獨(dú)創(chuàng)樹狀圖解題技巧

獨(dú)創(chuàng)樹狀圖解題技巧樹狀圖作為一種圖解工具，廣泛應(yīng)用于各種學(xué)科的教育、科研和實(shí)踐中。而在解題方面，樹狀圖也是一種非常實(shí)用的工具。由于其能直觀地揭示題目的本質(zhì)和相關(guān)關(guān)系，因此成為許多學(xué)科、各種難度題目的解題利器。在這篇文章中，我將會(huì)逐一講解獨(dú)創(chuàng)樹狀圖解題技巧，幫助你更好地解題。一、什么是樹狀圖？樹狀圖，顧名思義，就是一棵樹。其由一個(gè)根節(jié)點(diǎn)和若干個(gè)葉節(jié)點(diǎn)組成。根節(jié)點(diǎn)代表問題的起點(diǎn)，葉節(jié)點(diǎn)代表問題的終點(diǎn)。在樹狀圖中，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都可以擁有若干個(gè)子節(jié)點(diǎn)，這些子節(jié)點(diǎn)用于承接父節(jié)點(diǎn)，并與父節(jié)點(diǎn)形成一個(gè)分支。這樣逐個(gè)分支連通，最終就形成了一棵樹。二、樹狀圖的應(yīng)用場(chǎng)景樹狀圖的應(yīng)用場(chǎng)景非常廣泛，比如：等比數(shù)列、排列組合、雙倍經(jīng)驗(yàn)等等。這些問題都可以通過構(gòu)建樹狀圖來解決。舉個(gè)例子，比如一個(gè)等比數(shù)列的前五項(xiàng)分別是1、4、16、64和256，求這個(gè)等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)。這個(gè)問題的樹狀圖可以構(gòu)造成下圖：O/\1O/\4O/\16O/\64256這里O表示節(jié)點(diǎn)，該問題的根節(jié)點(diǎn)為O，因?yàn)槲覀円蟮氖沁@個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們可知a1=1，ar=256，5=n，那么可以得到：a1×q?=256q=√4=2（這里的4=5-1是等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)）a1×2?=256a1=4因此，這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，公比為2。三、如何構(gòu)造樹狀圖？構(gòu)造樹狀圖需要經(jīng)歷三個(gè)步驟：1、確定問題的根節(jié)點(diǎn)和葉節(jié)點(diǎn)。一般來說，根節(jié)點(diǎn)是我們需要求解的問題，而葉節(jié)點(diǎn)則是問題的精細(xì)化、分解化后的最基本問題。2、將問題逐層細(xì)分。這里的細(xì)分，可以是根據(jù)問題的條件、邏輯等分出幾個(gè)分支，也可以是根據(jù)問題的最基本操作逐步擴(kuò)展出更多的分支。3、對(duì)于每一個(gè)子問題，遞歸重復(fù)上述過程。如此層層遞歸，最終可以得到一個(gè)完整的樹狀圖。四、如何運(yùn)用樹狀圖解決問題？在獨(dú)創(chuàng)樹狀圖解題的過程中，我們需要掌握如下技巧：1、確定問題的起點(diǎn)和終點(diǎn)。在構(gòu)建樹狀圖之前，我們需要確定問題的起點(diǎn)和終點(diǎn)。問題的起點(diǎn)是我們需要求解的問題，通常是一道問題的核心；而問題的終點(diǎn)則是問題分解到最小的步驟，可以明確答案或者適用基本公式進(jìn)行推導(dǎo)的一道問題。2、層層分解問題，并將子問題列在相應(yīng)的分支上。在解題過程中，我們需要一步步分解問題，將子問題列在相應(yīng)的分支上。這樣，在樹狀圖中，我們可以通過分支之間的關(guān)系推導(dǎo)出問題的答案。3、化繁為簡(jiǎn)，思考清楚每一步驟。在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要注意每個(gè)步驟和細(xì)節(jié)，確保每一個(gè)問題分支上的計(jì)算準(zhǔn)確無誤。4、合并分支，得到最終結(jié)果。在樹狀圖的最后一步，我們需要將各個(gè)分支的答案合并在一起，得到最終的結(jié)果。五、如何優(yōu)化樹狀圖？在實(shí)際的解題中，我們經(jīng)常要面對(duì)復(fù)雜的問題，需要對(duì)樹狀圖進(jìn)行優(yōu)化。這時(shí)，我們需要掌握如下技巧：1、優(yōu)化樹狀圖結(jié)構(gòu)，減少計(jì)算量。在樹狀圖中，我們應(yīng)該盡量減少重復(fù)的計(jì)算。如果某個(gè)中間結(jié)果在多個(gè)節(jié)點(diǎn)中都有出現(xiàn)，我們可以將其計(jì)算出來，再應(yīng)用到每個(gè)節(jié)點(diǎn)中。這樣可以大大減少計(jì)算量，提高解題效率。2、利用對(duì)稱性和近似值。在一些對(duì)稱性和近似值問題中，我們可以利用樹狀圖進(jìn)行優(yōu)化。比如：求和式∑(1/n(n+1))，這個(gè)問題中，我們首先可以認(rèn)為這是一個(gè)對(duì)稱問題，即∑(1/n(n+1))和∑(1/n(n-1))等價(jià)，而這個(gè)問題的樹狀圖可以簡(jiǎn)化成下圖：O/\1O/\12O/\22..然后，對(duì)于分母形式為n(n+1)的式子，我們可以利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化成(1/n-1/(n+1))的形式。這樣，原式就變成了∑[1/n-1/(n+1)]，而這個(gè)問題可以近似成1-1/6，因?yàn)檫@個(gè)式子的分母可以使用n(n+1)來近似。六、常見的樹狀圖例題1、由11個(gè)紅球和9個(gè)藍(lán)球組成一個(gè)包含20個(gè)球的集合，若從該集合中隨機(jī)取5個(gè)球，則很大概率上有3個(gè)紅球和2個(gè)藍(lán)球。問該概率為多少？這個(gè)問題可以使用樹狀圖解決，樹狀圖如下：O/\119/\∞∞/_______\5在第一層中選出一個(gè)紅球和一個(gè)藍(lán)球，這樣可以有C11^1×C9^1=11×9=99種方法。在第二層中，如果選出3個(gè)紅球和2個(gè)藍(lán)球，那么有C10^2×C9^3=3780種方法。如果選出2個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，那么有C11^2×C9^1=5355種方法。因此，所求的概率為(3780+5355)/99C5≈0.99。2、集合A有m個(gè)元素，而集合B有n個(gè)元素，若兩個(gè)集合的交集大小為k，我們可以通過容斥原理計(jì)算集合A和集合B的并集大小。問求集合A和集合B的并集大小的等式推導(dǎo)過程中要求放到樹狀圖中。這個(gè)問題可以使用樹狀圖解決，樹狀圖如下：O/\AB/\m-kn-k/\∞∞/________\m+n-k在樹狀圖中，最底部的節(jié)點(diǎn)代表的是集合A和集合B的交集大小。從底向上逐步運(yùn)算，我們可以得到集合A和集合B的并集大小為m+n-k。七、總結(jié)在解題中，我們需要將問題逐步分解，分解成最基本的