專題06立體幾何中的面積與體積問題(原卷版+解析)

專題06立體幾何中的面積與體積問題考點(diǎn)一幾何體的面積問題【方法總結(jié)】求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得所給幾何體的表面積．【例題選講】[例1](1)(2018·全國Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π答案B解析設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π．故選B．(2)(2018·全國Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45，若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．答案40eq\r(2)π解析如圖，∵SA與底面成45角，∴△SAO為等腰直角三角形．設(shè)OA＝r，則SO＝r，SA＝SB＝eq\r(2)r．在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，∴sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8)，∴S△SAB＝eq\f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)r)2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，解得r＝2eq\r(10)，∴SA＝eq\r(2)r＝4eq\r(5)，即母線長l＝4eq\r(5)，∴S圓錐側(cè)＝πrl＝π×2eq\r(10)×4eq\r(5)＝40eq\r(2)π．(3)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中提到了一種名為“芻甍”的五面體，如圖所示，四邊形ABCD為矩形，棱EF∥AB.若此幾何體中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的表面積為()A．8eq\r(3)B．8＋8eq\r(3)C．6eq\r(2)＋2eq\r(3)D．8＋6eq\r(2)＋2eq\r(3)答案B解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)P，連接PF，則PF⊥BC，過F作FQ⊥AB，垂足為Q．因?yàn)椤鰽DE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，且EF∥AB，所以四邊形ABFE為等腰梯形，F(xiàn)P＝eq\r(3)，則BQ＝eq\f(1,2)(AB－EF)＝1，F(xiàn)Q＝eq\r(BF2－BQ2)＝eq\r(3)，所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)，又S△ADE＝S△BCF＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，S矩形ABCD＝4×2＝8，所以該幾何體的表面積S＝3eq\r(3)×2＋eq\r(3)×2＋8＝8＋8eq\r(3)．故選B．(4)如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若將該直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為______．答案(eq\r(2)＋3)π解析根據(jù)題意可知，此旋轉(zhuǎn)體的上半部分為圓錐(底面半徑為1，高為1)，下半部分為圓柱(底面半徑為1，高為1)，如圖所示．則所得幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面積之和，即表面積為eq\f(1,2)·2π·1·eq\r(12＋12)＋2π·12＋π·12＝(eq\r(2)＋3)π．(5)若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為l的半圓，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比值是()A．eq\f(3,2)B．2C．eq\f(4,3)D．eq\f(5,3)答案A解析設(shè)該圓錐的底面半徑為r，由題意可得其母線長為l，且2πr＝πl(wèi)，所以l＝2r，所以這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比值是(πrl＋πr2)∶πrl＝3πr2∶2πr2＝3∶2，故選A．(6)把一個半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高為()A．10B．10eq\r(3)C．10eq\r(2)D．5eq\r(3)答案B解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h．因?yàn)榘雸A的弧長等于圓錐的底面周長，半圓的半徑等于圓錐的母線，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3)．(7)在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2．答案2600π解析將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．(8)(2020·全國Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A．eq\f(\r(5)－1,4)B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,4)D．eq\f(\r(5)＋1,2)答案C解析如圖，設(shè)CD＝a，PE＝b，則PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4))，由題意，得PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化簡，得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4)(負(fù)值舍去)．故選C．(9)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面邊長與側(cè)棱長都等于3．螞蟻從A點(diǎn)沿側(cè)面經(jīng)過棱BB1上的點(diǎn)N和CC1上的點(diǎn)M爬到點(diǎn)A1，如圖所示，則螞蟻爬過的路程最短為________．答案3eq\r(10)解析將三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面展開如圖所示，則有A′A′1＝3，AA′1＝eq\r((AA′)2＋(A′A′1)2)＝3eq\r(10)．所以螞蟻爬過的路程最短為AA′1．(10)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°．若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．答案40eq\r(2)π解析如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′．