山西省臨汾市高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題含解析

山西省臨汾市高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓，為圓外的任意一點，過點引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點．在點運動的過程中，線段所掃過圖形的面積為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列滿足，且，則的值為（）A.3 B.C. D.3．從全體三位正整數(shù)中任取一數(shù)，則此數(shù)以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的概率為（）A. B.C. D.以上全不對4．已知圓：的面積被直線平分，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交C.內(nèi)切 D.外切5．已知雙曲線的離心率，點是拋物線上的一動點，到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和的最小值為，則該雙曲線的方程為A. B.C. D.6．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.7．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標(biāo)原點）的面積為4，則拋物線方程為（）A. B.C. D.8．在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投入一點P，則點P的坐標(biāo)滿足不等式的概率是（）A. B.C. D.9．關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C.或 D.10．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.11．有7名同學(xué)參加百米競賽，預(yù)賽成績各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差12．已知，若對于且都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公比為___________.14．給定點、、與點，求點到平面的距離______.15．九連環(huán)是中國的一種古老智力游對，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中國的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個精美的由九個翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設(shè)有個圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動次數(shù)，且數(shù)列滿足，，則___________.16．已知曲線與曲線有相同的切線，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）如圖，OP為圓錐的高，AB為底面圓O的直徑，C為圓O上一點，并且，E為劣弧上的一點，且，.（1）若E為劣弧的中點，求證：平面POE；（2）若E為劣弧的三等分點（靠近點），求平面PEO與平面PEB的夾角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若時，對任意都有恒成立，求實數(shù)的最大值20．（12分）已知拋物線：上的點到其準(zhǔn)線的距離為5.（1）求拋物線的方程；（2）已知為原點，點在拋物線上，若的面積為6，求點的坐標(biāo).21．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且（1）求證：四點共面；（2）設(shè)與交于點，求證：三點共線.22．（10分）已知拋物線的焦點為F，傾斜角為45°的直線m過點F，若此拋物線上存在3個不同的點到m的距離為，求此拋物線的準(zhǔn)線方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點的軌跡方程，分析可知線段所掃過圖形為是夾在圓和圓的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接、、，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因為且，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點的軌跡方程為，所以，線段掃過的圖形是夾在圓和圓的圓環(huán)，故在點運動的過程中，線段所掃過圖形的面積為.故選：D.2、B【解析】根據(jù)題意，依次求出，觀察規(guī)律，進(jìn)而求出數(shù)列的周期，然后通過周期性求得答案.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，所以，，，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，，所以.故選：B3、B【解析】利用古典概型的概率求法求解.【詳解】從全體三位正整數(shù)中任取一數(shù)共有900種取法，以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的三位數(shù)有，共3個，所以以此數(shù)以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的概率為，故選：B4、D【解析】根據(jù)題意，圓：的面積被直線平分，即直線經(jīng)過圓的圓心，由此求出兩圓的圓心和半徑，然后判斷兩個圓的位置關(guān)系即可【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑，圓：的面積被直線平分，即直線經(jīng)過圓的圓心，則有1?m＋1＝0，解可得m＝2，即所以圓的圓心（1，?1），半徑為1，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心（?2，3），半徑為4，其圓心距，所以兩個圓外切，故選：D.5、B【解析】先根據(jù)離心率得，再根據(jù)拋物線定義得最小值為（為拋物線焦點），解得，即得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以，設(shè)為拋物線焦點，則，拋物線準(zhǔn)線方程為，因此到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和等于，因為，所以，即，即雙曲線的方程為，選B.【點睛】本題考查雙曲線方程、離心率以及拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬中檔題.6、C【解析】由，得到，根據(jù)正弦、余弦定理定理化簡得到，化簡得到，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因為，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因為，所以，由，所以，因為是銳角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.故選：C7、B【解析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點坐標(biāo)，求出直線的方程、點的坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的焦點的坐標(biāo)為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點的坐標(biāo)為：，因為面積為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.8、A【解析】根據(jù)題意作出圖形，進(jìn)而根據(jù)幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示：于，所求概率.故選：A.9、C【解析】求出不等式對應(yīng)方程的根，結(jié)合不等式和二次函數(shù)的關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】不等式對應(yīng)方程的兩根為，因為，故可得，根據(jù)二次不等式以及二次函數(shù)的關(guān)系可得不等式的解集為或.故選：C.【點睛】本題考查含參二次不等式的求解，屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】將拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得到答案；【詳解】拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，準(zhǔn)線方程為，故選：A.11、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績排序7選3，即可知還需明確的成績數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競賽，要取前3名參加決賽，則成績從高到低排列，確定7名同學(xué)成績的中位數(shù)，即第3名的成績便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選：C.12、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對于且時，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時，恒成立，求得的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求解.【詳解】由題意，對于且都有成立，不妨設(shè)，可得恒成立，即對于且時，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，恒成立，又由，所以在上恒成立，即在上恒成立，又由，所以，即實數(shù)取值范圍為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】求出等比數(shù)列的公比，利用定義可求得數(shù)列的公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因此，數(shù)列的公比為.故答案為：.14、【解析】先求出平面的法向量，再利用點到面的距離公式計算即可.【詳解】設(shè)平面的法向量為，點到平面的距離為，，，即，令，得故答案為：.15、684【解析】利用累加法可求得的值.【詳解】當(dāng)且時，，所以，.故答案為：.16、0【解析】設(shè)切點分別為，．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，則．由，，計算可得，進(jìn)而求得點坐標(biāo)代入方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點分別為，由題意可得，則，即因為，，所以，即，解得，所以，則，解得故答案為：0三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標(biāo)原點，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個法向量與的方向向量，利用向量法可求直線與平面所成角的正弦值【小問1詳解】證明：取中點，又是中點，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中點，，平面，，又，平面，平面.【小問2詳解】解：以為坐標(biāo)原點，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，1，，1，，，0，，，1，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，令，則，，平面的一個法向量為，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）推導(dǎo)出平面，，，由此能證明平面（2）推導(dǎo)出，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值【小問1詳解】證明：為圓錐的高，平面，又平面，，為劣弧的中點，，，平面，平面【小問2詳解】解：解：為劣弧的三等分點（靠近點，為底面圓的直徑，為圓上一點，并且，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，，，，0，，，3，，0，，，，，，，，，3，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，二面角的余弦值為19、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分類討論即得；（2）由題可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】的定義域為，且當(dāng)時，顯然，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得則有：極大值即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時，，對于滿足恒成立，在上恒成立，令，只需∴，，，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，存在唯一的，使得，即，兩邊取自然對數(shù)得，極小值，則的最大值為20、（1）（2）或【解析】（1）結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得拋物線的方程.（2）設(shè)，根據(jù)三角形的面積列方程，求得的值，進(jìn)而求得點的坐標(biāo).【小問1詳解】由拋物線的方程可得其準(zhǔn)線方程，依拋物線的性質(zhì)得，解得.∴拋物線的方程為.【小問2詳解】將代入，得.所以，直線的方程為，即.設(shè)，則點到直線的距離，又，由題意得，解得或.∴點的坐標(biāo)是或.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，利用中位線定理和線段成比例，先證明，進(jìn)而證明問題；（2）先證明平面，平面，進(jìn)而證明點P在