2025屆青海省西寧市大通二中高二上數學期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2025屆青海省西寧市大通二中高二上數學期末學業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與直線垂直，則實數（）A.10 B.C.5 D.2．已知矩形，為平面外一點，且平面，，分別為，上的點，且，，，則（）A. B.C.1 D.3．已知橢圓的上下頂點分別為，一束光線從橢圓左焦點射出，經過反射后與橢圓交于點，則直線的斜率為（）A. B.C. D.4．等比數列中，，則（）A. B.C.2 D.45．在正方體中，AC與BD的交點為M.設則下列向量與相等的向量是（）A. B.C. D.6．下列通項公式中，對應數列是遞增數列的是（）A B.C. D.7．已知等差數列共有項，其中奇數項之和為290，偶數項之和為261，則的值為（）A.30 B.29C.28 D.278．過點且與原點距離最大的直線方程是（）A. B.C. D.9．雙曲線的左頂點為，右焦點，若直線與該雙曲線交于、兩點，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.10．已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.11．數學家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的三個頂點分別為，，，則的歐拉線方程是（）A. B.C. D.12．某學校高二級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學人數分別為240，120和60．現采用分層抽樣的方法選出14位同學進行一項調查研究，則“史政生”組合中選出的人數為（）A.8 B.6C.4 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，為坐標原點，記直線的斜率分別為，則______.14．已知拋物線C：的焦點為F，過M（4，0）的直線交C于A、B兩點，設，的面積分別為、，則的最小值為______15．已知數列滿足（），設數列滿足：，數列的前項和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________16．已知，且，則_____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓：（）的離心率為，遞增直線過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若，求直線的斜率.18．（12分）在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線與曲線（為參數）交于兩點.（1）將曲線的參數方程轉化為普通方程；（2）求的長.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若點在棱上，且平面，求線段的長20．（12分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當面積最大時，求實數的值21．（12分）設函數.（1）討論函數在區(qū)間上的單調性；（2）函數，若對任意的，總存在使得，求實數的取值范圍.22．（10分）已知拋物線C的方程為：，點（1）若直線與拋物線C相交于A、B兩點，且P為線段AB的中點，求直線的方程.（2）若直線過交拋物線C于M，N兩點，F為拋物線C的焦點，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據兩直線垂直，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，直線與直線垂直，可得，解得.故選：B.2、B【解析】由，，得，然后利用向量的加減法法則把向量用向量表示出來，可求出的值，從而可得答案【詳解】解：因為，，所以所以,因為，所以，所以，故選：B3、B【解析】根據給定條件借助橢圓的光學性質求出直線AD的方程，進而求出點D的坐標計算作答.【詳解】依題意，橢圓的上頂點，下頂點，左焦點，右焦點，由橢圓的光學性質知，反射光線AD必過右焦點，于是得直線AD的方程為：，由得點，則有，所以直線的斜率為.故選：B4、D【解析】利用等比數列的下標特點，即可得到結果.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D5、C【解析】根據空間向量的運算法則，推出的向量表示，可得答案.【詳解】，故選：C.6、C【解析】根據數列單調性的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A，B選項對應數列是遞減數列．對于C選項，，故數列是遞增數列．對于D選項，由于．所以數列不是遞增數列故選：C.7、B【解析】由等差數列的求和公式與等差數列的性質求解即可【詳解】奇數項共有項，其和為，∴偶數項共有n項，其和為，∴故選：B8、A【解析】過點且與原點O距離最遠的直線垂直于直線，再由點斜式求解即可【詳解】過點且與原點O距離最遠的直垂直于直線，，∴過點且與原點O距離最遠的直線的斜率為，∴過點且與原點O距離最遠的直線方程為：，即.故選：A9、A【解析】求出，分析可得，可得出關于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯立，可得，則，易知點、關于軸對稱，且為線段的中點，則，又因為為等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.10、C【解析】由題設分析知的軌跡為(不與重合)，要求的取值范圍，只需求出到圓上點的距離范圍即可.