2024屆浙江省“數(shù)海漫游”高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省“數(shù)海漫游”2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A.0 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所?所以,所以,所以.故選：C.2.已知，則的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，因?yàn)?，所以，可?故選：D.3.記Sn為非零數(shù)列an的前項(xiàng)和，若，則（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗，則.即.,，.故.故選：B.4.設(shè)點(diǎn)在正四面體的棱AB上，AB與平面所成角為，則（）A.4 B.10 C.14 D.20〖答案〗B〖解析〗取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，過作于，因?yàn)樗拿骟w為正四面體，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以（或其補(bǔ)角）為與平面所成角，所以，則，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則,所以，所以為銳角，所以，所以，在中，，則，在中，，則，所以，解得，所以,所以.故選：B.5.已知向量均為單位向量，則的最小值是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由向量均為單位向量，設(shè)向量的夾角為，由，則，所以設(shè)，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以的最小值為，所以的最小值為.故選：C.6.小明開始了自己的存錢計(jì)劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第天早上八點(diǎn)以的概率向存錢罐中存入100元，．若小明在第4天早上七點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自己前3天晚上八點(diǎn)時(shí)存錢罐中的余額恰好成等差數(shù)列，則小明在第2天存入了100元概率是（）A. B.15 C. D.〖答案〗A〖解析〗余額恰好成等差數(shù)列，即，其中第天存入元的是，故所求概率為.故選：A.7.設(shè)橢圓的弦AB與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，，若直線AB的斜率，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設(shè)，直線，因?yàn)椋?，所以，即，，所?因?yàn)樵跈E圓上，所以，兩式相減得，即.又因?yàn)?，且，，所以，即，所?故選：C.8.稱平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)為好整點(diǎn)，記為集合包含的好整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．若，則正整數(shù)的最小值是（）A.1976 B.1977 C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面：由題意，，使得不等式恒成立，注意到，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以正整數(shù)應(yīng)該滿足，另一方面：當(dāng)時(shí)，我們證明：成立，證明過程如下：注意到，所以，，記，則，，，即成立，綜合以上兩方面，可知正整數(shù)的最小值是1977.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)雙曲線與直線交于與兩點(diǎn)，則可能有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗聯(lián)立方程組，可得，因?yàn)殡p曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，A正確；當(dāng)m>0時(shí)，，C正確；當(dāng)或時(shí)，，D正確.故選：ACD.10.若無窮數(shù)列由唯一確定，稱遞推公式是專一的．則下列遞推公式中專一的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋傻?，所以遞推公式是專一的，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，令，可得，即，解得或，所以推公式不是專一的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可得，令，可得，可得，且，可得，即，可知?shù)列是以2為周期的周期函數(shù)，且，則，所以遞推公式是專一的，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，由可得：，則，由可得，解得或，所以推公式不是專一的，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)滿足，則（）A.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差變大 B.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差變大C.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差減小 D.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差減小〖答案〗AD〖解析〗熟知對(duì)一組數(shù)據(jù)，其方差等于各個(gè)數(shù)據(jù)的平方的算術(shù)平均值與算術(shù)平均值的平方之差，即.將拿走前后的方差分別記為.對(duì)于A，給五個(gè)元素同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不影響方差，所以可以適當(dāng)平移，使得剩下的4個(gè)元素：的平均值為0，不妨設(shè)，則，，所以.故，所以A正確；對(duì)于B，考慮，則，，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，考慮，則，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于這組數(shù)據(jù)不全相等，所以，而，所以D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)至多有______個(gè)零點(diǎn)．〖答案〗1〖解析〗當(dāng)，令，解得，但，所以只有可能是零點(diǎn)，且.當(dāng)，令，解得，又，所以只有，即時(shí)，可能是零點(diǎn).綜上，當(dāng)，至多1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，至多1個(gè)零點(diǎn)．即函數(shù)至多1個(gè)零點(diǎn)．