2024年高考數(shù)學解答題專項訓練十（60題）附答案解析

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學解答題專項訓練(60題)附答案解析

1.已知函數(shù)/(X)和g(x)的圖象關于原點對稱，且/(x)=2x4-1.

(1)解關于x的不等式g(x)>|x-1|；

(2)如果對VxG/?,不等式|^(x)|-c>|x-1|恒成立，求實數(shù)c的取值范圍.

2.已知函數(shù)/(%)=2ax+bx-1-21nx(a6R).

(I)當b=0時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間：

(II)當x>y>e-1時,求證：ex\n(y+1)>eyln(x+1).

3.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a

(1)當Q=0時，解不等式/(x)>g(x)；

4.如圖，將寬和長都分別為x,y(x<y)的兩個矩形部分重疊放在一起后形成的正十字形面積為

正.(注：正十字形指的是原來的兩個矩形的頂點都在同一個圓上,且兩矩形長所在的直線互相垂直

的圖形)，

(1)求y關于x的函數(shù)解析式；

(2)當x,y取何值時，該正十字形的外接圓面積最小，并求出具最小值.

5.已知函數(shù)f(x)=x+-alnx{aER).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)討論/(X)在［l,e］上的零點個數(shù).

—%2,%v0

“4_"丫2'%丫>n在(-8,+8)上是增函數(shù)，

{于十a(chǎn)x-/nu

(1)求實數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)g［x)=/(x)-kx有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍.

7.已知函數(shù)/?(%)=|2%|+|2%-3|.

(1)解不等式/(X)<5；

(2)若Bx0G[t+oo),使/(%0)+m<x0+—成立，求實數(shù)m的取值范圍.

8.已知函數(shù)f(x)=|x+2|-2|x-3|.

(I)解不等式：f(x)>2;

(II)若函數(shù)f(x)的最大值為m,正實數(shù)a,b滿足a+2b=m,證明：^+J>|

9.已知函數(shù)/(%)=i%3—4-c(b,cGR)

(1)若函數(shù)f(x)在點(1J(1))處的切線方程為y=2x+1,求瓦c的值；

(2)若b=l,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有唯一零點，求c的取值范圍；

(3)若對任意的xlfx2e[-14],均有1/,(%!)-/(%2)1<5，求b的取值范圍.

QX_

10.已知QWR,函數(shù)/(%)=今二^.

1k72x+a

(1)求a的值，使得/(X)為奇函數(shù)；

(2)若aN0且/(x)<與對任意xeR都成立，求a的取值范圍.

11.今年入秋以來，某市多有霧霾天氣，空氣污染較為嚴重.市環(huán)保研究所對近期每天的空氣污染

情況進行調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn)，每一天中空氣污染指數(shù)/(X)與時刻X(時)的函數(shù)關系為：/(%)=

I】og25(%+1)-可+2a+Lxe[0,24]，其中a為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且aw(0，1).

(1)若Q=/,求一夭中哪個時刻該市的空氣污染指數(shù)最低；

(2)規(guī)定每天中/(%)的最大值作為當天的空氣污染指數(shù)，要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過

3,則調(diào)節(jié)參數(shù)a應控制在什么范圍內(nèi)？

12.已知甲、乙兩名工人在同樣條件下每天各生產(chǎn)100件產(chǎn)品，且每生產(chǎn)1件正品可獲利20元，生

產(chǎn)牛次品損失30元，甲、乙兩名工人100天中出現(xiàn)次品件數(shù)的情況如表所示.

甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)/件01234

對應的天數(shù)/天4020201010

乙每天生產(chǎn)的次品數(shù)/件0123

對應的天數(shù)/天30252520

(1)將甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)記為x(單位：件)，日利潤記為y(單位：元)，寫出y與％

的函數(shù)關系式;

(2)按這100天統(tǒng)計的數(shù)據(jù)，分別求甲、乙兩名工人的平均日利潤.

13.已知函數(shù)/(x)=\x+l\+\x-a\.

(1)當Q=2時，求不等式/(X)<5的解集；

(2)若f(x)>2的解集為R,求a的取值范圍.

14.設函數(shù)f(x)=\x+2\.

(1)求不等式/(%)+/(-X)>6的解集；

(2)若不等式f(x-4)-f(x+1)>kx+?n的解集為(一8,+8)，求&+機的取值范圍.

15.已知函數(shù)/(x)=ex+bx-l(beR).

