2024屆廣東省新南方聯(lián)盟高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省新南方聯(lián)盟2024屆高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（共40分）：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的．1.如圖，在復平面內，復數(shù)，對應的向量分別是，，則對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由圖象可知，所以，其對應的點為，顯然位于第二象限.故選：B.2.已知集合，則A的真子集數(shù)量是（）A.8 B.7 C.32 D.31〖答案〗D〖解析〗易知，所以或或，即，則其真子集有個.故選：D.3.已知向量與能作為平面向量的一組基底，若與共線（），則k的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若與共線，則設，因為向量與能作為平面向量的一組基底，所以，所以，解得.故選：B.4.8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，每個小組內成員地位等價，則所有可能的分組方案數(shù)量是（）A.28 B.2520 C.105 D.128〖答案〗C〖解析〗由題意8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，每個小組內成員地位等價，則所有可能分組方案數(shù)量是.故選：C.5.設函數(shù)，若將的圖象向左平移個單位長度后在上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗將的圖象向左平移個單位長度后的圖象所對應的函數(shù)表達式為，注意到，則當時，，由題意在上有且僅有兩個零點，這意味著，且顯然，也就是說，解得.故選：A.6.以下什么物體能被放進底面半徑為，高為圓柱中（）A.底面半徑為，母線長為的圓錐B.底面半徑為，高為的圓柱C.邊長為的立方體D.底面積為，高為的直三棱柱〖答案〗B〖解析〗由于，故該圓錐無法放入圓柱中，A錯誤；B選項，如圖所示，將底面半徑為，高為的圓柱放入半徑為，高為的圓柱中，如圖所示，則，因，由勾股定理得，設，則，則，，由勾股定理得，因為，則，，，故能被放進底面半徑為，高為的圓柱中，B正確；C選項，邊長為的立方體，面對角線長為，體對角線長為，要想放進高為的圓柱內，需要如圖所示放入，其外接球的直徑為，故要想放入圓柱中，只能放入以球為內切球的圓柱中，如圖，過點的母線交上底面于點，交下底面于點，設，，由勾股定理得，連接，則，由勾股定理得，解得，即邊長為的立方體可放入底面半徑為，高為的的圓柱中，因為，故C錯誤；D選項，底面積為，高為的直三棱柱體積為，由于底面半徑為，高為的圓柱體積為，故無法放進放進底面半徑為，高為的圓柱中，D錯誤.故選：B7.設數(shù)列的通項公式為，其前n項和為，則使的最小n是（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗，，結合指數(shù)函數(shù)單調性該數(shù)列為單調遞增數(shù)列，且所以使的最小n是7.故選：C.8.已知，，，則a，b的大小關系是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以要比較與0的大小關系，只需比較的大小關系，同理要比較的大小關系只需比較的大小關系，我們構造函數(shù)fx則，這意味著在是減函數(shù)，從而log92所以，即.故選：D.二、多選題（共18分）：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知，且，則下列不等式中成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A，因為，所以，，當且僅當時取等號，A正確；對于B，因為，，令，，令令，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；又，，的時，取最小值，所以B正確；對于C，，，因為，所以在上最小值為，，C正確；對于D，，D錯誤；故選：ABC.10.拋物線：焦點為F，且過點，斜率互為相反數(shù)的直線，分別交于另一點C和D，則下列說法正確的有（）A.直線過定點B.在C，D兩點處的切線斜率和為C.上存在無窮多個點到點F和直線的距離和為6D.當C，D都在A點左側時，面積的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因為拋物線：過點，所以，解得，所以拋物線：，設點關于拋物線對稱軸即軸的對稱點為點，則，因為斜率互為相反數(shù)，不妨設AC:y=kx-4+4,則，聯(lián)立與拋物線：，化簡并整理得，Δ=16設，則，所以，同理，直線的方程為：，整理得，即直線的方程為：，這條直線的斜率是定值，隨著的變化，這條可能直線會平行移動，不妨取，此時的方程依次是，顯然這兩條直線是平行的，它們不會有交點，這就說明直線過定點是錯誤的，故A錯誤；對于B，對求導，可得，從而在C，D兩點處的切線斜率和為，故B正確；對于C，設上存在點到點F和直線的距離和為6，由拋物線定義可知，，其中為點到直線的距離，注意到當時，恒有成立，這意味著上存在無窮多個點到點F和直線的距離和為6，故C正確；對于D，設與交與點，聯(lián)立直線的方程：與直線的方程：，解得，即點的坐標為，設面積為，則,注意到C，D都在A點左側時，意味著，且，從而的取值范圍為，從而，設，則，所以當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以面積的最大值為.