【詳解】由題設，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選：C11、B【解析】根據的三個頂點坐標，先求解出重心的坐標，然后再根據三個點坐標求解任意兩條垂直平分線的方程，聯立方程，即可算出外心的坐標，最后根據重心和外心的坐標使用點斜式寫出直線方程.【詳解】由題意可得的重心為．因為，，所以線段的垂直平分線的方程為．因為，，所以直線的斜率，線段的中點坐標為，則線段的垂直平分線的方程為．聯立，解得，則的外心坐標為，故的歐拉線方程是，即故選：B.12、C【解析】根據題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數即可.【詳解】根據題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數時人.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過焦點作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進行分類討論.【詳解】拋物線的焦點當過焦點的直線斜率不存在時，直線方程可設為，不妨令則，故當過焦點的直線斜率存在時，直線方程可設為，令由整理得則，綜上，故答案為：14、【解析】設直線的方程為，，與拋物線的方程聯立整理得，由三角形的面積公式求得，再根據基本不等式可得答案.【詳解】解：由拋物線C：得焦點，又直線交C于A、B兩點，所以直線的斜率不為0，則設直線的方程為，，聯立，整理得，則，又，，所以，又，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.15、【解析】先由條件求出的通項公式，得到，由裂項相消法再求出，根據不等式恒成立求出參數的范圍即可.【詳解】當時，有當時，由①有②由①－②得：所以，當時也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點睛】本題考查求數列的通項公式，考查裂項相消法求和以及數列不等式問題，屬于中檔題.16、2【解析】由共線向量得，解方程即可.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、1【解析】根據離心率寫出，設出直線為，把直線的方程與橢圓進行聯立消，寫出韋達定理，再利用，即可解出，進而求出直線的斜率.【詳解】，.設遞增直線的方程為，把直線的方程與橢圓進行聯立：.①，②.③.把③代入①中得④.把④代入②中得...18、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接將橢圓的參數方程轉化為普通方程即可.（2）首先求出直線的參數方程，代入橢圓的普通方程得到，再利用直線參數方程的幾何意義求弦長即可.【詳解】（1）因為曲線（為參數），所以曲線的普通方程為：.（2）由題知：直線的參數方程為（為參數），將直線的參數方程代入，得.，.所以.19、（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一問根據面面垂直的性質和線面垂直的性質得出線線垂直的結論，注意在書寫的時候條件不要丟就行；第二問建立空間直角坐標系，利用法向量所成角的余弦值來求得二面角的余弦值；第三問利用向量共線的關系，得出向量的坐標，根據線面平行得出向量垂直，利用其數量積等于零，求得結果.（Ⅰ）證明：因為平面⊥平面，且平面平面，因為⊥，且平面所以⊥平面因為平面，所以⊥.（Ⅱ）解：在△中，因為，，，所以，所以⊥.所以，建立空間直角坐標系，如圖所示所以，，，，，，.易知平面的一個法向量為.設平面的一個法向量為，則，即，令，則.設二面角的平面角為，可知為銳角，則，即二面角的余弦值為（Ⅲ）解：因為點在棱，所以，因為，所以，.又因為平面，為平面的一個法向量，所以，即，所以所以，所以.20、（1）；當時，切線方程為；當時，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據題意可知P在圓上，據此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當面積最大時，．即，據此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數值.【小問1詳解】由題意得點在上，∴，，①當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問2詳解】∵的面積，則當面積最大時，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當且僅當，即時取等號(下同)21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求導，根據導函數的正負性分類討論進行求解即可；（2）根據存在性和任意性的定義，結合導數的性質、（1）的結論、構造函數法分類討論進行求解即可.【小問1詳解】,,①當時，恒成立，在上單調遞增.②當時，恒成立，在上單調遞減，③當吋，，在單調遞減，單調遞增.綜上所述，當吋，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，當時，在單調遞減，單調遞增.【小問2詳解】由題意可知：在單調遞減，單調遞增由（1）可知：①當時，在單調遞增，則恒成立②當時，在單調遞減，則應（舍）③當時，