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若方程/(X)=Inx有兩個實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍.

16.隨著經(jīng)濟的發(fā)展，個人收入的提高，自2019年1月1日起，個人所得稅起征點和稅率的調(diào)整.調(diào)

整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應納^所得額.依照個

人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如下表：

個人所得稅稅率表(調(diào)整前)個人所得稅稅率表(調(diào)整后)

免征額3500元免征額5000元

級數(shù)全月應納稅所得額稅率級數(shù)全月應納稅所得額稅率

(%)(%)

1不超過1500元部分31不超過3000元部分3

2超過1500元至4500元102超過3000元至12000元10

的部分的部分

3超過4500元至9000元203超過12000元至25000元20

的部分的部分

????????????……

(1)假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記x表示總收入，y表

示應納的稅，試寫出調(diào)整前后y關于x的函數(shù)表達式；

(2)某稅務部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并

制成下面的頻數(shù)分布表：

收入

[3000,5000)[5000,7000)[7000,9000)[9000,11000)[11000,13000)[13000,15000)

(元)

人數(shù)304010875

①先從收入在［3000,5000)及［5000,7000)的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為

新納稅法知識宣講員，用Q表示抽到作為宣講員的收入在［3000,5000)元的人數(shù)，b表示抽到作

為宣講員的收入在［5000,7000)元的人數(shù)，隨機變量Z=\a-b\,求Z的分布列與數(shù)學期望；

②小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時，請你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實際收入比

調(diào)整前增加了多少？

17.已知函數(shù)f(x)=e2x+aex—a2x.

(1)當a=2時，求曲線y=f(x)在點(0J(0))處的切線方程；

(2)當Q'O時，討論函數(shù)/(%)的零點個數(shù).

18.已知數(shù)列｛an｝中，4。6=64,且log2an,^log2an+1，1(nWN")成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛%｝滿足bn=(Q“+i栽+］+i)，數(shù)列｛bn｝的前n項和為7〃，求心.

19.［選修4-5：不等式選講］

設函數(shù)/(x)=lg(\2x-1|+2|x+l|-a).

(I)當Q=4時，求函數(shù)/(x)的定義域；

(II)若函數(shù)/(%)的定義域為R,求a的取值范圍.

20.已知定義在區(qū)間(0,2)上的函數(shù)/(x)=^+lnx,meR.

(I)證明：當m=1時，/(x)>1；

(II)若曲線y=f(x)過點>1(1,0)的切線有兩條，求實數(shù)m的取值范圍.

21.已知函數(shù)f(%)=伍%—+X,QWR.

⑴令g(x)=f(x)-(ax-1),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Q=-2,正實數(shù)xlfx2滿足/(/)+/(%2)+%1%2=0，證明：xi+x2>底二'-

2

22.已知f［x)=ax+bx+c(a,btcER).

(I)當/(I)=-1,且f(x)<0的解集為(0,2),求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若關于x的不等式2^-1>0對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

23.已知函數(shù)/(%)=|x-l|-2\x+1|的最大值為t.

(1)求實數(shù)t的值：

(2)若g(x)=/(x)+2|x+1|,設m>0,n>0,且滿足4t，求證：g(m4-

2)+g(2n)>2.

24.已知/(x)=|x+1|+\2x+m\.

(I)當m=-3時，求不等式/(x)<6的解集；

(2)設關于x的不等式/(x)<|2x-4|的解集為M,且[-l,1]c/4,求實數(shù)m的取值范圍.

25.春節(jié)期間某商店出售某種海鮮禮盒，假設每天該禮盒的需求量在｛11,12,…,30｝范圍內(nèi)等可能

取值，該禮盒的進貨量也在｛11,12,…,30｝范圍內(nèi)取值(每天進1次貨).商店每銷售1盒禮盒可獲

利50元；若供大于求，剩余的削價處理，每處理1盒禮盒虧損10元；若供不應求，可從其它商店

調(diào)撥，銷售I盒禮盒可獲利30元.設該禮盒每天的需求量為x盒，進貨量為a盒，商店的日利潤

為y元.

(1)求商店的日利潤y關于需求量x的函數(shù)表達式；

(2)試計算進貨量a為多少時，商店日利潤的期望值最大？并求出日利潤期望值的最大值.

26.已知函數(shù)/(x)=ex—ax2.

(1)若a=l,證明：當%>0時，/(x)>1；

(2)若/(X)在(0,+00)只有一個零點，求a的值.

