154三角形全等的判定AAS

1.5.4三角形全等的判定AAS知識(shí)點(diǎn)管理知識(shí)點(diǎn)管理歸類探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類探究用AAS判定三角形全等概念兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）【注】：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.題型一：通過添加條件利用AAS，判定三角形全等【例1】（2020·江蘇鹽城·八年級(jí)期中）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AO＝DO，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件,能直接利用AAS證全等，使得△AOB≌△DOC．你補(bǔ)充的條件是_____________________________．【答案】∠B=∠C【分析】線段AC、BD相交于點(diǎn)O，且AO=DO，有一對(duì)對(duì)頂角∠AOB與∠DOC，添加∠B=∠C，能證出△AOB≌△DOC．【詳解】解：∵AO=DO，∠AOB=∠DOC，∠B=∠C，∴△ABO≌△DOC（AAS）．故答案為：∠B=∠C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法AAS.根據(jù)已知結(jié)合圖形，找到已經(jīng)有的條件，然后結(jié)合判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．特別注意題目要求利用AAS判定全等,需要的是兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等.變式訓(xùn)練【變式11】（2020·江蘇蘇州市·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B在AE上，∠CAB=∠DAB，要利用AAS使，可補(bǔ)充的一個(gè)條件是：______．【答案】【詳解】補(bǔ)充：結(jié)合利用角角邊定理可得，從而可得答案．【變式12】（2019·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級(jí)月考）如圖，∠BAC=∠DAC，若要以AAS證明△ABC≌△ADC，要補(bǔ)充的一個(gè)條件是_________【答案】∠B=∠D【詳解】添加AB=AD，再加上條件∠BAC=∠DAC，公共邊AC，可利用AAS定理判定△ABC≌△ADC．【變式13】（2019·江蘇南京市·八年級(jí)期中）如圖，已知AB＝DC，∠A＝∠D，則補(bǔ)充條件_____可使△ACE≌△DBF（填寫你認(rèn)為合理的一個(gè)條件）．【答案】∠E＝∠F（答案不唯一）【詳解】根據(jù)等式的性質(zhì)可由AB=DC得到AC=BD，若利用AAS定理判定△ACE≌△DBF，則還需要添加一組角對(duì)應(yīng)相等即可．題型二：直接利用AAS證明三角形全等【例題2】（2021·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，交于點(diǎn)E．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得，進(jìn)而根據(jù)已知條件，利用AAS直接證明即可．【詳解】證明：∵與是對(duì)頂角，∴，在和中，∴．【點(diǎn)睛】AAS證明全等需要三個(gè)條件，在此類簡單的證明題中往往題目中給出兩個(gè)明顯的條件，第三個(gè)條件可能隱藏在公共邊、公共角、對(duì)頂角等；也可能第三個(gè)需要通過角度的和差或者線段的和差得到；此外還可能需要尋找題目中已知條件或者圖形中隱含條件通過等量代換達(dá)到證明全等的目的.變式訓(xùn)練【變式21】（2021·重慶彭水·八年級(jí)期末）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，且，于，；求證：≌．【答案】見解析【分析】根據(jù)90°，得90°，根據(jù)90°，得到，再根據(jù)，即可求證.【詳解】解：90°，90°，，90°，，在和中，，≌（AAS）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，垂直的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.【變式22】（2021·廣東大埔·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．求證：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得ED=EC，繼而根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)即可求證結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定求證△OED≌△OEC（AAS），繼而根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到結(jié)論．【詳解】（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE為等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC；

