2024-2025學(xué)年河南省鄭州市高新區(qū)楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年鄭州市高新區(qū)楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是(

)A.矩形 B.菱形 C.平行四邊形 D.正方形2.如圖，一個(gè)小球從A點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種機(jī)會(huì)均相等的結(jié)果，那么，小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率是(

)A.12

B.14

C.163.用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是(

)A.x2+8x+9=0化為(x+4)2=25

B.x2?2x?99=0化為(x?1)2=1004.下列說(shuō)法中正確的是(

)A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

B.在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就是概率

C.若順次連接某四邊形的四邊中點(diǎn)得到一個(gè)正方形，則原四邊形一定是正方形

D.如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形5.如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為(

)A.75°

B.60°

C.55°

D.45°6.若方程8x2+2kx+k?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2且滿足x1A.?2或6 B.?2 C.6 D.47.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)(與B，C兩點(diǎn)不重合)，過(guò)點(diǎn)D作DE//AC，DF//AB，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是(

)

A.若AD⊥BC，則四邊形AEDF是矩形

B.若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是矩形

C.若BD=CD，則四邊形AEDF是菱形

D.若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形8.歐幾里得的《幾何原本》記載，對(duì)于形如x2+ax=b2的方程，可用如圖解法：作直角三角形ABC，其中∠C=90°，AC=b，BC=a2，在斜邊AB上截取A.線段AC的長(zhǎng) B.線段BC的長(zhǎng) C.線段AD的長(zhǎng) D.線段CD的長(zhǎng)9.如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，把AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，連接CF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.則FGCE的值為(

)A.2

B.3

C.310.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=10cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，連接PQ.如果P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，出發(fā)時(shí)間為t(t>0，單位：s).有下列結(jié)論：

①△PBQ面積的最大值為25cm2．

②出發(fā)時(shí)間t有兩個(gè)不同的值滿足△PBQ的面積為9cm2．

③PQ的長(zhǎng)可以是8cm．

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.請(qǐng)寫出一個(gè)使一元二次方程x2+5x+b=0有實(shí)數(shù)根的b值：______．12.某農(nóng)科所試驗(yàn)田有3萬(wàn)棵水稻.為了考察水稻穗長(zhǎng)的情況，于同一天從中隨機(jī)抽取了50個(gè)稻穗進(jìn)行測(cè)量，獲得了它們的長(zhǎng)度x(單位：cm)，數(shù)據(jù)整理如下：稻穗長(zhǎng)度x<5.05.0≤x<5.55.5≤x<6.06.0≤x<6.5x≥6.5稻穗個(gè)數(shù)5816147根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)此試驗(yàn)田的3萬(wàn)棵水稻中“良好”(穗長(zhǎng)在5.5≤x<6.5范圍內(nèi))的水稻數(shù)量為_(kāi)_____萬(wàn)棵．13.方程x2?9x+18=0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．14.如圖，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E、F分別是AB、CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AC，則AF+CE的最小值為_(kāi)_____．15.如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題8分)

解方程：(1)(x?3)2?9=0；

(2)(x?317.(本小題8分)

已知四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE．

(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)F(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)求證：AE=BF.(請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程)

證明：∵在正方形ABCD中，

∴AB=BC，∠ABE=∠______=90°，

∴∠ABH+∠CBF=90°，

∵BF⊥AE，

∴∠AHB=∠EHB=90°，

∴∠ABH+∠BAE=90°，

∴______．

∴△ABE≌△BCF(ASA)，

∴AE=______．

通過(guò)上面的操作，進(jìn)一步探究得到這樣的結(jié)論；兩端點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊上且______的線段長(zhǎng)相等．18.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2?6mx+9m2?1=0．

(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，且x19.(本小題8分)

如圖，某校食堂實(shí)行統(tǒng)一配餐，為方便學(xué)生取餐，食堂開(kāi)設(shè)了4個(gè)窗口，分別記為①、②、③、④，學(xué)生可以從這4個(gè)窗口中任意選取一個(gè)窗口取餐．

(1)若小明去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒(méi)有人，則小明選擇在②號(hào)窗口取餐的概率是______；

(2)若小紅和小麗一起去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒(méi)有人，求小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率.(請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由)20.(本小題8分)

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BD于點(diǎn)E，CG⊥BD于點(diǎn)F，F(xiàn)G=CF，連接AG．

(1)求證：四邊形AEFG是矩形；

(2)若∠ABD=30°，AG=2AE=6，求BD的長(zhǎng)．21.(本小題8分)

閱讀材料，并解決問(wèn)題．

【學(xué)習(xí)研究】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以x2+2x?35=0為例，構(gòu)造方法如下：

首先將方程x2+2x?35=0變形為x(x+2)=35，然后畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，按如圖①所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為(x+x+2)2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面積之和，即4x(x+2)+22=4×35+4.因此，可得新方程(x+x+2)2=144.因?yàn)閤表示邊長(zhǎng)，所以2x+2=12，即x=5.遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個(gè)正根．

