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系.

兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過散點(diǎn)圖對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，而樣本相關(guān)系數(shù)r可以反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度：r

的符號(hào)反映相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性，|r|的大小反映兩個(gè)變量線性相關(guān)的程度，即散點(diǎn)集中于一條直線的程度.年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6

參考數(shù)據(jù):典型例題例1根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù),推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān),計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù),并推斷它們的相關(guān)程度解：先畫出散點(diǎn)圖,如右圖所示觀察散點(diǎn)圖，可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).

由樣本相關(guān)系數(shù)??≈0.97,可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)。脂肪含量與年齡變化趨勢(shì)相同.參考數(shù)據(jù):例1根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù),推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān),計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù),并推斷它們的相關(guān)程度典型例題散點(diǎn)圖可以從直觀上判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性，通過樣本相關(guān)系數(shù)則可以從定量的角度刻畫成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性和線性相關(guān)程度.解:第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138394344.646A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0畫出散點(diǎn)圖，判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢(shì)的異同.從散點(diǎn)圖看，A商品銷售額與居民年收入的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系.居民年收入/億元504540352030253035404550·······55A商品銷售額/萬元···例2有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù),如表所示.典型例題例3.在某校高一年級(jí)中隨機(jī)抽取25名男生,測(cè)得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù),如下表所示.體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性?解:通過計(jì)算得到體重與身高、臂展與身高的樣本相關(guān)系數(shù)分別約為0.34和0.78,都為正相關(guān).其中,臂展與身高的相關(guān)程度更高.典型例題1.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)比較，正確的是(

)A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3A鞏固練習(xí)

2.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如圖所示．依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，y與x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r并加以說明（若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高）:02468345X(千克)y(百千克)5·····∵r＞0.75，∴可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.練習(xí)：現(xiàn)隨機(jī)抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生,他們?nèi)雽W(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)(x)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(y)如下：學(xué)生號(hào)12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請(qǐng)問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)是否具有線性關(guān)系？由此可看出這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系.2.假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0(2)對(duì)x,y進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn).|r|≈0.979,所以x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.樣本相關(guān)系數(shù)r(1)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．(2)r的取值范圍為[-1，1](3)當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)