27.已知函數(shù)f。)=嗎(7+1),g(x)=x2-ax+6.

(I)若g(x)為偶函數(shù)，求a的值并寫出g(x)的增區(qū)間；

(II)若關于x的不等式g(x)<0的解集為(%|2<%<3｝,當％>1時，求必斗的最小

X—L

值；

(III)對任意的xie[1,+?>)，x2e[-2,4],不等式/(%!)<g(X2)恒成立,求實數(shù)a的取

值范圍.

28.已知函數(shù)/'(%)=①刀+a/->0,QwR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

(2)若曲線y=/(x)上存在唯一的點M,使得曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點

M,求實數(shù)Q的取值范圍.

29.選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=\x\4-|x4-1|.

(1)若/(x)>|7n-l|恒成立，求實數(shù)m的最大值M:

(2)在(1)成立的條件下，正數(shù)a,b滿足a2+b2=M，證明：a+b>2ab.

30.設函數(shù)/(x)=2\x-l|+|x+2|.

(1)求不等式/(x)>4的解集；

(2)若不等式f｛x)<\m-2\的解集是非空的集合，求實數(shù)m的取值范圍.

31.已知函數(shù)/(X)=\x\,g(x)=-\x-4\+m,xeRfmeR是常數(shù).

(1)解關于x的不等式g(|x|)+3-m>0；

(2)若曲線y=/(x)與y=g(^x)無公共點，求m的取值范圍.

32.已知數(shù)列｛Qn｝的前n項的和為Sn,Sn=^an-1.

(1)求數(shù)列｛Sn｝的通項公式；

(H)判斷數(shù)列｛當”的單調(diào)性，并證明.

33.從金山區(qū)走出去的陳馳博士，在《自然一可持續(xù)性》雜志上發(fā)表的論文中指出：地球正在變

綠，中國通過植樹造林和提高農(nóng)業(yè)效率，在其中起到了主導地位.已知某種樹木的高度f(t)(單

位:米)與生K年限￡(單位：年，t?N")滿足如下的邏輯斯蒂函數(shù)：7??)=i+eJl.5t+2，其中e

為自然對數(shù)的底數(shù).設該樹栽下的時刻為0.(m5kl.61)

(1)需要經(jīng)過多少年，該樹的高度才能超過5米？(精確到個位)

(2)在第幾年內(nèi)，該樹長高最快？

34.某商店銷售某海鮮，統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的需求量％(10WX420,單位：公

斤)，其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進貨1次，商店每銷售1公斤可獲利50元；若供大

于求，剩余的削價處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應求，可從其它商店調(diào)撥，銷售1公斤可

獲利30元.假設商店每天該海鮮的進貨量為14公斤，商店的日利潤為y元.

(1)求商店日利潤y關于需求量x的函數(shù)表達式；

(2)假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替.

①求這50天商店銷售該海鮮日利潤的平均數(shù)；

②估計日利潤在區(qū)間［580,760］內(nèi)的概率.

35.已知函數(shù)/(x)=-2lnx4-(x2+1)—ax,a>0?

(1)判斷/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(%)>0在(1,+oo)上恒成立，且/(%)=0有唯一解，試證明avl.

36.已知函數(shù)/(X)=|x-5|+|x-l|.

(1)求/(x)的最小值m；

(2)若正實數(shù)Q,b滿足：+去=求證:+A-771.

37.已知函數(shù)/(x)=-|2x-l|-2.

(1)求/(X)>-5的解集；

(2)若,/,(x)<-|x+3|-t2+|t+l恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

38.已知函數(shù)/(>)=,+Inx(awR).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設/(X)的導函數(shù)為/(x),若/(x)有兩個不相同的零點%i，%2.

①求實數(shù)a的取值范圍；

②證明：xxf(%i)+x2f(x2)>2lna+2-

39.設集合B是集合4={1,2,3,…，3n一2,3n-1,3n],nWN，的子集.記B

中所有元素的和為S(規(guī)定：B為空集時，S=0).若5為3的整數(shù)倍，則稱B為4的“和

諧子集求：

(1)集合&的“和諧子集''的個數(shù)：

(2)集合A”的“和諧子集”的個數(shù).