△SAB的面積為eq\f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·SA2·eq\r(1－cos2∠ASB)＝eq\f(\r(15),16)·SA2＝5eq\r(15)，所以SA2＝80，SA＝4eq\r(5)．因?yàn)镾A與底面所成的角為45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(10)．所以底面周長l＝2π·AS′＝4eq\r(10)π，所以圓錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×4eq\r(5)×4eq\r(10)π＝40eq\r(2)π．考點(diǎn)二幾何體的體積問題【方法總結(jié)】求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算．(2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等．(3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計(jì)算體積的幾何體．【例題選講】[例1](1)已知圓錐的底面半徑為2，高為4．一個圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面的圓周在圓錐的側(cè)面上，當(dāng)圓柱側(cè)面積為4π時，該圓柱的體積為()A．πB．2πC．3πD．4π答案B解析圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)圓柱底面半徑為r，其中0<r<2．由題意可知△AO1D∽△AO2C，則有eq\f(AO1,O1D)＝eq\f(AO2,O2C)＝2，所以AO1＝2r，則圓柱的高h(yuǎn)＝4－2r，圓柱的側(cè)面積S＝2πr(4－2r)＝4π(－r2＋2r)＝4π，整理得r2－2r＋1＝0，解得r＝1．當(dāng)r＝1時，h＝2，所以該圓柱的體積V＝πr2h＝2π．故選B．(2)(2020·江蘇)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0．5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3．答案12eq\r(3)－eq\f(π,2)解析正六棱柱的體積為6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)cm3，挖去的圓柱的體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(π,2)cm3，故所求幾何體的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3．(3)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動點(diǎn)．當(dāng)AD＋DC1最小時，三棱錐D－ABC1的體積為________．答案eq\f(1,3)解析將平面AA1B1B沿著B1B旋轉(zhuǎn)到與平面CC1B1B在同一平面上(點(diǎn)B在線段AC上)，連接AC1與B1B相交于點(diǎn)D，此時AD＋DC1最小，BD＝eq\f(1,3)CC1＝1．因?yàn)樵谥比庵校珺C⊥AB，BC⊥BB1，且BB1∩AB＝B，所以BC⊥平面AA1B1B，又CC1∥平面AA1B1B，所以V三棱錐DABC1＝V三棱錐C1ABD＝V三棱錐CABD＝eq\f(1,3)S△ABD·BC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)．(4)如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB＝2PN，則三棱錐N—PAC與三棱錐D—PAC的體積比為()A．1∶2B．1∶8C．1∶6D．1∶3答案D解析設(shè)點(diǎn)P，N在平面ABCD內(nèi)的射影分別為點(diǎn)P′，N′，則PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′．連接BP′，則在△BPP′中，由BN＝2PN，得eq\f(NN′,PP′)＝eq\f(2,3)．V三棱錐N—PAC＝V三棱錐P—ABC－V三棱錐N—ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PP′－eq\f(1,3)S△ABC·NN′＝eq\f(1,3)S△ABC·(PP′－NN′)＝eq\f(1,3)S△ABC·eq\f(1,3)PP′＝eq\f(1,9)S△ABC·PP′，V三棱錐D—PAC＝V三棱錐P—ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·PP′＝eq\f(1,3)S△ABC·PP′．∴V三棱錐N—PAC∶V三棱錐D—PAC＝eq\f(1,9)∶eq\f(1,3)＝1∶3．(5)已知三棱錐O—ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時，三棱錐O—ABC的體積為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,3)答案B解析設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)镾△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以當(dāng)∠AOC＝∠BOC＝90°時，S△AOC＋S△BOC取得最大值，此時OA⊥OC．OB⊥OC，OB∩OA＝O，OA，OB?平面AOB，所以O(shè)C⊥平面AOB，所以V三棱錐O—ABC＝V三棱錐C—OAB＝eq\f(1,3)OC·eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f(1,6)R3sin∠AOB＝eq\f(2\r(3),3)，故選B．(6)(2018·全國Ⅰ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30，則該長方體的體積為()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)答案C解析如圖，連接AC1，BC1，AC．∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30．又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－(22＋22))＝2eq\r(2)，∴V長方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．(7)(2018·江蘇)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________．答案eq\f(4,3)解析由題意知所給的幾何體是棱長均為eq\r(2)的八面體，它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個八面體的體積為2V正四棱錐＝2×eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(4,3)．(8)(2018·天津)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1－BB1D1D的體積為________．