高考大題研究課十二

高考大題研究課十二概率統(tǒng)計與其他知識的交匯問題在掌握概率與統(tǒng)計的基本知識和基本技能的前提下，重點掌握概率統(tǒng)計與數(shù)列、函數(shù)的交匯問題，提高學生分析問題、解決問題的能力．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一概率統(tǒng)計與數(shù)列的綜合例1(12分)[2023·新課標Ⅰ卷]甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，則E(i=1nXi)＝i=1nqi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為思路導引(1)由全概率公式求出．(2)設(shè)P(Ai)＝Pi→Pi＋1＝0.4Pi＋0.2→構(gòu)造數(shù)列→根據(jù)構(gòu)造的數(shù)列求通項→P(3)由(2)Pi→E(Y)．[滿分答卷·評分細則]解析：(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，所以，P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.→正確寫出P(B2)并計算出結(jié)果得3分．(2)設(shè)P(Ai)＝Pi，依題意知P(Bi)＝1－Pi，則P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)即Pi＋1＝0.6Pi＋(1－0.8)×(1－Pi)＝0.4Pi＋0.2，→正確推導出Pi＋1與Pi的遞推關(guān)系式得3分．構(gòu)造等比數(shù)列{Pi＋λ}，設(shè)Pi＋1＋λ＝25(Pi＋λ)，解得λ＝－13，則Pi＋1－13＝25(Pi－13)，又P1＝12，P1－13＝16，所以{Pi－13}是首項為1即Pi－13＝16×(25)i所以Pi＝16×(25)i－1＋13.→正確求出Pi(3)由(2)得當n∈N*時，E(Y)＝P1＋P2＋…＋Pn＝16×1-25n1-25+n3＝所以E(Y)＝518[1－(25)n]＋n3.→由等比數(shù)列求和正確求出E(Y)題后師說此類問題常常以概率統(tǒng)計為命題背景，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定即前n項和，解題時要準確把握題中所涉及的事件，明確其所屬的事件類型．鞏固訓練1[2024·安徽合肥模擬]為慶祝中國共產(chǎn)黨成立102周年，學校某班組織開展了“學黨史，憶初心”黨史知識競賽活動，抽取四位同學，分成甲、乙兩組，每組兩人，進行對戰(zhàn)答題．規(guī)則如下：每次每位同學給出6道題目，其中有一道是送分題(即每位同學至少答對1題)．若每次每組答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，原答題組的人再繼續(xù)答題；若答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方組接著答題．假設(shè)每位同學每次答題之間相互獨立．求：(1)若第一次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；(2)若第一次由甲組答題，記第n次由甲組答題的概率為Pn，求Pn.題型二概率統(tǒng)計與導數(shù)的綜合例2[2024·河北石家莊模擬]肝臟疾病是各種原因引起的肝臟損傷，是一種常見的危害性極大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝發(fā)展而來，身體感染乙肝病毒后，病毒會在體內(nèi)持續(xù)復制，肝細胞修復過程中形成纖維化，最后發(fā)展成肝?。蚋腥疽腋尾《竞笊眢w初期沒有任何癥狀，因此忽視治療，等到病情十分嚴重時，患者才會出現(xiàn)痛感，但已經(jīng)錯過了最佳治療時機，對乙肝病毒應以積極預防為主，通過接種乙肝疫苗可以預防感染乙肝病毒、體檢是篩查乙肝病毒攜帶者最好的方法，國家在《中小學生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中小學校每年組織一次在校學生健康體檢，現(xiàn)某學校有4000名學生，假設(shè)攜帶乙肝病毒的學生占m%，某體檢機構(gòu)通過抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對每個人的血樣逐一化驗，就需要化驗4000次．為減輕化驗工作量，統(tǒng)計專家給出了一種化驗方法：隨機按照k個人進行分組，將各組k個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這k個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對該組每個人血樣再分別化驗一次．假設(shè)每人血樣化驗結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨立．(1)若m＝0.4，記每人血樣化驗次數(shù)為X，當k取何值時，X的數(shù)學期望最小，并求化驗總次數(shù)；