13.已知正方體的棱長(zhǎng)為3，取出各棱的兩個(gè)三等分點(diǎn)，共24個(gè)點(diǎn)，對(duì)于正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)這24個(gè)點(diǎn)中與距離最小的三個(gè)點(diǎn)為，從正方體中切去所有四面體，得到的幾何體的外接球表面積是______．〖答案〗〖解析〗由題意可知，如圖，將正方體切去8個(gè)角上的四面體即得所求幾何體，該幾何體的外接球球心即正方體外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，球心為.設(shè)四面體高，其中是在平面的投影.已知正方體棱長(zhǎng)為3，則，，由，得，解得，，，則，故幾何體的外接球表面積.14.當(dāng)，為銳角時(shí)，恒有，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗令，，，令，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，有最大值，即，設(shè)，，，而，，，，在上單調(diào)遞增，所以，即，，，因此，即，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點(diǎn)為拋物線與圓在第一象限的交點(diǎn)，另一交點(diǎn)為.（1）求；（2）若點(diǎn)在圓上，直線為拋物線的切線，求的周長(zhǎng)．解：（1）由題意，，解得．（2）在拋物線與圓的方程中，用替換方程依然成立，這表明這兩個(gè)圖象都關(guān)于軸對(duì)稱，所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于軸對(duì)稱，由，知．直線為拋物線的切線，當(dāng)時(shí)，，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，則．代入，得或1，故．則的周長(zhǎng)為．16.小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1，2，3，4，5中的某個(gè)數(shù)字．（1）求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率；（2）證明：這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5．（1）解：．（2）證明：記為這五張卡片上最大的數(shù)字，則．由，由，所以這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5.17.在正四面體中，點(diǎn)分別在棱上（不與頂點(diǎn)重合），且（1）若，證明（2）求的取值范圍．解：（1）設(shè)．因?yàn)樗拿骟w為正四面體，所以，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，又因?yàn)?，所以．整理得：．又因?yàn)?，即，代入得，所?（2）由（1）知，或．設(shè)，取中點(diǎn)，則．①若，則，等邊三角形，即，設(shè)，則.②若，則，設(shè)，則．綜上所述，，故．18.記函數(shù).（1）證明：；（2）記的定義域?yàn)椋羧我?，求的取值范圍．?）證明：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，易知，則，得證！（2）解：先考慮，由．記，則．由．令，則，所以在上單調(diào)減，則．必要性探路：先考慮時(shí)，．只需考慮的情況，否則顯然有．于是，令，則．令，且．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．由，故．于是．等號(hào)在，即時(shí)取到．充分性證明：下證：時(shí)，，用歸納法證明．①當(dāng)時(shí)，已證；②當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，則，得證！綜上所述，．19.已知集合，記，，是自然數(shù)集.稱函數(shù)，若對(duì)于任意，；稱函數(shù)是單調(diào)的，若對(duì)于任意，；?稱函數(shù)是次模的，若對(duì)于任意,.已知函數(shù)是次模的．（1）判斷是否一定是單調(diào)的，并說明理由；（2）證明：對(duì)于任意，，；（3）若是單調(diào)的，是正整數(shù)，，記，已知集合滿足．初始集合，然后小明重復(fù)次如下操作：在集合中選取使得最小的元素加入集合，最終得到集合．證明：（1）解：構(gòu)造次模函數(shù)，則．因此不一定是單調(diào)的．（2）證明：對(duì)任意，因?yàn)?，所以，且，又因?yàn)楹瘮?shù)是次模的，所以，所以.（3）①若，成立，得證.②若，取，則小明的每次操作均滿足，左右兩邊累加得，即，故得證.浙江省“數(shù)海漫游”2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A.0 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?所以,所以,所以.故選：C.2.已知，則的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，因?yàn)?，所以，可?故選：D.3.記Sn為非零數(shù)列an的前項(xiàng)和，若，則（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗，則.即.,，.故.故選：B.4.設(shè)點(diǎn)在正四面體的棱AB上，AB與平面所成角為，則（）A.4 B.10 C.14 D.20〖答案〗B〖解析〗取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，過作于，因?yàn)樗拿骟w為正四面體，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，平面，所以平面，所以（或其補(bǔ)角）為與平面所成角，所以，則，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則,所以，所以為銳角，所以，所以，在中，，則，在中，，則，所以，解得，所以,所以.故選：B.5.已知向量均為單位向量，則的最小值是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由向量均為單位向量，設(shè)向量的夾角為，由，則，所以設(shè)，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以的最小值為，所以的最小值為.故選：C.6.小明開始了自己的存錢計(jì)劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第天早上八點(diǎn)以的概率向存錢罐中存入100元，．若小明在第4天早上七點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自己前3天晚上八點(diǎn)時(shí)存錢罐中的余額恰好成等差數(shù)列，則小明在第2天存入了100元概率是（）A. B.15 C. D.〖答案〗A〖解析〗余額恰好成等差數(shù)列，即，其中第天存入元的是，故所求概率為.故選：A.7.