答案解析法一：直接法連接A1C1交B1D1于點(diǎn)E，則A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，則A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1－BB1D1D的高，且A1E＝eq\f(\r(2),2)，矩形BB1D1D的長和寬分別為eq\r(2)，1，故VA1－BB1D1D＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)．法二：割補(bǔ)法連接BD1，則四棱錐A1－BB1D1D分成兩個三棱錐B－A1DD1與BA1B1D1，所以VA1BB1D1D＝VBA1DD1＋VBA1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)．(9)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2．將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3)D．2π答案C解析如圖，過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)．(10)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(3,2)答案A解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，取AD的中點(diǎn)O，連接GO，易得GO＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴多面體的體積V＝V三棱錐E－ADG＋V三棱錐F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱錐E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3)．故選A．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它有如下問題：“今有圓堡瑽(cōnɡ)，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？”意思是“今有圓柱體形的土筑小城堡，底面周長為4丈8尺，高1丈1尺．問它的體積是多少？”(注：1丈＝10尺，取π＝3)()A．704立方尺B．2112立方尺C．2115立方尺D．2118立方尺2．體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積是()A．54B．54πC．58D．58π3．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的表面積為24，若圓錐的底面圓周經(jīng)過A，A1，C1，C四個頂點(diǎn)，圓錐的頂點(diǎn)在棱BB1上，則該圓錐的體積為()A．3eq\r(2)πB．eq\f(\r(2)π,3)C．eq\r(2)πD．eq\f(\r(2)π,2)4．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CD的中點(diǎn)，則三棱錐A－BC1M的體積VA－BC1M＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,12)5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．3B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(\r(3),2)6．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐P－ABA1的體積為_______．7．在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P在線段BD1上，且eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，M為線段B1C1上的動點(diǎn)，則三棱錐M－PBC的體積為()A．1B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,2)D．與M點(diǎn)的位置有關(guān)8．如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為()A．eq\f(\r(3),12)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(6),12)D．eq\f(\r(6),4)9．如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D－BB1C1的體積為________．10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，動點(diǎn)E在BB1上，動點(diǎn)F在A1C1上，O為底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y(tǒng)，則三棱錐O－AEF的體積()A．與x，y都有關(guān)B．與x，y都無關(guān)C．與x有關(guān)，與y無關(guān)D．與y有關(guān)，與x無關(guān)11．如圖，∠ACB＝90，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，則三棱錐D－AEF體積的最大值為________．12．在三棱錐P－ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，則三棱錐P－ABC體積的最大值為()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\f(16\r(3),9)C．eq\f(16\r(3),27)D．eq\f(32\r(3),27)13．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°．若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體P—BCD的體積的最大值是________．14．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)．若AA1＝4，AB＝2，則四棱錐B－ACC1D的體積為________．15．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________．16．如圖是棱長為2的正方體的表面展開圖，則多面體ABCDE的體積為()A．2B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(8,3)17．已知E，F(xiàn)分別是棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則四棱錐C1—B1EDF的體積為________．18．