【類比遷移】小穎根據(jù)以上解法解方程2x2+3x?2=0，請(qǐng)將其解答過(guò)程補(bǔ)充完整：

第一步：將原方程變形為x2+32x?1=0，即x(______)=1；

第二步：利用四個(gè)全等的矩形構(gòu)造“空心”大正方形；(在畫(huà)圖區(qū)畫(huà)出示意圖，標(biāo)明各邊長(zhǎng))

第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程______，解得原方程的一個(gè)根為_(kāi)_____；

【拓展應(yīng)用】一般地，對(duì)于形如22.(本小題8分)

東新社區(qū)為了解決社區(qū)停車難的問(wèn)題，利用一塊矩形空地ABCD建了一個(gè)小型停車場(chǎng)，其布局如圖所示.已知AD=50m，AB=30m，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為x米的道路.已知鋪花磚的面積(即期影面積)為800m2．

(1)求道路的寬是多少米？

(2)該停車場(chǎng)共有車位50個(gè)，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個(gè)車位的月租金為200元時(shí)，可全部租出；若每個(gè)車位的月租金每上漲5元，就會(huì)少租出1個(gè)車位.當(dāng)每個(gè)車位的月租金上漲多少元時(shí)，停車場(chǎng)的月租金收入為1012023.(本小題8分)

定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖1，∠ABC=∠ADC=90°，四邊形ABCD是損矩形，則該損矩形的直徑是線段AC.同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有∠ADB和∠ACB，此時(shí)∠ADB=∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在CB同側(cè)有∠BAC和∠BDC，此時(shí)∠BAC=∠BDC．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中再找出一對(duì)這樣的角來(lái)：______=______；

(2)如圖2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向外作菱形ACEF，D為菱形ACEF對(duì)角線的交點(diǎn)，連接BD．

①四邊形ABCD______損矩形(填“是”或“不是”)；

②當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

③若∠ACE=60°，AB=4，BD=53，求BC的長(zhǎng)．

參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.B

6.B

7.D

8.C

9.A

10.B

11.5(答案不唯一)

12.1.8

13.15

14.5

15.52或516.解：(1)方程變形得：(x?3)2=9，

開(kāi)方得：x?3=3或x?3=?3，

解得：x1=6，x2=0；

(2)方程變形得：(x?3)(5x?3)=0，

可得x?3=0或5x?3=0，17.(1)解：如圖，BF即為所求；

(2)證明：∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠ABE=∠C=90°，

∴∠ABH+∠CBF=90°，

∵BF⊥AE，

∴∠AHB=∠EHB=90°，

∴∠ABH+∠BAE=90°，

∴∠CBF=∠BAE，

∴△ABE≌△BCF(ASA)，

∴AE=BF；

通過(guò)上面的操作，進(jìn)一步探究得到這樣的結(jié)論：兩端點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊上且垂直的線段長(zhǎng)相等．

18.(1)證明：∵Δ=(?6m)2?4(9m2?1)

=4>0，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：x=6m±42×1=3m±1，

∵x1<x2，

∴x1=3m?1，19.(1)14；

(2)畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果，其中小紅和小麗在相鄰窗口取餐的結(jié)果有6種，即①②、②①、②③、③②、③④、④③，

∴小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率為620.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB//CD，

∴∠ABE=∠CDF，

∵AE⊥BD，CG⊥BD，

∴AE//CG，∠AEB=∠AEF=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，

∴AE=CF，

∵FG=CF，

∴四邊形AEFG是平行四邊形，

又∵∠AEF=90°，

∴平行四邊形AEFG是矩形；

(2)解：∵AG=2AE=6，

∴AE=3，

由(1)可知，四邊形AEFG是矩形，

∴EF=AG=6，

∵∠ABD=30°，

∴AB=2AE=6，

∴BE=AB2?AE2=62?32=321.解：【類比遷移】x+32，(x+x+32)2=4×1+(32)2，x=12；

【拓展應(yīng)用】∵x2+ax=b，

∴x2+ax=b，

∴x(x+a)=b，

∴四個(gè)小矩形的面積各為b，大正方形的面積是(x+x+a)2，其中它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×b+a2，

∵圖②是由4個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，

∴b=3，a2=4，

解得：b=3，a=±2，

當(dāng)a=2時(shí)，(x+x+2)2=4×3+4，2x+2=4，x=1，方程的一個(gè)正根為1；

22.解：(1)道路的寬為x米，

由題意得：(50?2x)(30?2x)=800，

整理得：x2?40x+175=0，

解得：x1=35(不合題意，舍去)，x2=5，

答：道路的寬是5米；

(2)設(shè)每個(gè)車位的月租金上漲y元時(shí)，停車場(chǎng)的月租金收入為10120元，

由題意得：(200+y)(50?y5)=10120，

整理得：y2?50y+600=0，

解得：y1=20，y223.(1)∠ABD，∠ACD(或∠DAC，∠DBC)；

(2)①是；

②四邊形ACEF為正方形