（2）∵點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，又∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC（AAS），∴OC=OD；【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2021·遼寧興城·八年級(jí)期末）如圖，，且，，是上兩點(diǎn)，，．求證：．【答案】見詳解【分析】先根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠A＝∠C，再根據(jù)AAS，即可得到結(jié)論．【詳解】證明∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠C＋∠D＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠AFB＝∠CED＝90°∴∠A＝∠C，又∵AB＝CD，∠AFB＝∠CED，∴（AAS）【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練運(yùn)用全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．AAS證明全等的應(yīng)用題型三：全等三角形性質(zhì)與AAS判定的綜合運(yùn)用【例題3】（2020·廣州市協(xié)和中學(xué)）已知，如圖：、、、在一條直線上，，，，求證：．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)線段的和差關(guān)系可得AF=BE，利用AAS可證明△ACF≌△BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論．【詳解】∵，∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE，在△ACF和△BDE中，，∴△ACF≌△BDE，∴．【點(diǎn)睛】方法總結(jié):證明線段相等或角相等可以通過證明三角形全等而得到，所以可以根據(jù)題目給出的已知條件，考慮證明三角形全等，還需要什么條件這些條件怎樣可以得到.由對(duì)應(yīng)邊角相等的條件邊得到三角形全等，這是全等三角形的判定;由三角形全等得到對(duì)應(yīng)的邊角相等，這是全等三角形的性質(zhì).變式訓(xùn)練【變式31】（2020·廣州市育才中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，中，，，是過點(diǎn)的直線，于，于，，，求的長．【答案】5【分析】先證明，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得，結(jié)合線段的和差解題．【詳解】證明：，在與中，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式32】（2021·陜西碑林·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)）如圖，點(diǎn)A，E，B，D在同一條直線上，已知∠C＝∠F，∠ABC＝∠DEF，AE＝DB，試判斷AC與DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】AC＝DF，理由見解析．【分析】由“”可證，可得．【詳解】證明：，理由如下：，，在與中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．【變式33】（2021·陜西師大附中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求證：DB＝CD．【答案】見解析【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS證明△ABD≌△EDC，即可得結(jié)論．【詳解】解：證明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），∴DB＝CD．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到證明三角形全等需要的條件．題型四：AAS的實(shí)際應(yīng)用【例題4】（2020·駐馬店市第一高級(jí)中學(xué)分校七年級(jí)期中）如圖，小明和小華兩家位于A，B兩處，隔河相望．要測(cè)得兩家之間的距離，小明設(shè)計(jì)如下方案：從點(diǎn)B出發(fā)沿河岸畫一條射線BF，在BF上截取，過點(diǎn)D作，取點(diǎn)E使E，C，A在同一條直線上，則DE的長就是A，B之間的距離，說明他設(shè)計(jì)的道理．【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答；【詳解】解：，，在和中，，，，即的長就是、兩點(diǎn)之間的距離．【點(diǎn)睛】此題型主要考查了全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活中，要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法．變式訓(xùn)練【變式41】（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年級(jí)期末）如圖，小強(qiáng)學(xué)習(xí)全等三角形后，用10塊高度都是5cm的相同長方體積木，搭了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．【答案】兩堵木墻之間的距離為50cm．【分析】根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：由圖可得，∠ACB＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°又∠ACD+∠CAD＝90°∠CAD＝∠BCE在和中，AD=CE=3×5=15cmBE=CD=7×5=35cmDE=CD+CE=35+15=50cm答：兩堵木墻之間的距離是50cm．題型五：三垂直模型與AAS的綜合運(yùn)用【例題5】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE．【詳解】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），（2）∵△ABD≌△ACE，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，∵BD＝2cm，CE＝4cm，∴DE＝6cm；故答案為：6．變式訓(xùn)練【變式51】（2019·福建期中）如圖1，將一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C置于直線l上，圖2是由圖1抽象出的幾何圖形，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為D、E．（1）△ACD與△CBE全等嗎？說明你的理由．（2）猜想線段AD、BE、DE之間的關(guān)系．（直接寫出答案）【答案】（1）詳見解析；（2）AD=BEDE；【分析】（1）觀察圖形，結(jié)合已知條件，可知全等三角形為：△ACD與△CBE．根據(jù)AAS即可證明；（2）由（1）知△ACD≌△CBE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，得出CD=BE，AD=CE，從而求出線段AD、BE、DE之間的關(guān)系．【詳解】證明：（1）∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE=90°∠ECB．在△ACD與△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）AD=BEDE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE，AD=CE，又∵CE=CDDE，∴AD=BEDE．【變式52】（2019·河南月考）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E．求證：△AEC≌△CDB．（2）如圖2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S＝．【答案】（1）見解析；（2）S=50．【分析】（1）因?yàn)锽D⊥l，AE⊥l，可得∠AEC=∠CDB，結(jié)合題意得到∠CAE=∠BCD，再根據(jù)AAS證明即可．（2）利用（1）中結(jié)論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解決問題．【詳解】（1）如圖1中，

∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠CDB=90°，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠CAE=∠BCD，在△AEC和△CDB中,

∴△AEC≌△CDB（AAS）．

（2）如圖2中，因?yàn)锳E⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，

由（1）可知：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，

∴EF=AG=6，AF=BG=CH=3，CG=DH=4，

∴S=（6+4）×161812=50．

故答案為50．鏈接中考鏈接中考【真題1】（2021·廣西百色·）如圖，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)O，∠B＝∠C，BD＝CE．求證：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”證明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性質(zhì)，即可得到OD=OE；(2)根據(jù)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根據(jù)BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”證明兩個(gè)三角形全等.【詳解】解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE∴△DOB≌△EOC（AAS）∴OD=OE；(2)∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC又∵BD=CE∴AB=AC，AD=AE∵∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（SAS）【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.【真題2】（2019·湖南益陽市·中考真題）已知，如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求證：△ABC≌△EAD．【答案】證明見解析.【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，證得∠CAB＝∠E，再結(jié)合已知條件AB＝AE，可利用AAS證得△ABC≌△EAD．【詳解】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，又∵∠D＝110°，∴∠ACB＝∠D，∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，∴在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD(AAS)．【點(diǎn)睛】本題是全等三角形證明的基礎(chǔ)題型，在有些條件還需要證明時(shí)，應(yīng)先把它們證出來，再把條件用大括號(hào)列出來，根據(jù)等三角形證明的方法判定即可．【真題3】（2011·江蘇連云港·中考真題）兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)O為邊AC和DF的交點(diǎn)，不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？【答案】不重疊的兩部分全等．見解析【分析】根據(jù)題意AB=BD，AC=DF，∠A=∠D，AB=BD，AC=DF可得AF=DC，利用AAS即可判定△AOF≌△DOC【詳解】解：不重疊的兩部分全等．理由如下：∵三角形紙板ABC和DEF完全相同，∴AB＝DB，BC＝BF，∠A＝∠D∴AF＝CD在△AOF和△DOC中∴△AOF≌△DOC（AAS）∴不重疊的兩部分全等【真題4】（2017·江蘇常州·中考真題）如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）112.5°．【分析】根據(jù)同角的余角相等可得到結(jié)合條件，再加上可證得結(jié)論；

根據(jù)得到根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到由平角的定義得到【詳解】證明：在△ABC和△DEC中，，（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（2020·黑龍江齊齊哈爾市·八年級(jí)期中）探究：（1）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠B＝28°，則∠ACD的度數(shù)是．拓展：（2）如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、B分別存CM、CN上，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于點(diǎn)D、E，若AC＝CB，則AD、DE、BE三者間的數(shù)量關(guān)系為．應(yīng)用：（3）如圖③，點(diǎn)A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)D、E在射線CP上，連結(jié)AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．當(dāng)AC＝BC時(shí)，△≌△；此時(shí)如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，則△ACE的面積