設(shè)橢圓的弦AB與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，，若直線AB的斜率，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設(shè)，直線，因?yàn)椋?，所以，即，，所?因?yàn)樵跈E圓上，所以，兩式相減得，即.又因?yàn)?，且，，所以，即，所?故選：C.8.稱平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)為好整點(diǎn)，記為集合包含的好整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．若，則正整數(shù)的最小值是（）A.1976 B.1977 C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面：由題意，，使得不等式恒成立，注意到，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以正整數(shù)應(yīng)該滿足，另一方面：當(dāng)時(shí)，我們證明：成立，證明過程如下：注意到，所以，，記，則，，，即成立，綜合以上兩方面，可知正整數(shù)的最小值是1977.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)雙曲線與直線交于與兩點(diǎn)，則可能有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗聯(lián)立方程組，可得，因?yàn)殡p曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，A正確；當(dāng)m>0時(shí)，，C正確；當(dāng)或時(shí)，，D正確.故選：ACD.10.若無窮數(shù)列由唯一確定，稱遞推公式是專一的．則下列遞推公式中專一的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可得，所以遞推公式是專一的，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，令，可得，即，解得或，所以推公式不是專一的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可得，令，可得，可得，且，可得，即，可知?shù)列是以2為周期的周期函數(shù)，且，則，所以遞推公式是專一的，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，由可得：，則，由可得，解得或，所以推公式不是專一的，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)滿足，則（）A.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差變大 B.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差變大C.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差減小 D.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差減小〖答案〗AD〖解析〗熟知對(duì)一組數(shù)據(jù)，其方差等于各個(gè)數(shù)據(jù)的平方的算術(shù)平均值與算術(shù)平均值的平方之差，即.將拿走前后的方差分別記為.對(duì)于A，給五個(gè)元素同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不影響方差，所以可以適當(dāng)平移，使得剩下的4個(gè)元素：的平均值為0，不妨設(shè)，則，，所以.故，所以A正確；對(duì)于B，考慮，則，，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，考慮，則，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于這組數(shù)據(jù)不全相等，所以，而，所以D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)至多有______個(gè)零點(diǎn)．〖答案〗1〖解析〗當(dāng)，令，解得，但，所以只有可能是零點(diǎn)，且.當(dāng)，令，解得，又，所以只有，即時(shí)，可能是零點(diǎn).綜上，當(dāng)，至多1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，至多1個(gè)零點(diǎn)．即函數(shù)至多1個(gè)零點(diǎn)．13.已知正方體的棱長(zhǎng)為3，取出各棱的兩個(gè)三等分點(diǎn)，共24個(gè)點(diǎn)，對(duì)于正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)這24個(gè)點(diǎn)中與距離最小的三個(gè)點(diǎn)為，從正方體中切去所有四面體，得到的幾何體的外接球表面積是______．〖答案〗〖解析〗由題意可知，如圖，將正方體切去8個(gè)角上的四面體即得所求幾何體，該幾何體的外接球球心即正方體外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，球心為.設(shè)四面體高，其中是在平面的投影.已知正方體棱長(zhǎng)為3，則，，由，得，解得，，，則，故幾何體的外接球表面積.14.當(dāng)，為銳角時(shí)，恒有，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗令，，，令，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，有最大值，即，設(shè)，，，而，，，，在上單調(diào)遞增，所以，即，，，因此，即，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點(diǎn)為拋物線與圓在第一象限的交點(diǎn)，另一交點(diǎn)為.（1）求；（2）若點(diǎn)在圓上，直線為拋物線的切線，求的周長(zhǎng)．解：（1）由題意，，解得．（2）在拋物線與圓的方程中，用替換方程依然成立，這表明這兩個(gè)圖象都關(guān)于軸對(duì)稱，所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于軸對(duì)稱，由，知．直線為拋物線的切線，當(dāng)時(shí)，，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，則．代入，得或1，故．則的周長(zhǎng)為．16.小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1，2，3，4，5中的某個(gè)數(shù)字．（1）求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率；（2）證明：這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5．（1）解：．（2）證明：記為這五張卡片上最大的數(shù)字，則．由，由，所以這