《空間向量基本定理》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精選習(xí)題2/2《空間向量基本定理》教學(xué)設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖復(fù)習(xí)引入1.共線向量基本定理是什么？2.平面向量基本定理是什么？共線向量基本定理：如果且,則存在唯一的實數(shù),使得平面向量基本定理：如果平面內(nèi)兩個向量與不共線,則對該平面內(nèi)任意一個向量,存在唯一的實數(shù)對,使得.教師提出兩個問題,學(xué)生思考并給出回答,教師補(bǔ)充.教師指出,這兩個定理在空間中仍然成立.通過復(fù)習(xí)引入，使學(xué)生回憶共線向量基本定理及平面向量基本定理,為推廣到空間向量做準(zhǔn)備.形成概念1問題1：上述結(jié)論在空間中仍成立嗎？請舉例說明.問題2：如何判斷空間中的三個向量共面？共面向量定理：如果兩個向量,不共線,則向量,,共面的充要條件是,存在唯一的實數(shù)對,使.對于問題1,學(xué)生思考討論,給出回答,并舉例說明.可以看出,共線向量基本定理和平面向量基本定理在空間中仍然成立.例如,如圖所示的正方體中,在直線上的充要條件是,存在實數(shù),使得如果在底面內(nèi),則定存在實數(shù)s與t,使得,而且,若,,則,對于問題2，教師提示：由平面向量基本定理及空間向量加法的平行四邊形法則,可以得到空間中三個向量是否共面的判別方法.學(xué)生總結(jié)出共面向量定理,教師給予補(bǔ)充,并給出證明.這個定理的必要性是由平面向量基本定理保證的,而充分性只要注意到當(dāng)與不共線時,,,分別是平行四邊形的兩條鄰邊和一條對角線即可.通過問題設(shè)置,培養(yǎng)學(xué)生合作交流、分析問題的能力,發(fā)展其邏輯推理核心素養(yǎng).例題解析1例1.如圖所示,已知斜三棱柱,,,,在上和上分別有一點M和N,且,其中.求證：,,共面證明因為,,所以.由共面向量定理可知,,,共面由共面向量定理判斷空間中四點是否共面的方法：如果三點不共線,則點在平面內(nèi)的充要條件是,存在唯一的實數(shù)對,使.教師出示例題,學(xué)生利用前面所學(xué)的知識獨立思考完成.教師給予點評,并提出問題：如何根據(jù)共面向量定理說明空間中四點共面？學(xué)生思考討論,給出答案,教師總結(jié).進(jìn)一步使學(xué)生熟悉共面向量定理,提高學(xué)生的運算能力發(fā)展其數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).形成概念2問題3：共線向量基本定理表示,給定直線上的一個非零向量,那么直線上任意一個向量都可以唯一地寫成數(shù)乘向量的形式；平面向量基本定理表示,在給定的平面內(nèi),當(dāng)向量與不共線時,任意一個向量都可以寫成與的線性運算,且表達(dá)式唯一.空間向量有沒有類似的結(jié)論？如果有,嘗試歸納出來；如果沒有,說明理由.空間向量基本定理：如果空間中的三個向量不共面,那么對空間中的任意一個向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使得問題4：你能利用作圖的方法來理解空間向量基本定理嗎？問題5：你能說明空間向量基本定理中唯一性嗎？結(jié)論：當(dāng)不共面時,空間中不共面的三個向量組成的集合,稱為空間向量的一組基底.教師進(jìn)行引導(dǎo),學(xué)生自主歸納教師讓學(xué)生嘗試進(jìn)行證明,然后教師帶領(lǐng)學(xué)生一起學(xué)習(xí)教材第14頁內(nèi)容,即空間向量基本定理的證明過程.空間向量基本定理可以通過作圖的方式來理解.因為不共面,所以它們兩兩都不平行,過點作,,則平面是兩兩相交的三個平面,如圖所示.如果與的某兩個向量共面,則根據(jù)共面向量定理可知結(jié)論成立.否則,作,過點作直線平行于,交平面于點；在平面內(nèi),過作直線平行于,作直線平行于,且分別與直線,相交于點,；在上取一點,使得.于是存在三個實數(shù)使得,,.作,則是一個平行六面體，因此即.下面來說明定理中的有序?qū)崝?shù)組是唯一的設(shè)且,則如果,則,由此可知共面,這與已知矛盾,因此同理教師給出結(jié)論及基底的概念,學(xué)生理解記憶.讓學(xué)生體會類比、推廣思想,通過嘗試、歸納、總結(jié),培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.通過證明使學(xué)生對空間向量基本定理有更深刻的理解和認(rèn)識.例題解析2例2如圖所示平行六面體中,設(shè),試用基底表示向量解因為是平行六面體,所以類似地,有例3如圖所示,已知直三棱柱中,為的中點,,,,求.解由題意可知,,所以,.又因為，所以=.教師出示例題,學(xué)生自主完成,并上臺進(jìn)行演示.教師給予積極的評價,并講解教師指出：例3說明,如果空間向量中,有三個不共面的向量的長度和相互之間的角度都已知,那么以這三個向量為一組基底,可以研究其他向量之間的數(shù)量積等問題.通過例題,及時進(jìn)行反饋,幫助學(xué)生掌握知識,同時反映出學(xué)生掌握知識的情況.課堂小結(jié)1.共面向量定理2.空間向量基本定理3.數(shù)學(xué)思想方法：類比,推廣,歸納.學(xué)生自己歸納這節(jié)課所學(xué)的知識幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)課后作業(yè)教材第16-17頁練習(xí)A,練習(xí)B教師布置作業(yè),學(xué)生按時完成練習(xí)鞏固知識,增強(qiáng)學(xué)生的求知欲板書設(shè)計1.1.2空間向量基本定理1.共面向量定理：如果兩個向量不共線,則向量共面的充要條件是,存在唯一的實數(shù)對,使例12.空間向量基本定理：如果空間中的三個向量不共面,那么對空間中的任意一個向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使得結(jié)論：當(dāng)不共面時,空間中不共面的三個向量組成的集合,稱為空間向量的一組基底例2例3課堂小結(jié)教學(xué)研討本節(jié)課中把更多的時間、機(jī)會留給學(xué)生,讓學(xué)生充分的交流、探究,積極引導(dǎo)學(xué)生動手操作、動腦思考.教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生是否積極地參與到發(fā)現(xiàn)問