如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分別是邊BC和AC上異于端點(diǎn)的點(diǎn)，DE⊥BC，將△CDE沿DE折起，使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置，得到四棱錐P－ABDE，則四棱錐P－ABDE的體積的最大值為________．19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)．若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PC上，且PM＝2MC，則四棱錐P－ABCD與三棱錐P－QBM的體積之比是________．20．如圖，用平行于母線的豎直平面截一個圓柱，得到底面為弓形的圓柱體的一部分，其中M，N為弧，的中點(diǎn)，∠EMF＝120°，且eq\f(\r(3),3)EF＋EG＝6，當(dāng)所得幾何體的體積最大值時，該幾何體的高為________．21．如圖，在直角梯形ABCD中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位線EF折起，使得∠AEB為直角，連接AB，CD，則所得的幾何體的表面積為________，體積為________．22．已知Rt△ABC，其三邊長分別為a，b，c(a>b>c)．分別以三角形的邊a，b，c所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個幾何體，其表面積和體積分別為S1，S2，S3和V1，V2，V3．則它們的關(guān)系為()A．S1>S2>S3，V1>V2>V3B．S1<S2<S3，V1<V2<V3C．S1>S2>S3，V1＝V2＝V3D．S1<S2<S3，V1＝V2＝V3專題06立體幾何中的面積與體積問題考點(diǎn)一幾何體的面積問題【方法總結(jié)】求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得所給幾何體的表面積．【例題選講】[例1](1)(2018·全國Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π答案B解析設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π．故選B．(2)(2018·全國Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45，若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．答案40eq\r(2)π解析如圖，∵SA與底面成45角，∴△SAO為等腰直角三角形．設(shè)OA＝r，則SO＝r，SA＝SB＝eq\r(2)r．在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，∴sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8)，∴S△SAB＝eq\f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)r)2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，解得r＝2eq\r(10)，∴SA＝eq\r(2)r＝4eq\r(5)，即母線長l＝4eq\r(5)，∴S圓錐側(cè)＝πrl＝π×2eq\r(10)×4eq\r(5)＝40eq\r(2)π．(3)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中提到了一種名為“芻甍”的五面體，如圖所示，四邊形ABCD為矩形，棱EF∥AB.若此幾何體中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的表面積為()A．8eq\r(3)B．8＋8eq\r(3)C．6eq\r(2)＋2eq\r(3)D．8＋6eq\r(2)＋2eq\r(3)答案B解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)P，連接PF，則PF⊥BC，過F作FQ⊥AB，垂足為Q．因?yàn)椤鰽DE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，且EF∥AB，所以四邊形ABFE為等腰梯形，F(xiàn)P＝eq\r(3)，則BQ＝eq\f(1,2)(AB－EF)＝1，F(xiàn)Q＝eq\r(BF2－BQ2)＝eq\r(3)，所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)，又S△ADE＝S△BCF＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，S矩形ABCD＝4×2＝8，所以該幾何體的表面積S＝3eq\r(3)×2＋eq\r(3)×2＋8＝8＋8eq\r(3)．故選B．(4)如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若將該直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為______．答案(eq\r(2)＋3)π解析根據(jù)題意可知，此旋轉(zhuǎn)體的上半部分為圓錐(底面半徑為1，高為1)，下半部分為圓柱(底面半徑為1，高為1)，如圖所示．則所得幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面積之和，即表面積為eq\f(1,2)·2π·1·eq\r(12＋12)＋2π·12＋π·12＝(eq\r(2)＋3)π．(5)若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為l的半圓，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比值是()A．eq\f(3,2)B．2C．eq\f(4,3)D．eq\f(5,3)答案A解析設(shè)該圓錐的底面半徑為r，由題意可得其母線長為l，且2πr＝πl(wèi)，所以l＝2r，所以這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比值是(πrl＋πr2)∶πrl＝3πr2∶2πr2＝3∶2，故選A．(6)把一個半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高為()A．10B．10eq\r(3)C．10eq\r(2)D．5eq\r(3)答案B解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h．因?yàn)榘雸A的弧長等于圓錐的底面周長，半圓的半徑等于圓錐的母線，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3)．(7)在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2．答案2600π解析將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．(8)(2020·全國Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A．eq\f(\r(5)－1,4)B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,4)D．