(2)若m＝0.8，設(shè)每人血樣單獨化驗一次費用5元，k個人混合化驗一次費用k＋4元．求當k取何值時，每人血樣化驗費用的數(shù)學期望最小，并求化驗總費用．參考數(shù)據(jù)及公式：10≈3.16，(1＋x)n≈1＋nx(n∈N*，n≥2，|x|≤0.01)．題后師說在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率．決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數(shù)、導數(shù)或不等式去實現(xiàn)．鞏固訓練2[2024·河南焦作模擬]小李參加某項專業(yè)資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關(guān)；若都不合格，則考試不過關(guān)；若有1個或2個科目合格，則所有不合格的科目需要進行一次補考，補考都合格的考試過關(guān)，否則不過關(guān)．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p(0<p<1)，且每個科目每次考試的結(jié)果互不影響．(1)記“小李恰有1個科目需要補考”的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.(2)以(1)中確定的p0作為p的值．(ⅰ)求小李這項資格考試過關(guān)的概率；(ⅱ)若每個科目每次考試要繳納20元的費用，將小李需要繳納的費用記為X元，求E(X)．高考大題研究課十二概率統(tǒng)計與其他知識的交匯問題關(guān)鍵能力·題型剖析鞏固訓練1解析：(1)設(shè)第1次由甲組答題記作事件A，第1次由乙組答題記作事件A，第2次由乙組答題記作事件B，因為答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)分別為1＋2，2＋4，1＋5，4＋5，3＋3，6＋6，3＋6，所以答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為5×2+236所以答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)的概率為1－13＝2則P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＝12×2(2)第(n＋1)次由甲組答題，是第n次由甲組答題第(n＋1)次繼續(xù)由甲組答題的事件與第n次由乙組答題第(n＋1)次由甲組答題的事件和，它們互斥，又各次答題相互獨立，所以第n次由甲組答題，第(n＋1)次繼續(xù)由甲組答題的概率為13Pn第n次由乙組答題，第(n＋1)次由甲組答題的概率為23(1－Pn)因此Pn＋1＝13Pn＋23(1－Pn)＝－13Pn＋23(n∈N*)，則Pn＋1－12＝－13(因為第一次由甲組答題，則P1＝1，所以Pn-12是首項為12所以Pn－12＝12·(－13)n－1，即Pn＝12·(－13)n例2解析：(1)設(shè)每人血樣化驗次數(shù)為X，由題意若混合血樣呈陰性，則X＝1k，若混合血樣呈陽性，則X＝1k＋1，∵m＝0.4，∴每個學生呈陰性概率為1－0.4%＝∴P(X＝1k)＝0.996k，P(X＝1k＋1)＝1－0.996∴E(X)＝1k×0.996k＋(1＋1k)×(1－0.996k)＝1＋1k－0.996k＝1＋1k－(1－0.004)k≈1k＋令f(x)＝1x＋0.004x則f(x)在(0，510)上單調(diào)遞減，在(510，＋∞)上單調(diào)遞增，∵k∈Z，且f(15)＝115＋0.004×15≈0.1267，f(16)＝0.1265∴k＝16取得最小值，E(X)最小值為0.1265.∴按16人一組，每個人血樣化驗次數(shù)的數(shù)學期望最小，此時化驗總次數(shù)為4000×0.1265＝506(次)．(2)設(shè)每組k人，每組化驗總費用為Y元，若混合血樣呈陰性則Y＝k＋4，若混合血樣為陽性，則Y＝6k＋4，m＝0.8時，每個學生呈陰性概率為1－0.08%＝0.992，∴P(Y＝k＋4)＝0.992k，P(Y＝6k＋4)＝1－0.992k，∴E(Y)＝(k＋4)×0.992k＋(6k＋4)(1－0.992k)＝6k－5k×0.992k＋4，每個人血樣的化驗費用為：EYk＝6－5×0.992k＋4k＝6－5×(1－0.008)≈6－5×(1－0.008k)＋4k＝1＋0.04k＋4k≥1＋20.04k·4當且僅當0.04k＝4k，即k＝10時取等號∴10個人一組，每個人血樣化驗費用的數(shù)學期望最小，化驗總費用為4000×1.8＝7200(元)．鞏固訓練2解析：(1)由題意知f(p)＝C31p2(1－p)＝3p2(1－p)，0<p則f′(p)＝－9p2＋6p＝3p(2－3p)，當0<p<23時，f′(p)>0當23<p<1時，f′(p)<0所以函數(shù)f(p)在(0，23)單調(diào)遞增，(23，1)所以當p＝23時，f(p)取最大值，即p0＝2(2)(ⅰ)小李第一次考試3個科目都合格的概率為P1＝(23)3＝8小李第一次考試有2個科目合格，補考1個科目且合格的概率為P2＝