40.某游戲廠商對新出品的一款游戲設定了“防沉迷系統(tǒng)”，規(guī)則如下：

①3小時以內(nèi)(含3小時)為健康時間，玩家在這段時間內(nèi)獲得的累積經(jīng)驗值占(單位：exp)與

游玩時間七(小時)滿足關系式：E=t2+20t+16a；

②3到5小時(含5小時)為疲勞時間，玩家在這段時間內(nèi)獲得的經(jīng)驗值為0(即累積經(jīng)驗值不

變)；

③超過5小時為不健康時間，累積經(jīng)驗值開始損失，損失的經(jīng)驗值與不健康時間成正比例關系，

比例系數(shù)為50.

(1)當Q=1時，寫出累積經(jīng)驗值E與游玩時間f的函數(shù)關系式E=/(t),并求出游玩6小

時的累積經(jīng)驗值；

(2)該游戲廠商把累積經(jīng)驗值E與游玩時間，的比值稱為“玩家愉悅指數(shù)”，記作H(￡)；若a>

0，旦該游戲廠商希望在健康時間內(nèi)，這款游戲的“玩家愉悅指數(shù)”不低于24,求實數(shù)。的取值范

圍.

X

41.設函數(shù)/(x)=2-1的反函數(shù)為,g(x)=log4(3x+1).

(1)若f~\x)<g(x),求%的取值范圍D；

(2)在(1)的條件下，設H(x)=^(x)-1/-1(x),當％6。時，函數(shù)H(x)的圖像與直線

y=a有公共點，求實數(shù)Q的取值范圍.

42.已知函數(shù)/(x)=|x+3|-|x-1|.

(I)求函數(shù)f(x)的值域；

(II)若對VxE/?,/(X)V|-可恒成立，求a的取值范圍.

43.已知a>0,函數(shù)f(x)=ax2-x-Inx,g(x)=Inx.

(1)求證：g(x)<x；

(2)討論函數(shù)y=/(x)零點的個數(shù).

44.已知函數(shù)/(x)=僅+m|+2\x-l|(m>0).

(1)當m=2時，求不等式/(x)<8的解集；

(2)若不等式f(%+l)<3的解集為0,求實數(shù)m的取值范圍.

45.某項研究性課題由一個團隊完成，團隊由一個主持人和若干個助手組成，助手分固定和臨時兩

種，每個固定助手的工資為3000元/月，當固定助手人手不夠時，需要招聘臨時助手，每個臨時助手

的工資為4000元/月，現(xiàn)在搜集并整理了以往的20個團隊需要的助手數(shù)；得到如圖柱狀圖.

記n為提供給一個團隊的固定助手數(shù)(提供的每個固定助手均按3000元/月的標準支付工資).x

為一個團隊需要的助手數(shù)，y為支付給一個團隊的助手的月工資總額(單位：元)

(I)當n=4時，求y關于x的函數(shù)關系式；

(II)假設這20個團隊中的每一個團隊都提供4個固定助手或都提供5個固定助手，分別計算這

20個團隊每月支付給助手的工資總額，以此作為決策依據(jù)，判斷每一個團隊提供4個固定助手劃算

還是泥供5個固定助手劃算；

(Ill)以這20個團隊需要助手數(shù)的頻率代替一個團隊需要助手數(shù)的概率，若40個團隊中需要5

個以下(不包括5個)助手數(shù)的團隊個數(shù)記為X,求E(X).

46.已知函數(shù)f(x)=|x-m|-|2x+2m|(m>0).

(I)當m=l時，求不等式f(x)>1的解集；

(II)若Vx￡R,3teR,使得f(x)+|t-l|<|t+l|,求實數(shù)m的取值范圍.

47.已知函數(shù)/(%)=xlnx-Inx,g(x)=x-k.

(I)令h(x)=f(x)-g(x)

①當k=l時，求函數(shù)h(x)在點(l,h(l))處的切線方程；

②若xeA={x|x)l}時，/i(x)>0恒成立，求k的所有取值集合與A的關系；

(H)記w(x)=(/(%)-])(g(x)-/)，是否存在mEN+t使得對任意的實數(shù)k6

(m,+oo),函數(shù)w(x)在(1,+8)上有且僅有兩個零點？若存在，求出滿足條件的最小正整數(shù)

m,若不存在，請說明理由.

48.己知函數(shù)/(x)=cos2x+2y/3sinxcosx-sin2x?xER.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)求方程f(x)=0在(0,n]內(nèi)的所有解.

49.已知函數(shù)/(x)=\2x+1|—|x—3|.

