2024屆湖北省鄂東南省示范高中教改聯(lián)盟校高三下學(xué)期五月模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省鄂東南省示范高中教改聯(lián)盟校2024屆高三下學(xué)期五月模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.3 B. C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗由，則，所以.故選：B.2.已知集合，則下列表述正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗表示是的含義是正奇數(shù)除以4，表示的含義是整數(shù)除以4,所以，故選：C.3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，，即向量在向量上的投影向量?故選：A4.被9除的余數(shù)為（）A.1 B.4 C.5 D.8〖答案〗B〖解析〗其中是9的整數(shù)倍.故被9除的余數(shù)為4.故選：B.5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，可得.由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，可得，故A正確，C錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故B，D都錯(cuò)誤.故選：A.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，若，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)Ax1,，即，由得，，的方程為，由得，，，，，故.故選：B.7.已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為且，若滿足以上條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗連接，則.又，所以四邊形為正方形，，于是點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.又由滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則圓與直線相切，所以點(diǎn)到直線的距離，解得.故選：D.8.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在1,+∞上單調(diào)遞增，∴f107>f，又，設(shè)gx則，令，則，在1,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的有（）A.“與是互斥事件”是“與互為對(duì)立事件”的必要不充分條件B.的下四分位數(shù)為95C.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量將平均減少個(gè)單位D.隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，且的概率最大〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，與是互斥事件，與不一定互為對(duì)立事件，故充分性不成立；與互為對(duì)立事件，則與是互斥事件，故必要性成立.所以，“與是互斥事件”是“與互為對(duì)立事件”的必要不充分條件，所以A正確；對(duì)于B，共有9個(gè)數(shù)據(jù)，而，故下四分位數(shù)為從小到大排列的第3個(gè)數(shù)據(jù)，即為91，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，則減小，即響應(yīng)變量將平均減少個(gè)單位，故C正確；對(duì)于D，.而的概率最大，所以D正確.故選：ACD.10.如圖，有一個(gè)正四面體ABCD，其棱長(zhǎng)為1．下列關(guān)于說(shuō)法中正確的是（）A.過(guò)棱AC的截面中，截面面積的最小值為B.若為棱BD(不含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，則存在點(diǎn)P使得C.若M，N分別為直線AC，BD上的動(dòng)點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)的距離最小值為D.與該正四面體各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有10個(gè)〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于，設(shè)截面與棱BD的交點(diǎn)為，如圖，過(guò)棱AC的截面為，則為棱BD的中點(diǎn)時(shí)，的面積取得最小值，在等腰中，，可求得，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，在中，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取線段AC，BD的中點(diǎn)分別為M，N，因?yàn)?，所以在等腰中，MN為底邊上的中線，則，同理可證，故MN為線段AC，BD的公垂線，所以M，N分別為線段AC，BD的中點(diǎn)時(shí)，M，N的距離最小，此時(shí)，所以，即M，N兩點(diǎn)的距離最小值為，故C正確；對(duì)于D，與正四面體各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面分為以下兩類：（1）平行于正四面體的一個(gè)面，且到頂點(diǎn)和到底面距離相等，這樣的截面有4個(gè)；（2）平行于正四面體的兩條對(duì)棱，且到兩條對(duì)棱距離相等，這樣的截面有3個(gè)，故與正四面體各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面共有7個(gè)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.已知，下列結(jié)論正確的是（）A.若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則可以等于B.若在0,π上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C.若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D.