故選：BCD.11.已知函數(shù)，的定義域為，的導函數(shù)為，且，，若為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.C.若存在使在上單調遞增，在上單調遞減，則的極小值點為D.若為偶函數(shù)，則滿足題意的唯一，滿足題意的不唯一〖答案〗ABD〖解析〗對A，因為為偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，所以，又，所以，故A對；對B，由，，得，所以，所以，，又，所以是周期為4的函數(shù)，也是周期為4的函數(shù)，所以，故B對；對C，在上嚴格增，在上嚴格減，由，可知在嚴格遞減，在嚴格遞增，又的周期為4，所以在嚴格遞增，所以在嚴格遞減，在嚴格遞減，又，所以0是的極大值點，是周期為4的函數(shù)，所以則的極小值點為，故C錯；對D，若為偶函數(shù)，由于是奇函數(shù)，，則，即，所以，，所以唯一，不唯一，故D對.故選：ABD.三、填空題（共15分）：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，，則的值是______．〖答案〗3〖解析〗因為，所以，所以，所以.13.已知在平面直角坐標系中，一雙曲線的圖象可以通過旋轉和平移變換為（為關于的函數(shù)）的圖象，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗以焦點在軸上的雙曲線為例，雙曲線的漸近線為，由題得雙曲線的圖象通過旋轉和平移變換后的圖象為函數(shù)的圖象，故其一條漸近線必然為軸，則另一條漸近線斜率，從而在旋轉變換前斜率為正的漸近線的斜率小于等于1，即，所以離心率，故離心率為.14.設函數(shù)零點為，則當a的取值為______時，的最大值為______．〖答案〗e〖解析〗由題意，所以，即，所以，即，令，則，因為當時，，當時，，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，有最大值.四、解答題（共77分）：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．解：（1）因為，所以，又，因此是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，設的前n項和為，則，又由，得，，當時，經檢驗也滿足，∴．（2）．因此．16.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中點，PA＝2，AB＝1，AD＝2．（1）求證：PB∥平面ACE；（2）求直線CP與平面ACE所成角的正弦值；（1）證明：連結，交于點，連結，因為點分別是的中點，所以，平面，平面，所以平面；（2）解：如圖，以點為原點，以分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的法向量為，設直線CP與平面ACE所成角為，所以.17.某廠有3組生產用設備，由于設備使用時間過長，每組設備在一個月內均有的故障率．現(xiàn)該廠制定設備翻新計劃，每個月月初有的概率在剩余未改造設備中隨機抽取一組并在月底翻新，但月內若有設備發(fā)生故障，則無論本月有無翻新計劃及是否抽到該設備，故障的設備都將立即翻新，且該月內不再因為故障翻新其它設備（但若發(fā)生故障的不是已經在送修計劃內的設備，則計劃翻新仍將正常進行），若再有設備發(fā)生故障則將會維修（但暫不翻新）后重新投入生產．（1）求第一個月恰好翻新一組設備的概率；（2）設第一個月結束后，已翻新的設備數(shù)量為隨機變量X，求X的均值．解：（1）由題，“翻新一組設備”包含“計劃翻新一組且沒有發(fā)生故障”，“沒有計劃翻新但出現(xiàn)故障”及“有計劃翻新且出現(xiàn)了故障，但故障設備恰好為計劃翻新的設備”三種事件．設“翻新一組設備”為事件A，“計劃翻新”為事件B，“出現(xiàn)故障”為事件C，“抽到故障設備”為事件D，則，，，，因此第一個月恰好翻新一組設備的概率為．（2）的可能取值為0，1，2，當且僅當沒有出現(xiàn)故障且沒有計劃改造，故，由（1），，，故．18.設函數(shù)，．（1）當時，比較和的大小關系；（2）證明：的圖象與的圖象關于直線對稱；（3）在平面直角坐標系中，若以為圓心的圓交的圖象于A，B兩點，證明：．（1）解：設函數(shù)，則，，的符號為符號，，，故在上單調遞增，，故，在上單調遞增，時，，故時．（2）證明：設圖象上一點，則其關于對稱的點坐標為，而，故在的圖象上，故與的圖象關于直線對稱．（3）證明：不妨設，，其中，作A關于x軸的對稱點，再作關于的對稱點，由對稱性，A，，都在圓M上．設與圓M的交點為P，設x軸與圓M在M右側的交點為Q，，則，則，，由對稱，，且，又，故，又在圖象上，B在圖象上，故B在上方，因此．19.在平面直角坐標系中，若A，B兩點在一曲線C上，曲線C在A，B均存在不垂直于x軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值等于直線AB的斜率，則稱AB是曲線C的一條“切線相依割線”．