(1)求不等式/(x)>6的解集；

(2)設關于x的不等式/(%)>|x-m|的解集為A,若[3,4]QA,求實數(shù)m的取值范圍.

50.設函數(shù)/(%)=\2x\+|2x+3|ER.

(1)當m=-2時，求不等式/(r)<3的解集；

(2)VxE(-00,0),都有/(X)-V+恒成立，求m的取值范圍.

51.已知函數(shù)/(X)=ex-alnx.

(1)討論/(%)的導函數(shù)/(%)的零點的個數(shù)；

(2)證明：當Q>0時，/(x)>a(2-Ina).

52.已知函數(shù)f(x)=\2x—1|+卸一2a\.

(1)當Q=1時，求/(x)<3的解集；

(2)當%€|1,2|時，/(X)<3恒成立，求實數(shù)Q的取值范圍.

53.設函數(shù)/(%)=-minx,g(x)=x2-(m+l)x.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當mNO時，討論函數(shù)/(%)與g(x)圖象的交點個數(shù).

54.已知函數(shù)/(%)=ax2+(a-2)x-Inx.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

55.已知f(x)=|x+1|-\2x-1|.

(1)求不等式/(%)>0的解集；

(2)若xER時，不等式/(x)<x+a恒成立，求Q的取值范圍.

56.設函數(shù)f(x)=—+%-Q+2[QWR).

(1)當曲線y=/(x)在點(1,/(I))處的切線與直線y=x垂直時，求實數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)"⑺=/(%)+會有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍。

S7.已知函數(shù)/'(幻=|丫一3一2比一l|(a￡R)

(1)當a=3時，求函數(shù)/(x)的最大值；

(2)解關于x的不等式/(x)>0.

58.已知函數(shù)/(%)=|x-a|+*(aHO)

(1)若不等式f(x)-f(x+m)W1恒成立，求實數(shù)m的最大值；

(2)當aV4時，函數(shù)g(x)=f(x)+|2x-1|有零點，求實數(shù)a的取值范圍.

59.設函數(shù)f(x)=|2x-1|,x￡R.

⑴若不等式f(x)0a的解集為{x|OSxSl},求a的值；

(2)若g(x)=/(%)+/(：+i)+m的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍.

60.某職業(yè)學校的王亮同學到一家貿(mào)易公司實習，恰逢該公司要通過海運出口一批貨物，王亮同學

隨公司負責人到保險公司洽談貨物運輸期間的投保事宜，保險公司提供了繳納保險費的兩種方案：

①一次性繳納50萬元，可享受9折優(yōu)惠；

②按照航行天數(shù)交納：第一天繳納0.5元，從第二天起每天交納的金額都是其前一天的2倍，共

需交納20天.

請通過計算，幫助王亮同學判斷那種方案交納的保費較低.

答案解析

1.【答案】(1)解：由題意可得，g(x)=2x-l,

21>氏n

弛X

--?

Ii

九

解得

所

a>H>X1X>O以X>

-Z2X----,-

l

I所

2X解得

22

九

<>1以-<

---XX>--9-

@x3,3

綜上：X6R,+8).

(2)解：因為|2x-l|-c>|x-l|,

即c<\2x-1|—|x—1|.

A；X>1

3x-2f^<x<1f

{-x,x<|

所以=0(1)=?

即C<-i

【知識點】函數(shù)的最大(小)值；含絕空值不等式的解法

【解析】【分析】(1)利用零點分段法求出絕對值不等式。

(2)因為|2x-l|-c>|x-l|,即c<|2x-l|-|x-1|,再將函數(shù)。(x)=|2x-1|-

|x-11轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再利用分段函數(shù)圖象求出函數(shù)。(口的最小值，從而利用不等式恒成立問題

的解決方法求出c的取值范圍。

2.【答案】解：(1)當6=0時，/(%)=2(1-1=2(。丁),(x>0),

當QW0時，/(X)<0在(0,+8)上恒成立..??函數(shù)f[x)在(0,+8)單調(diào)遞減；

當a>0時，由/(%)<0得Ovxv：,由/(%)>0得％>:,

???/。)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,》，單調(diào)遞增區(qū)間為+8),

綜上，當QW0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8)，無單調(diào)遞增區(qū)間，

當a>0時，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,》，單調(diào)遞增區(qū)間為6,+8).

(II)證明：v%>y>e—1,?%x4-l>y+l>e，即ln(x4-1)>ln(y+1)>1,

欲證ex\n(y4-1)>eyln(x+1).