eq\f(\r(5)＋1,2)答案C解析如圖，設(shè)CD＝a，PE＝b，則PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4))，由題意，得PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化簡，得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4)(負(fù)值舍去)．故選C．(9)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面邊長與側(cè)棱長都等于3．螞蟻從A點(diǎn)沿側(cè)面經(jīng)過棱BB1上的點(diǎn)N和CC1上的點(diǎn)M爬到點(diǎn)A1，如圖所示，則螞蟻爬過的路程最短為________．答案3eq\r(10)解析將三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面展開如圖所示，則有A′A′1＝3，AA′1＝eq\r((AA′)2＋(A′A′1)2)＝3eq\r(10)．所以螞蟻爬過的路程最短為AA′1．(10)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°．若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．答案40eq\r(2)π解析如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′．△SAB的面積為eq\f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·SA2·eq\r(1－cos2∠ASB)＝eq\f(\r(15),16)·SA2＝5eq\r(15)，所以SA2＝80，SA＝4eq\r(5)．因?yàn)镾A與底面所成的角為45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(10)．所以底面周長l＝2π·AS′＝4eq\r(10)π，所以圓錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×4eq\r(5)×4eq\r(10)π＝40eq\r(2)π．考點(diǎn)二幾何體的體積問題【方法總結(jié)】求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算．(2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等．(3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計(jì)算體積的幾何體．【例題選講】[例1](1)已知圓錐的底面半徑為2，高為4．一個圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面的圓周在圓錐的側(cè)面上，當(dāng)圓柱側(cè)面積為4π時，該圓柱的體積為()A．πB．2πC．3πD．4π答案B解析圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)圓柱底面半徑為r，其中0<r<2．由題意可知△AO1D∽△AO2C，則有eq\f(AO1,O1D)＝eq\f(AO2,O2C)＝2，所以AO1＝2r，則圓柱的高h(yuǎn)＝4－2r，圓柱的側(cè)面積S＝2πr(4－2r)＝4π(－r2＋2r)＝4π，整理得r2－2r＋1＝0，解得r＝1．當(dāng)r＝1時，h＝2，所以該圓柱的體積V＝πr2h＝2π．故選B．(2)(2020·江蘇)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0．5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3．答案12eq\r(3)－eq\f(π,2)解析正六棱柱的體積為6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)cm3，挖去的圓柱的體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(π,2)cm3，故所求幾何體的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3．(3)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動點(diǎn)．當(dāng)AD＋DC1最小時，三棱錐D－ABC1的體積為________．答案eq\f(1,3)解析將平面AA1B1B沿著B1B旋轉(zhuǎn)到與平面CC1B1B在同一平面上(點(diǎn)B在線段AC上)，連接AC1與B1B相交于點(diǎn)D，此時AD＋DC1最小，BD＝eq\f(1,3)CC1＝1．因?yàn)樵谥比庵?，BC⊥AB，BC⊥BB1，且BB1∩AB＝B，所以BC⊥平面AA1B1B，又CC1∥平面AA1B1B，所以V三棱錐DABC1＝V三棱錐C1ABD＝V三棱錐CABD＝eq\f(1,3)S△ABD·BC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)．(4)如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB＝2PN，則三棱錐N—PAC與三棱錐D—PAC的體積比為()A．1∶2B．1∶8C．1∶6D．1∶3答案D解析設(shè)點(diǎn)P，N在平面ABCD內(nèi)的射影分別為點(diǎn)P′，N′，則PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′．連接BP′，則在△BPP′中，由BN＝2PN，得eq\f(NN′,PP′)＝eq\f(2,3)．V三棱錐N—PAC＝V三棱錐P—ABC－V三棱錐N—ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PP′－eq\f(1,3)S△ABC·NN′＝eq\f(1,3)S△ABC·(PP′－NN′)＝eq\f(1,3)S△ABC·eq\f(1,3)PP′＝eq\f(1,9)S△ABC·PP′，V三棱錐D—PAC＝V三棱錐P—ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·PP′＝eq\f(1,3)S△ABC·PP′．∴V三棱錐N—PAC∶V三棱錐D—PAC＝eq\f(1,9)∶eq\f(1,3)＝1∶3．(5)已知三棱錐O—ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時，三棱錐O—ABC的體積為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,3)答案B解析設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)镾△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以當(dāng)∠AOC＝∠BOC＝90°時，S△AOC＋S△BOC取得最大值，此時OA⊥OC．OB⊥OC，OB∩OA＝O，OA，OB?平面AOB，所以O(shè)C⊥平面AOB，所以V三棱錐O—ABC＝V三棱錐C—OAB＝eq\f(1,3)OC·eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f(1,6)R3sin∠AOB＝eq\f(2\r(3),3)，故選B．