（1）證明：準線平行于x軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”；（2）試探究雙曲線在第一象限內是否存在“切線相依割線”，若存在，請求出所有的“切線相依割線”，若不存在，請說明理由．（1）證明：由準線平行于x軸，故拋物線圖象開口向上，為二次函數(shù)，設，，則AB斜率為，，故A，B處均存在不垂直于x軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值為，等于直線AB的斜率，故AB為切線相依割線，由于AB可以任取，故準線平行于x軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”．（2）解：設，，其中，，，則AB斜率為，設雙曲線在A點處切線方程為l：，則將其代入雙曲線方程，消去y有，令，得，故，同理，雙曲線在B點處切線斜率為，故其均值為，由A，B在雙曲線上，故，，兩式相減得，故，假設存在“切線相依割線”，則，即，化簡得，設AB：，則，即，當時，即，得，不合題意，當時，與雙曲線在第一象限內至多有一個焦點，不合題意，故雙曲線在第一象限內不存在“切線相依割線”．廣東省新南方聯(lián)盟2024屆高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（共40分）：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的．1.如圖，在復平面內，復數(shù)，對應的向量分別是，，則對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由圖象可知，所以，其對應的點為，顯然位于第二象限.故選：B.2.已知集合，則A的真子集數(shù)量是（）A.8 B.7 C.32 D.31〖答案〗D〖解析〗易知，所以或或，即，則其真子集有個.故選：D.3.已知向量與能作為平面向量的一組基底，若與共線（），則k的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若與共線，則設，因為向量與能作為平面向量的一組基底，所以，所以，解得.故選：B.4.8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，每個小組內成員地位等價，則所有可能的分組方案數(shù)量是（）A.28 B.2520 C.105 D.128〖答案〗C〖解析〗由題意8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，每個小組內成員地位等價，則所有可能分組方案數(shù)量是.故選：C.5.設函數(shù)，若將的圖象向左平移個單位長度后在上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗將的圖象向左平移個單位長度后的圖象所對應的函數(shù)表達式為，注意到，則當時，，由題意在上有且僅有兩個零點，這意味著，且顯然，也就是說，解得.故選：A.6.以下什么物體能被放進底面半徑為，高為圓柱中（）A.底面半徑為，母線長為的圓錐B.底面半徑為，高為的圓柱C.邊長為的立方體D.底面積為，高為的直三棱柱〖答案〗B〖解析〗由于，故該圓錐無法放入圓柱中，A錯誤；B選項，如圖所示，將底面半徑為，高為的圓柱放入半徑為，高為的圓柱中，如圖所示，則，因，由勾股定理得，設，則，則，，由勾股定理得，因為，則，，，故能被放進底面半徑為，高為的圓柱中，B正確；C選項，邊長為的立方體，面對角線長為，體對角線長為，要想放進高為的圓柱內，需要如圖所示放入，其外接球的直徑為，故要想放入圓柱中，只能放入以球為內切球的圓柱中，如圖，過點的母線交上底面于點，交下底面于點，設，，由勾股定理得，連接，則，由勾股定理得，解得，即邊長為的立方體可放入底面半徑為，高為的的圓柱中，因為，故C錯誤；D選項，底面積為，高為的直三棱柱體積為，由于底面半徑為，高為的圓柱體積為，故無法放進放進底面半徑為，高為的圓柱中，D錯誤.故選：B7.設數(shù)列的通項公式為，其前n項和為，則使的最小n是（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗，，結合指數(shù)函數(shù)單調性該數(shù)列為單調遞增數(shù)列，且所以使的最小n是7.故選：C.8.已知，，，則a，b的大小關系是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以要比較與0的大小關系，只需比較的大小關系，同理要比較的大小關系只需比較的大小關系，我們構造函數(shù)fx則，這意味著在是減函數(shù)，從而log92所以，即.故選：D.二、多選題（共18分）：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知，且，則下列不等式中成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A，因為，所以，，當且僅當時取等號，A正確；對于B，因為，，令，，令令，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；又，，的時，取最小值，所以B正確；對于C，，，因為，所以在上最小值為，，C正確；對于D，，D錯誤；故選：ABC.10.