若在上單調(diào)，且，則的最小正周期為〖答案〗BD〖解析〗A項(xiàng)，向在平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)為，由所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，，即，不可能取，故A錯(cuò)誤.B項(xiàng)，時(shí)，，故，即，故B正確.C項(xiàng)，由得，的所有零點(diǎn)為.不妨設(shè)是在上的三個(gè)零點(diǎn)，則，，解得且.由得，由得，故.當(dāng)時(shí)，且；當(dāng)時(shí)，且，.綜上可知，或，故C錯(cuò)誤D項(xiàng)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，，故.由，且區(qū)間上單調(diào)，為的一個(gè)對(duì)稱中心.又，且，為的一條對(duì)稱軸.而，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距是______.〖答案〗〖解析〗，的方程為.令得，，故在軸上的截距是－1.13.斜率為1的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，滿足的重心分別為的外心為.記直線，的斜率為.若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.〖答案〗2〖解析〗不妨取的中點(diǎn).因?yàn)榈闹匦臑?，且在中線上，所以.由中點(diǎn)弦結(jié)論知，，，，因?yàn)?，所以，，又由，可得的外心為的中點(diǎn)，于是由中點(diǎn)弦結(jié)論知，又，所以，即.由得，，解得，所以雙曲線的離心率.14.設(shè)是絕對(duì)值不大于10的整數(shù)，函數(shù)滿足，則的所有可能取值組成的集合為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗首先，我們來(lái)證明一元三次方程的韋達(dá)定理，我們?cè)O(shè)一元三次方程三個(gè)根分別為，而可化為，也可以寫成，將展開(kāi)，合并同類項(xiàng)，得到，所以，，，所以一元三次方程的韋達(dá)定理得證，接著證明是的零點(diǎn).事實(shí)上，設(shè)，則，其中是整數(shù)，假設(shè)，即，而，而是整數(shù)且是無(wú)理數(shù)，所以，故，必定是整數(shù)，且整數(shù)相減的結(jié)果不可能在，從而，因?yàn)?，故f2-3>100，而，矛盾故，即，所以.設(shè)的三個(gè)根為，其中，則，，得，所以.由及，所以我們得到，解得，也可得到，解得，而是絕對(duì)值不大于10的整數(shù)，得到，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，求的值.解：（1）由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，.（2），記，則.在Rt中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，即，解得.由，解得，故.16.如圖，四邊形是圓臺(tái)的軸截面，是圓臺(tái)的母線，點(diǎn)C是的中點(diǎn)．已知，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．（1）若直線與直線所成角為，證明：平面；（2）記直線與平面ABC所成角為，平面與平面的夾角為，若，求．（1）證明：連接，則四邊形是直角梯形.過(guò)作于N，則四邊形是矩形，，連接，，為的中點(diǎn).又M為的中點(diǎn)，平面，，平面又平面，，在中，，為的中點(diǎn)，又，，平面，，平面又平面，，，OB，平面，，平面（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC，OB，分別為x，y，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量，則，取得，，設(shè)平面的法向量，則，取得，解得在中，，由（1）知，17.為了推動(dòng)“體育助力鄉(xiāng)村振興”，豐富人民群眾的文化生活，某地決定舉辦“村超”足球友誼賽.比賽邀請(qǐng)本地兩支村足球隊(duì)（實(shí)力相當(dāng)）和外地兩支村足球隊(duì)（實(shí)力相當(dāng)）參加.賽事規(guī)定：（1）比賽分為兩個(gè)階段，第一階段：四支球隊(duì)分成兩組，每組進(jìn)行一場(chǎng)比賽；第二階段：第一階段的勝者之間、負(fù)者之間各進(jìn)行一場(chǎng)比賽，前者決出第一、二名，后者決出第三、四名.（2）第一階段分組方案：采取抽簽法，每組本地一支球隊(duì)、外地一支球隊(duì).已知各場(chǎng)比賽的勝率和上座率均互相獨(dú)立，單場(chǎng)比賽的勝率和上座率如下：勝率本地隊(duì)外地隊(duì)本地隊(duì)0.50.6外地隊(duì)0.40.5上座率本地隊(duì)外地隊(duì)本地隊(duì)0.81外地隊(duì)10.8（1）第二階段兩場(chǎng)比賽上座率之和記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求本地足球隊(duì)獲得第一名的概率.解：（1）的取值為，2.當(dāng)時(shí)，第一階段比賽本地隊(duì)均勝或均負(fù)，所以.當(dāng)時(shí)，第一階段比賽本地隊(duì)一勝或一負(fù)，所以.分布列為1.620.520.48（2）記本地兩支球隊(duì)為甲、乙，外地兩支球隊(duì)為丙、丁，則第一階段有兩種分組方法：①甲、丙一組，乙、丁一組；②甲、丁一組，乙、丙一組，分別記為事件，則.記事件“甲勝乙”為，事件“甲勝丙”為，事件“甲勝丁”為，事件“乙勝丁”為，記事件“甲獲得第一名”為，則，同理.記事件“乙獲得第一名”為，同理可得.本地足球隊(duì)獲得第一名的概率為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓的方程分別為和.以坐標(biāo)原點(diǎn)為端點(diǎn)作射線，與圓和圓分別交于兩點(diǎn).過(guò)作軸的垂線，過(guò)作軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若曲線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)上方）.已知點(diǎn)，直線，分別和曲線交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）如圖①所示，記以射線為終邊的角為，則.設(shè)Px,y，則，所以，故點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）如圖②所示，由題意可知，直線的斜率存在.