(6)(2018·全國Ⅰ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30，則該長方體的體積為()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)答案C解析如圖，連接AC1，BC1，AC．∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30．又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－(22＋22))＝2eq\r(2)，∴V長方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．(7)(2018·江蘇)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________．答案eq\f(4,3)解析由題意知所給的幾何體是棱長均為eq\r(2)的八面體，它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個八面體的體積為2V正四棱錐＝2×eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(4,3)．(8)(2018·天津)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1－BB1D1D的體積為________．答案解析法一：直接法連接A1C1交B1D1于點(diǎn)E，則A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，則A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1－BB1D1D的高，且A1E＝eq\f(\r(2),2)，矩形BB1D1D的長和寬分別為eq\r(2)，1，故VA1－BB1D1D＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)．法二：割補(bǔ)法連接BD1，則四棱錐A1－BB1D1D分成兩個三棱錐B－A1DD1與BA1B1D1，所以VA1BB1D1D＝VBA1DD1＋VBA1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)．(9)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2．將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3)D．2π答案C解析如圖，過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)．(10)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(3,2)答案A解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，取AD的中點(diǎn)O，連接GO，易得GO＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴多面體的體積V＝V三棱錐E－ADG＋V三棱錐F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱錐E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3)．故選A．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它有如下問題：“今有圓堡瑽(cōnɡ)，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？”意思是“今有圓柱體形的土筑小城堡，底面周長為4丈8尺，高1丈1尺．問它的體積是多少？”(注：1丈＝10尺，取π＝3)()A．704立方尺B．2112立方尺C．2115立方尺D．2118立方尺1．答案B解析設(shè)圓柱體底面半徑為r，高為h，周長為C．因?yàn)镃＝2πr，所以r＝eq\f(C,2π)，因此V＝πr2h＝πeq\f(C2,4π2)·h＝eq\f(C2h,4π)＝eq\f(482×11,12)＝2112(立方尺)．2．體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積是()A．54B．54πC．58D．58π2．答案A解析設(shè)上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設(shè)圓臺高為h1，則52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12．令原圓錐的高為h，由相似知識得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h(huán)1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圓錐＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54．3．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的表面積為24，若圓錐的底面圓周經(jīng)過A，A1，C1，C四個頂點(diǎn)，圓錐的頂點(diǎn)在棱BB1上，則該圓錐的體積為()A．3eq\r(2)πB．eq\f(\r(2)π,3)C．eq\r(2)πD．eq\f(\r(2)π,2)3．答案C解析∵正方體ABCD－A1B1C1D1的表面積為24，∴正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，∵圓錐的底面圓周經(jīng)過A，A1，C1，C四個頂點(diǎn)，∴圓錐的底面圓半徑R＝eq\f(\r(22＋22＋22),2)＝eq\r(3)，∵圓錐的頂點(diǎn)在棱BB1上，∴圓錐的高h(yuǎn)＝eq\f(\r(22＋22),2)＝eq\r(2)，∴該圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×eq\r(2)＝eq\r(2)π．故選C．4．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CD的中點(diǎn)，則三棱錐A－BC1M的體積VA－BC1M＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,12)4．答案C解析VA－BC1M＝VC1－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6)．故選C．5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．3B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(\r(3),2)5．答案C解析∵D是等邊三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC．又ABC－A1B1C1為正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C．∵四邊形BB1C1C為矩形，∴＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)．又AD＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1．故選C．6．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐P－ABA1的體積為_______．6．答案eq\f(9\r(3),4)解析由題意，得V三棱錐PABA1＝V三棱錐CABA1＝V三棱錐A1ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×32×3＝eq\f(9\r(3),4)．7．在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P在線段BD1上，且eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，M為線段B1C1上的動點(diǎn)，則三棱錐M－PBC的體積為()A．1B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,2)D．與M點(diǎn)的位置有關(guān)7．答案B解析∵eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，∴點(diǎn)P到平面BCC1B1的距離是D1到平面BCC1B1距離的eq\f(1,3)，即為eq\f(D1C1,3)＝1．M為線段B1C1上的點(diǎn)，∴S△MBC＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，∴VMPBC＝VPMBC＝eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1＝eq\f(3,2)．8．如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為()A．eq\f(\r(3),12)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(6),12)D．eq\f(\r(6),4)8．答案A解析三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)．9．如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D－BB1C1的體積為________．9．答案eq\f(2\r(3),3)解析如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接AO．∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，∴AC＝2，OC＝1，則AO＝eq\r(3)．∵AA1∥平面BCC1B1，∴點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離為eq\r(3)．又＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3)．10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，動點(diǎn)E在BB1上，動點(diǎn)F在A1C1上，O為底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y(tǒng)，則三棱錐O－AEF的體積()A．與x，y都有關(guān)B．與x，y都無關(guān)C．與x有關(guān)，與y無關(guān)D．與y有關(guān)，與x無關(guān)10．答案B解析由已知得V三棱錐O－AEF＝V三棱錐E－OAF＝eq\f(1,3)S△AOF·h(h為點(diǎn)E到平面AOF的距離)．連接OC，因?yàn)锽B1∥平面ACC1A1，所以點(diǎn)E到平面AOF的距離為定值．又AO∥A1C1，OA為定值，點(diǎn)F到直線AO的距離也為定值，所以△AOF的面積是定值，所以三棱錐O－AEF的體積與x，y都無關(guān)．11．如圖，∠ACB＝90，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，則三棱錐D－AEF體積的最大值為________．11．答案eq\f(\r(2),6)解析因?yàn)镈A⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF．又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB．又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE為三棱錐D－AEF的高．因?yàn)锳E為等腰直角三角形ABD斜邊上的高，所以AE＝eq\r(2)，設(shè)AF＝a，F(xiàn)E＝b，則△AEF的面積S＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,2)×eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,2)＝eq\f(1,2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時等號成立)，所以(VDAEF)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),6)．12．在三棱錐P－ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，則三棱錐P－ABC體積的最大值為()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\f(16\r(3),9)C．eq\f(16\r(3),27)D．eq\f(32\r(3),27)12．答案D解析如圖，取PB中點(diǎn)M，連接CM，∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC?平面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h＝AC＝2x，∵PC＝BC＝2，PB＝2x(0＜x＜2)，M為PB的中點(diǎn)，∴CM⊥PB，CM＝eq\r(4－x2)，解得S△PBC＝eq\f(1,2)×2x×eq\r(4－x2)＝xeq\r(4－x2)，VA－PBC＝eq\f(1,3)×(xeq\r(4－x2))×2x＝eq\f(2x2\r(4－x2),3)，設(shè)t＝eq\r(4－x2)(0＜t＜2)，則x2＝4－t2，∴VA－PBC＝eq\f(2t（4－t2）,3)＝eq\f(8t－2t3,3)(0＜t＜2)，關(guān)于t求導(dǎo)，得V′(t)＝eq\f(8－6t2,3)，令V′(t)＝0，解得t＝eq\f(2\r(3),3)或t＝－eq\f(2\r(3),3)(舍去)，當(dāng)0<t<eq\f(2\r(3),3)時，V′(t)>0，V(t)單調(diào)遞增，當(dāng)eq\f(2\r(3),3)<t<2時，V′(t)<0，V(t)單調(diào)遞減．所以當(dāng)t＝eq\f(2\r(3),3)時，(VA－PBC)max＝eq\f(32\r(3),27)．