即證明ln(；+l)>K+l)'

令貝乃=反近，

eXln(+1)

則g'(x)=^2-—，顯然函數(shù)h(x)=ln(x+1)一士在(e—1,+<?)上單調(diào)遞增，

In(x+1)“+1

h(x)>1—^>0，即g(%)>0,

??.g(x)在(e-1,+8)上單調(diào)遞增，

—l時，g(%)>g(y)，即E(m)>，

???當%>y>e-1時，exln(y+1)>ey\n(x+1)成立.

【知識點】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：分析法的思考過程、特點及應用

【解析】【分析】(I)求函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系進行求解即可.(II)將不等式

進行等價轉(zhuǎn)化為篇高需，構(gòu)造函數(shù)。(%)=京占，求函的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用

函數(shù)的單調(diào)性證明gM>g{y}即可.

3.【答案】當a=0時，由f(x)>g(x)得\2x+1|>\x\,兩邊平方整理得3/+4x+1>

0,

解得X<—1或％之/原不等式解集為(—00,—1]U[―i;4-oo).

(2)若存在xER,使得/(X)<g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

-x-l,x<-1

3x+1>_l<x<0，

(x+l,x>0

故Kx)min=h(-1)=-1,從而所求實數(shù)a的取值范圍為6V?

【知識點】函數(shù)的最大(小)值；含絕末值不等式的解法；分段函數(shù)的應用

【解析】【分析】(1)利用a的值代入求出函數(shù)g(x)的解析式，再利用平方法轉(zhuǎn)化為一元二次不等

式，再利用一元二次不等式求解集的方法求出不等式的解集。

(2)利用不等式成立的已知條件求出a>|2x+1|-|%|,再利用構(gòu)造法構(gòu)造分段函數(shù)九(x)=|2x+

l|-|x|,再利用分段函數(shù)的圖象求出分段函數(shù)的最小值，從而求出與分段函數(shù)有關的a的取值范

圍。

2

4.【答案】(1)由題意可得：2xy-x=V5，貝IJy=，

y>%,:."士底>%,解得0v%<.

??.y關于X的解析式為y=學5(0<x<V5)；

(2)設正十字形的外接圓的直徑為d,

2

由圖可知d2=%2+y2=/+l歲)=孚+2+空濘+夠,

當且僅當％=1,、=要時，正十字形的外接圓直徑d最小，

最小為產(chǎn)了二J10產(chǎn),則半徑最小值為J10：2店,

???正十字形的外接圓面積最小值為J10+2相、2_5+店.

加X(-----4-----)--Q-n

【知識點】函數(shù)解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【分析】(1)利用實際問題的已知條件結(jié)合圖形特征求生)，關于工的函數(shù)解析式。

(2)利用均值不等式求最值的方法結(jié)合正十字形的外接圓面積公式求出正十字形的外接圓面積最小

值。

5.【答案】(1)解：函數(shù)/(%)的定義域為(0,+8).八乃=］_*_,二.一(歲］(%+1).

當。三一1時，即Q+140,/(X)>0，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

???/Q)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當。>一1時，即a4-1>0,當x€(0,a+1)時，/(%)<0，當xe(a+1,4-oo)時，

f(x)>0，

???/?(彳)在(0,a+l)上單調(diào)遞減，在(a+1,+8)上單調(diào)遞增.

???當a<-l時，f(x)在(0,+8)二單調(diào)遞增.

當a>—1時，/(%)在(0,a+l)上單調(diào)遞減，在(Q+1,+8)上單調(diào)遞增.

(2)解：設f(x)=x+^—alnx=0,則由(1)知

①當a>e-l時，即a+l>e,當xG(l,e)時，/(x)<0，/(x)在(l,e)單調(diào)遞減

/⑴=2+a>0，/(e)=e+嚕1-a=a(1-1)+e+1

???當/(e)>0,即a(i-l)+e+i>0,Qv貯邙時，/(%)>0在［l,e］上恒成立，

???當e-1VQ<皿時，/(%)在［1,。］內(nèi)無零點.

當/(e)<0,即。6-1)+。+：40,QN當時，/(0)-f(e)<0,

根據(jù)零點存在性定理知，此時，f(x)在［l,e］內(nèi)有零點，

V/(x)在［lfe］內(nèi)單調(diào)遞減，，此時，f(x)在［l,e］有一個零點.

