234圓與圓的位置關(guān)系（講義7大題型）（原卷版）

圓與圓的位置關(guān)系1、掌握圓與圓的位置關(guān)系及判定方法；2、了解兩圓相交或相切時一些簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用；3、能夠利用圓與圓的位置關(guān)系解決問題.知識點1圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離；外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切．2、圓與圓的位置關(guān)系的判斷（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為，，兩圓連心線的長為d．位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示交點個數(shù)01210d與，的關(guān)系（2）代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷．消元，一元二次方程知識點2兩圓的公切線1、公切線的定義：與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，包括外公切線和內(nèi)公切線．2、兩圓公切線的條數(shù)位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示公切線條數(shù)4條3條2條1條無公切線知識點3圓與圓的公共弦1、公共弦的定義：圓與圓相交得到兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦．2、公共弦所在直線的方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.【注意】（1）若與相切，則表示其中一條公切線方程；（2）若與相離，則表示連心線的中垂線方程.【常用解題技巧】1、判斷圓與圓位置關(guān)系的一般步驟（1）將兩圓的方程化為標準方程(若圓的方程已是標準形式，此步驟不需要).（2）分別求出兩圓的圓心坐標和半徑長，；（3）求兩圓的圓心距；（4）比較與，的大小關(guān)系；（5）根據(jù)大小關(guān)系確定位置關(guān)系．2、兩圓公切線方程的確定（1）當公切線的斜率存在時，可設(shè)公切線方程為，由公切線的意義（兩圓公公的切線）可知，兩圓心到直線的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關(guān)于和的方程，解這個方程組得到，的值，即可寫出公切線的方程；（2）當公切線的斜率不存在時，要注意運用數(shù)形結(jié)合的方法，觀察并寫出公切線的方程．3、公共弦長的求法（1）代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．（2）幾何法：將兩圓作差得到公共弦所在直線方程，利用其中一個圓的圓心和半徑，求得該圓心和公共弦所在直線的距離即弦心距，在弦心距、弦的一半和半徑構(gòu)成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，進而得到公共弦長．4、圓系方程及其應(yīng)用技巧具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程。（1）過直線與圓的交點的圓系方程是：（）（2）以為圓心的同心圓系方程是：；（3）與圓同心的圓系方程是；（4）過同一定點的圓系方程是．題型一圓與圓的位置關(guān)系判斷【例1】（2324高二上·江蘇淮安·月考）圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】D【解析】由圓，可得圓心為，半徑，由圓，可得圓心為，半徑，則兩圓心距離為，，則，故兩圓相離.故選：D.【變式11】（2324高二上·北京·期中）已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】D【解析】圓，其半徑為3，又，因為即圓心距為兩個圓的半徑之和，故兩圓外切，故選：D.【變式12】（2324高二下·廣東惠州·月考）若直線與圓相切，則圓與圓（

）A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．沒有公共點【答案】B【解析】直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑1，即，得.圓的圓心坐標為，半徑為，其圓心在圓上，所以兩圓相交.故選：B【變式13】（2324高二上·安徽亳州·月考）圓：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】D【解析】圓的圓心坐標為，半徑，圓的圓心坐標為，半徑，因為，所以圓與圓內(nèi)切.故選：D題型二根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【例2】（2324高二上·山東棗莊·月考）已知圓：與圓：相內(nèi)切，則（

）A．11 B． C．9 D．【答案】B【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，顯然點在圓外，由圓與圓相內(nèi)切，得，于是，解得，所以.故選：B【變式21】（2324高二上·廣西·期末）（多選）若圓M：與圓N：相交，則k的取值可能為（

）A． B．1 C．3.8 D．4.2【答案】AC【解析】兩圓的圓心分別為，，圓心距，半徑分別為，，因為圓M與圓N相交，所以，解得或.故選：AC.【變式22】（2324高二上·江西·月考）（多選）圓：與圓：沒有公共點，則的值可能是（