故選D．13．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°．若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體P—BCD的體積的最大值是________．13．答案eq\f(1,2)解析設(shè)PD＝DA＝x，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r(4＋4－2×2×2×cos120°)＝2eq\r(3)，∴CD＝2eq\r(3)－x，且∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DC·sin∠ACB＝eq\f(1,2)×2×(2eq\r(3)－x)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)．要使四面體體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P到平面BCD的距離最大，而P到平面BCD的最大距離為x．則V四面體P—BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)x＝eq\f(1,6)[－(x－eq\r(3))2＋3]，由于0＜x＜2eq\r(3)，故當(dāng)x＝eq\r(3)時，V四面體P—BCD取最大值為eq\f(1,6)×3＝eq\f(1,2)．14．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)．若AA1＝4，AB＝2，則四棱錐B－ACC1D的體積為________．14．答案2eq\r(3)解析取AC的中點(diǎn)O，連接BO(圖略)，則BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D．因?yàn)锳B＝2，所以BO＝eq\r(3)．因?yàn)镈為棱AA1的中點(diǎn)，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以四棱錐BACC1D的體積為eq\f(1,3)×6×eq\r(3)＝2eq\r(3)．15．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________．15．答案eq\f(1,12)解析連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因?yàn)镋，H分別為AD1，CD1的中點(diǎn)，所以EH∥AC，EH＝eq\f(1,2)AC，因?yàn)镕，G分別為B1A，B1C的中點(diǎn)，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形，又點(diǎn)M到平面EHGF的距離為eq\f(1,2)，所以四棱錐M－EFGH的體積為eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12)．16．如圖是棱長為2的正方體的表面展開圖，則多面體ABCDE的體積為()A．2B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(8,3)16．答案D解析多面體ABCDE為四棱錐(如圖)，利用割補(bǔ)法可得其體積V＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，故選D．17．已知E，F(xiàn)分別是棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則四棱錐C1—B1EDF的體積為________．17．答案eq\f(1,6)a3解析方法一如圖所示，連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，連接B1D，EF，過點(diǎn)O1作O1H⊥B1D于點(diǎn)H．因?yàn)镋F∥A1C1，且A1C1?平面B1EDF，EF?平面B1EDF，所以A1C1∥平面B1EDF．所以C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離．易知平面B1D1D⊥平面B1EDF，又平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，所以O(shè)1H⊥平面B1EDF，所以O(shè)1H等于四棱錐C1—B1EDF的高．因?yàn)椤鰾1O1H∽△B1DD1，所以O(shè)1H＝eq\f(B1O1·DD1,B1D)＝eq\f(\r(6),6)a．所以＝eq\f(1,3)·O1H＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·EF·B1D·O1H＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(3)a·eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(1,6)a3．方法二連接EF，B1D．設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a．由題意得，＝eq\f(1,3)··(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3．18．如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分別是邊BC和AC上異于端點(diǎn)的點(diǎn)，DE⊥BC，將△CDE沿DE折起，使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置，得到四棱錐P－ABDE，則四棱錐P－ABDE的體積的最大值為________．18．答案解析答案eq\f(\r(3),27)解析設(shè)CD＝DE＝x(0<x<1)，則四邊形ABDE的面積S＝eq\f(1,2)(1＋x)(1－x)＝eq\f(1,2)(1－x2)，當(dāng)平面PDE⊥平面ABDE時，四棱錐P－ABDE的體積最大，此時PD⊥平面ABDE，且PD＝CD＝x，故四棱錐P－ABDE的體積V＝eq\f(1,3)S·PD＝eq\f(1,6)(x－x3)，則V′＝eq\f(1,6)(1－3x2)．當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))時，V′>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))時，V′<0．∴當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時，Vmax＝eq\f(\r(3),27)．19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)．若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PC上，且PM＝2MC，則四棱錐P－ABCD與三棱錐P－QBM的體積之比是________．19．答案3∶1解析過點(diǎn)M作MH∥BC交PB于點(diǎn)H．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．∵PA＝PD＝AD＝AB＝2，∠BAD＝60°，∴PQ＝BQ＝eq\r(3