②當QW0時，即Q+1V1,當xe(l.e)時，/(r)>0,/(x)在(Le)單調(diào)遞增，

/⑴=2+a,/(e)=a(J-l)+e+|>0.

???當/(1)=2+QW0,即QW—2時，/(l)?/(e)<0,根據(jù)零點存在性定理，此時，/(%)

在［l,e］內(nèi)有零點.

??,/(%)在［l,e］內(nèi)單調(diào)遞增，，此時，/(%)在［l,e］有一個零點.

當-2VQW0時，fminM=/(I)>0，，此時，/(X)在［lte］無零點.

③當OVaWe-l時，即1<a+1<e,當》W(1,Q+1)時，f(x)<0:當工￡(Q+1,e)

時，f(x)>0;

則/(x)在(1,Q+1)單調(diào)遞減,在(a+l,e)單調(diào)遞增.

/mtn(x)=f(a+1)=a+2-aln(a4-l)>a+2-a=2

???/(%)>0在［l,e］上恒成立，，此時,/(x)在［l,e］內(nèi)無零點.

，綜上所述：

當時，/(x)在［1,句內(nèi)有1個零點；

當。工一2時，/(X)在［l,e］有一個零點；

當一2VQ〈Q二牛時，/(%)在［l,e］無零點.

【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)最大(小)值；函數(shù)零點存在定理

【解析】【分析】(1)利用分類討論的方法結(jié)合求導的方法討論出函數(shù)的單調(diào)性。

(2)利用不等式恒成立問題的解決方法結(jié)合求導的方法判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最

值，再利用零點存在性定理討論出f(x)在區(qū)間［1,句上的零點個數(shù)。

6.【答案】(1)解：當XV0時，/(x)=-%2是增函數(shù)，且/(x)<0=/(0),

故當％N0時，/(x)為增函數(shù)，即f(x)>0恒成立，

當％N0時，函數(shù)的導數(shù)/'(%)=+2ax-2a=宏+2aoT)=(1一%)(E-2a)。0

恒成立，

當》之1時，1一"0,此時相應^-2a<0恒成立，即2QZ備恒成立，即2a>

點)max=|恒成立,

當OWxVl時，1一%>0,此時相應p：-2a>0恒成立，即2a恒成立，即2a<1

恒成立，

則2a=工，即a=:.

e2e

(2)若kwo,則gM在R上是增函數(shù)，此時gM最多有一個零點，不可能有三個零點，則

不滿足條件.

故k>0,

當％V0時，g(x)=-x2-kx有一個零點一k,

當％=0時，g(0)=f(0)-0=0,故0也是故g(%)的一個零點，

故當%>0時，g(x)有且只有一個零點，即g(x)=0有且只有一個解，

即1+%，得去+疑>"，

則k=&+壬一］，在x>o時有且只有一個根，

ex2ee

即y=k與函數(shù)h(x)=去+，在x>0時有且只有一個交點，

川㈤=一2+/，

由hJ(x)>0得-白+疝>。，即/得那>2e,得x>ln2e=1+Zn2,此時函數(shù)遞

增，

由九'(%)<0得-白+點V。，即春>克得e'〈2e,得0<x<ln2e=1+m2,此時函數(shù)

遞減：

即當x=l+，n2時，函數(shù)取得極小值，此時極小值為力(1+m2)=3版+上普一:

1,1,Zn211,1Zn21ln2

=/+石+左一1石+石+石一5二芯'

/i(0)=l+0-J=l-J.

作出九(%)的圖象如圖，

要使y=k與函數(shù)九(%)=￡+合一;，在x>0時有且只有一個交點,

則八器或心1］，

即實數(shù)k的取值范圍是償｝U[1-1,+00）.

【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研窕函數(shù)的極值；函數(shù)零點存在定理

【解析】【分析】（1）利用求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用不等式恒成立問題的解決方法，用

求函數(shù)最值的方法求出a的值。

（2）利用函數(shù)零點和方程的根的等價關系結(jié)合求導判斷函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)極值的方法，從而求出k

的取值范圍。

7.【答案】（1）解：/⑺工5=J3〈°,…或1°-x-i或1X>1

l-Zx+3-Zx<5（2x+3-2x<5l2x+2x-3<5

解得一,

不等式/(x)<5的解集為5±,2].