）A． B． C．2 D．4【答案】BD【解析】圓：的圓心為1,0，半徑為1，圓：的圓心為，半徑為3，圓與圓沒有公共點，則兩圓外離或內(nèi)含，所以或，即或，所以或或，不滿足要求，滿足要求.故選：BD.【變式23】（2324高二下·上?！ぴ驴迹┮阎獔A，圓，若兩圓相交，則正實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】圓化為標準方程得，則圓心，半徑，圓化為標準方程為，則圓心，半徑，因為兩圓相交，所以，即，解得.故答案為：.題型三求兩圓的交點坐標【例3】圓與圓的交點坐標為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】由,可得，即，代入，解得或，故得或,所以兩圓的交點坐標為和,故選:C【變式31】（2324高二下·湖南懷化·期末）已知圓的圓心為，且經(jīng)過圓：與圓：的交點．則圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立，解得：或，所以圓的半徑為：，所以的面積為.故選：B．【變式32】（2223高二上·江蘇南京·開學考試）直線l過點與圓C：交于兩點且，則直線l的方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】將圓C：的方程化為，則圓心C的坐標為，半徑為2.當直線l的斜率不存在時，即直線l的方程為時，代入圓的方程得，解得，此時，符合題意；當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由，得圓心C到直線l的距離為，故，解得，故此時直線的方程為，即，綜上可得，直線l的方程為或，故選：D.【變式33】（2223高二上·貴州遵義·月考）圓：和圓：交于A，B兩點，則線段AB的垂直平分線的方程是.【答案】【解析】圓方程為，圓方程為，則圓心分別為，，兩圓相交于兩點，則線段AB的垂直平分線即為直線，，則直線的方程為，即，故答案為：題型四兩圓的公切線問題【例4】（2324高二上·陜西西安·月考）圓和圓的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】圓,表示以為圓心，半徑等于的圓．圓,表示以為圓心，半徑等于的圓．兩圓的圓心距等于，兩圓相外切，故兩圓的公切線的條數(shù)為.故選C.【變式41】（2324高三上·廣西百色·月考）圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由兩圓方程得：圓心，，半徑，兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經(jīng)過中點，兩條公切線與平行，經(jīng)過中點的公切線斜率顯然存在，可設(shè)為：，，解得：或，即公切線方程為：或；，與平行的公切線方程為，即，，解得：，即公切線方程為或；綜上所述：兩圓的公切線方程為：或或或.故選：C.【變式42】（2324高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓心均在軸上的兩圓外切，半徑分別為，若兩圓的一條公切線的方程為，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】設(shè)圓：，圓：，其中，兩圓的公切線方程為，則，，兩圓外切，則，化簡得，，即，∴，故選：B【變式43】（2324高二上·廣東佛山·月考）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程：.【答案】（或，填一條即可）【解析】由已知得到兩圓的圓心分別為,半徑分別為.因為，所以5，圓與圓相交，則圓與圓的公切線有兩條，如圖所示：根據(jù)圖象可以直接觀察出一條公切線方程為，直線的方程為，根據(jù)圖形的對稱性知另一條公切線與直線關(guān)于直線對稱.易知直線與直線的交點為，設(shè)另一條公切線的方程為，即，原點到其距離為，所以，則另一條公切線的方程為.故答案為：（或，填一條即可）題型五根據(jù)兩圓公切線條數(shù)求參數(shù)【例5】（2324高二上·江蘇揚州·月考）已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓可化為，圓心，半徑；圓可化為，圓心，半徑；因為與有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，所以，即，解得.故選：D【變式51】（2324高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）在平面直角坐標系中，已知圓，圓的公切線有2條，則m的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】由題意，圓與圓有2條公切線，則兩圓相交，圓的圓心，半徑為，圓，即，圓心，半徑為1，要使兩圓相交，則，解得：或，故選：B．【變式52】（2324高二上·湖北·月考）若圓：與圓：有三條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓：的圓心，半徑.圓：，即，則圓心，半徑.因為兩圓有三條公切線，則兩圓外切，則，則有，解得或.故選：A.【變式53】（2324高二上·河北邢臺·月考）已知圓與圓有四條公切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為兩圓有四條公切線，所以兩圓外離，因為圓的圓心為，半徑為4，圓，可得，圓的圓心為，半徑為，所以，解得.故選：B.題型六相交圓的公共弦方程【例6】（2324高二上·天津南開·期中）已知圓與圓，則兩圓的公共弦所在直線方程為（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】圓與圓相減得，化簡為，兩圓的公共弦所在直線方程為.故選：B【變式61】（2324高二上·貴州貴陽·期末）圓與圓相交于兩點，則線段的垂直平分線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】線段的垂直平分線為圓心連線，由圓的方程可知，，，,所以直線的方程為，化簡為.故選：B【變式62】（2324高二下·山西太原·月考）若過點向圓C：作兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】過點向圓作兩條切線，切點分別為、，則，于是點、在以為直徑的圓上，而，則的中點為，，因此以為直徑的圓方程為，圓與圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為，所以直線AB的方程為.故選：A【變式63】（2324高二上·安徽宣城·月考）已知圓，圓，則兩圓公共弦所在的直線過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知圓：，圓：，將兩圓方程式相減得兩圓公共弦所在直線方程為，變形得，由得，即公共弦所在直線過定點，故D項正確.故選：D.題型七相交圓的公共弦長問題【例7】（2324高二上·四川成都·期中）圓與圓的公共弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】兩圓方程作差可得：，即兩圓公共弦所在直線方程為，因為圓的圓心為，半徑為，所以圓心到公共弦所在直線距離，故弦長為.故選：B【變式71】（2425高二上·江蘇宿遷·一調(diào)）圓與圓的公共弦長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，作差得兩圓的公共弦所在直線的方程為．由，得．所以圓心，半徑，則圓心到公共弦的距離．所以兩圓的公共弦長為．故選：D．【變式72】（2324高二下·浙江·月考）已知點和圓Q：，則以PQ為直徑的圓與圓Q的公共弦長是（

）A． B．