設(shè)，直線為.由得，，則.又.由得，所以.所以，即，即.將韋達(dá)定理代入上式得.上式化簡(jiǎn)得，解得.所以直線過(guò)定點(diǎn)，故.設(shè)，則，代入橢圓方程有，即，即，則，即.故.19.在數(shù)值計(jì)算中，帕德近似是一種常用的逼近方法．給定兩個(gè)正整數(shù)，若函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，其中為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)．對(duì)于給定的正整數(shù)，函數(shù)的階帕德近似是唯一的，函數(shù)的帕德近似記為．例如，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大??；（3）數(shù)列滿足，記，求證：．（1）證明：令，則，故時(shí)，為增函數(shù)，，故當(dāng)時(shí)，，令，則，故時(shí)，為增函數(shù)，，故當(dāng)時(shí)，，綜上可知，當(dāng)時(shí)，．（2）解：令，則，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，．（3）解：令，則，引理：若，則，事實(shí)上，令，則，故，又時(shí)，，且，所以，即，由引理可知，這樣一直下去，有，令，由當(dāng)時(shí)，，則，故，由及知，所以由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，故，，累加可知，，且時(shí)也滿足，故，故，綜上可知，．湖北省鄂東南省示范高中教改聯(lián)盟校2024屆高三下學(xué)期五月模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.3 B. C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗由，則，所以.故選：B.2.已知集合，則下列表述正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗表示是的含義是正奇數(shù)除以4，表示的含義是整數(shù)除以4,所以，故選：C.3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，因?yàn)椋裕獾?，，即向量在向量上的投影向量?故選：A4.被9除的余數(shù)為（）A.1 B.4 C.5 D.8〖答案〗B〖解析〗其中是9的整數(shù)倍.故被9除的余數(shù)為4.故選：B.5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，可得.由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，可得，故A正確，C錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故B，D都錯(cuò)誤.故選：A.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，若，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)Ax1,，即，由得，，的方程為，由得，，，，，故.故選：B.7.已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為且，若滿足以上條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗連接，則.又，所以四邊形為正方形，，于是點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.又由滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則圓與直線相切，所以點(diǎn)到直線的距離，解得.故選：D.8.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在1,+∞上單調(diào)遞增，∴f107>f，又，設(shè)gx則，令，則，在1,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的有（）A.“與是互斥事件”是“與互為對(duì)立事件”的必要不充分條件B.的下四分位數(shù)為95C.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量將平均減少個(gè)單位D.隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，且的概率最大〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，與是互斥事件，與不一定互為對(duì)立事件，故充分性不成立；與互為對(duì)立事件，則與是互斥事件，故必要性成立.所以，“與是互斥事件”是“與互為對(duì)立事件”的必要不充分條件，所以A正確；對(duì)于B，共有9個(gè)數(shù)據(jù)，而，故下四分位數(shù)為從小到大排列的第3個(gè)數(shù)據(jù)，即為91，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，則減小，即響應(yīng)變量將平均減少個(gè)單位，故C正確；對(duì)于D，.而的概率最大，所以D正確.故選：ACD.10.如圖，有一個(gè)正四面體ABCD，其棱長(zhǎng)為1．下列關(guān)于說(shuō)法中正確的是（）A.過(guò)棱AC的截面中，截面面積的最小值為B.若為棱BD(不含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，則存在點(diǎn)P使得C.若M，N分別為直線AC，BD上的動(dòng)點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)的距離最小值為D.與該正四面體各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有10個(gè)〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于，設(shè)截面與棱BD的交點(diǎn)為，如圖，過(guò)棱AC的截面為，則為棱BD的中點(diǎn)時(shí)，的面積取得最小值，在等腰中，，可求得，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，在中，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取線段AC，BD的中點(diǎn)分別為M，N，因?yàn)?