(2)由x€[1,+co),/(x)+m<x+—有解,

000人0

得XQ+|2%o—3|—^-4-?n<0有解，

3工「3市、3

3Xo>2

令^)=x|2x-3|--=

oo+o3-、。_泰3

1<x0<2

當勾斗時，gg）=3%-3顯然單調(diào)遞增，

2

--

當1W<梳時，g（X0）=3-x0T，求導得g'（%0）=-1+二7=3*。2

顯然在14與V。時，上馬>0,即gQo）在1時，單調(diào)遞增，

則gOo）znin=g⑴=-1，

-1+m<0,m<1.

【知識點】函數(shù)的最大（?。┲?；含絕疝值不等式的解法

【解析】【分析】（1）利用零點分段法求出絕對值不等式的解集。

（2）利用求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，再結(jié)合不等式成立的已知條件求出

m的取值范圍。

8.【答案】(I)當x>3時，f(x)=|x+2|-2|x—3|=x4-2—2x4-6=-x4-8>2,

解得x<6,3<x<6；

當一24%V3時，f(x)=|x+2|-2|x—3|=x+2+2x-6=3x—4>2

解得x>2,2<x<3；

當x<-2時，f（x）=|x+2|-2|x-3|=-%-2+2%-6=%-8>2,

解得x>10,無解.

綜上所述，原不等式的解集為（2,6）.

x-Sfx<C—2,

3x—4,-2<X<3/*',f（X）小收—5,

—%+8,x>3/

Q

即"A-+!

52b5

他2=l248

a>a

?-+--『->-+2-

：5555-55(當且僅當a=2b時，等號成

立

【知識點】含絕對值不等式的解法；分段函數(shù)的應用

【解析】【分析】(1)利用零點分段法求出絕對值不等式的解集。

(2)將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再利用分段函數(shù)的圖象求出分段函數(shù)的最大值，從而求出

21

-5>成立

a+2b的值，再利用均值不等式求最值的方法證明出不等式Q-

9.【答案】(1)解：/(x)=x2-b，所以/(l)=l-d=2，得b=-1

又/⑴=24-1=3,所以J—b+c=3,得c=搟

⑵解：因為b=1所以/(x)=寺爐一工+。，=x2-1

當％W(0,1)時，/(%)<0,當xW(1,2)時，/(%)>0

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增

又/(0)=c</(2)=j+c,可知f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有唯一零點等價于

-1)=?；騼斒?/p>

得c=5或一,<cW0

(3)解：若對任意的刈,必：均有\(zhòng)fM-f(X2)\<^，等價于f(x)在［-1,1］上的

最大值與最小值之差M<|

(i)當bWO時，在［一1,1］上/(x)>0，/(%)在上單課遞增

由M=/(I)-/(-I)=1-26<，得此一義

所以一段WbW0

(ii)當b>0時，由/(%)=0得工=±y[b

X-4b(-痣.4b)4b(線,+8)

f(x)+o—o+

/(.V)遞增極大值遞減極小值遞增

由/1工)=f(一&)得x=2VF或x=—yfb

所以/(2Vb)=/(-Vb)，同理八一2前)=/(VF)

24

當

與

便

1>即b>1->

33,

1244

詆

當

2\即-<<A--3<-

J一

Z4--=33-3

恒成立

4

-

3)當2①Vl,即Ovbv/時，M=/(I)-f(-l)=3

綜上所述，b的取值范圍為［-11］

【知識點】函數(shù)恒成立問題：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；函數(shù)零點

存在定理

【解析】【分析】本題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)求切線方程、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值等

基礎知識，考查函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.(1)先求導，將切點的

橫坐標代入到導數(shù)中，得到切線的斜率，結(jié)合已知切線的斜率可求出b的值，再由切點在切線上，

可求出f(l)即切點的縱坐標，然后代入f(x)的解析式即可求出c的值；(2)先將b=l代入

得到/(%)解析式，求導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，因為/(%)在(0,2)有唯一的零點，所以/(1)=

0或(^2)；o，所以解得c=，或一|vcMO;(3)屬于恒成立問題，通過分析題意，可以轉(zhuǎn)

化為f(x)在［-1,1］上的最大值與最小值之差,因為f\x)=x2-b，所以討論b的正

負來判斷/(x)的正負，當b40時，/(X)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以M=/(l)-/(-l)，當

0時，需列表判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值來決定最值的位置，這種情況中還需要討論4b與1的大小.

10.【答案】(1)解：由題意可知f(x)的定義域為R,因此，