拋物線：焦點為F，且過點，斜率互為相反數(shù)的直線，分別交于另一點C和D，則下列說法正確的有（）A.直線過定點B.在C，D兩點處的切線斜率和為C.上存在無窮多個點到點F和直線的距離和為6D.當C，D都在A點左側時，面積的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因為拋物線：過點，所以，解得，所以拋物線：，設點關于拋物線對稱軸即軸的對稱點為點，則，因為斜率互為相反數(shù)，不妨設AC:y=kx-4+4,則，聯(lián)立與拋物線：，化簡并整理得，Δ=16設，則，所以，同理，直線的方程為：，整理得，即直線的方程為：，這條直線的斜率是定值，隨著的變化，這條可能直線會平行移動，不妨取，此時的方程依次是，顯然這兩條直線是平行的，它們不會有交點，這就說明直線過定點是錯誤的，故A錯誤；對于B，對求導，可得，從而在C，D兩點處的切線斜率和為，故B正確；對于C，設上存在點到點F和直線的距離和為6，由拋物線定義可知，，其中為點到直線的距離，注意到當時，恒有成立，這意味著上存在無窮多個點到點F和直線的距離和為6，故C正確；對于D，設與交與點，聯(lián)立直線的方程：與直線的方程：，解得，即點的坐標為，設面積為，則,注意到C，D都在A點左側時，意味著，且，從而的取值范圍為，從而，設，則，所以當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以面積的最大值為.故選：BCD.11.已知函數(shù)，的定義域為，的導函數(shù)為，且，，若為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.C.若存在使在上單調遞增，在上單調遞減，則的極小值點為D.若為偶函數(shù)，則滿足題意的唯一，滿足題意的不唯一〖答案〗ABD〖解析〗對A，因為為偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，所以，又，所以，故A對；對B，由，，得，所以，所以，，又，所以是周期為4的函數(shù)，也是周期為4的函數(shù)，所以，故B對；對C，在上嚴格增，在上嚴格減，由，可知在嚴格遞減，在嚴格遞增，又的周期為4，所以在嚴格遞增，所以在嚴格遞減，在嚴格遞減，又，所以0是的極大值點，是周期為4的函數(shù)，所以則的極小值點為，故C錯；對D，若為偶函數(shù)，由于是奇函數(shù)，，則，即，所以，，所以唯一，不唯一，故D對.故選：ABD.三、填空題（共15分）：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，，則的值是______．〖答案〗3〖解析〗因為，所以，所以，所以.13.已知在平面直角坐標系中，一雙曲線的圖象可以通過旋轉和平移變換為（為關于的函數(shù)）的圖象，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗以焦點在軸上的雙曲線為例，雙曲線的漸近線為，由題得雙曲線的圖象通過旋轉和平移變換后的圖象為函數(shù)的圖象，故其一條漸近線必然為軸，則另一條漸近線斜率，從而在旋轉變換前斜率為正的漸近線的斜率小于等于1，即，所以離心率，故離心率為.14.設函數(shù)零點為，則當a的取值為______時，的最大值為______．〖答案〗e〖解析〗由題意，所以，即，所以，即，令，則，因為當時，，當時，，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，有最大值.四、解答題（共77分）：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．解：（1）因為，所以，又，因此是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，設的前n項和為，則，又由，得，，當時，經檢驗也滿足，∴．（2）．因此．16.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中點，PA＝2，AB＝1，AD＝2．（1）求證：PB∥平面ACE；（2）求直線CP與平面ACE所成角的正弦值；（1）證明：連結，交于點，連結，因為點分別是的中點，所以，平面，平面，所以平面；（2）解：如圖，以點為原點，以分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的法向量為，設直線CP與平面ACE所成角為，所以.17.某廠有3組生產用設備，由于設備使用時間過長，每組設備在一個月內均有的故障率．現(xiàn)該廠制定設備翻新計劃，每個月月初有的概率在剩余未改造設備中隨機抽取一組并在月底翻新，但月內若有設備發(fā)生故障，則無論本月有無翻新計劃及是否抽到該設備，故障的設備都將立即翻新，且該月內不再因為故障翻新其它設備（但若發(fā)生故障的不是已經在送修計劃內的設備，則計劃翻新仍將正常進行），若再有設備發(fā)生故障則將會維修（但暫不翻新）后重新投入生產．（1）求第一個月恰好翻新一組設備的概率；（2）設第一個月結束后，已翻新的設備數(shù)量為隨機變量X，求X的均值．解：（1）由題，“翻新一組設備”包含“計劃翻新一組且沒有發(fā)生故障”，“沒有計劃翻新但出現(xiàn)故障”及“有計劃翻新且出現(xiàn)了故障，但故障設備恰好為計劃翻新的設備”三種事件．設“