，所以在等腰中，MN為底邊上的中線，則，同理可證，故MN為線段AC，BD的公垂線，所以M，N分別為線段AC，BD的中點(diǎn)時(shí)，M，N的距離最小，此時(shí)，所以，即M，N兩點(diǎn)的距離最小值為，故C正確；對(duì)于D，與正四面體各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面分為以下兩類：（1）平行于正四面體的一個(gè)面，且到頂點(diǎn)和到底面距離相等，這樣的截面有4個(gè)；（2）平行于正四面體的兩條對(duì)棱，且到兩條對(duì)棱距離相等，這樣的截面有3個(gè)，故與正四面體各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面共有7個(gè)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.已知，下列結(jié)論正確的是（）A.若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則可以等于B.若在0,π上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C.若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D.若在上單調(diào)，且，則的最小正周期為〖答案〗BD〖解析〗A項(xiàng)，向在平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)為，由所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，，即，不可能取，故A錯(cuò)誤.B項(xiàng)，時(shí)，，故，即，故B正確.C項(xiàng)，由得，的所有零點(diǎn)為.不妨設(shè)是在上的三個(gè)零點(diǎn)，則，，解得且.由得，由得，故.當(dāng)時(shí)，且；當(dāng)時(shí)，且，.綜上可知，或，故C錯(cuò)誤D項(xiàng)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，，故.由，且區(qū)間上單調(diào)，為的一個(gè)對(duì)稱中心.又，且，為的一條對(duì)稱軸.而，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距是______.〖答案〗〖解析〗，的方程為.令得，，故在軸上的截距是－1.13.斜率為1的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，滿足的重心分別為的外心為.記直線，的斜率為.若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.〖答案〗2〖解析〗不妨取的中點(diǎn).因?yàn)榈闹匦臑?，且在中線上，所以.由中點(diǎn)弦結(jié)論知，，，，因?yàn)?，所以，，又由，可得的外心為的中點(diǎn)，于是由中點(diǎn)弦結(jié)論知，又，所以，即.由得，，解得，所以雙曲線的離心率.14.設(shè)是絕對(duì)值不大于10的整數(shù)，函數(shù)滿足，則的所有可能取值組成的集合為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗首先，我們來(lái)證明一元三次方程的韋達(dá)定理，我們?cè)O(shè)一元三次方程三個(gè)根分別為，而可化為，也可以寫成，將展開(kāi)，合并同類項(xiàng)，得到，所以，，，所以一元三次方程的韋達(dá)定理得證，接著證明是的零點(diǎn).事實(shí)上，設(shè)，則，其中是整數(shù)，假設(shè)，即，而，而是整數(shù)且是無(wú)理數(shù)，所以，故，必定是整數(shù)，且整數(shù)相減的結(jié)果不可能在，從而，因?yàn)?，故f2-3>100，而，矛盾故，即，所以.設(shè)的三個(gè)根為，其中，則，，得，所以.由及，所以我們得到，解得，也可得到，解得，而是絕對(duì)值不大于10的整數(shù)，得到，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，求的值.解：（1）由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，.（2），記，則.在Rt中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，即，解得.由，解得，故.16.如圖，四邊形是圓臺(tái)的軸截面，是圓臺(tái)的母線，點(diǎn)C是的中點(diǎn)．已知，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．（1）若直線與直線所成角為，證明：平面；（2）記直線與平面ABC所成角為，平面與平面的夾角為，若，求．（1）證明：連接，則四邊形是直角梯形.過(guò)作于N，則四邊形是矩形，，連接，，為的中點(diǎn).又M為的中點(diǎn)，平面，，平面又平面，，在中，，為的中點(diǎn)，又，，平面，，平面又平面，，，OB，平面，，平面（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC，OB，分別為x，y，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量，則，取得，，設(shè)平面的法向量，則，取得，解得在中，，由（1）知，17.為了推動(dòng)“體育助力鄉(xiāng)村振興”，豐富人民群眾的文化生活，某地決定舉辦“村超”足球友誼賽.比賽邀請(qǐng)本地兩支村足球隊(duì)（實(shí)力相當(dāng)）和外地兩支村足球隊(duì)（實(shí)力相當(dāng)）參加.賽事規(guī)定：（1）比賽分為兩個(gè)階段，第一階段：四支球隊(duì)分成兩組，每組進(jìn)行一場(chǎng)比賽；第二階段：第一階段的勝者之間、負(fù)者之間各進(jìn)行一場(chǎng)比賽，前者決出第一、二名，后者決出第三、四名.（2）第一階段分組方案：采取抽簽法，每組本地一支球隊(duì)、外地一支球隊(duì).已知各場(chǎng)比賽的勝率和上座率均互相獨(dú)立，單場(chǎng)比賽的勝率和上座率如下：勝率本地隊(duì)外地隊(duì)本地隊(duì)0.50.6外地隊(duì)0.40.5上座率本地隊(duì)外地隊(duì)本地隊(duì)0.81外地隊(duì)10.8（1）第二階段兩場(chǎng)比賽上座率之和記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求本地足球隊(duì)獲得第一名的概率.解：（1）的取值為