1921正比例函數(shù)(精講)-2021-2022學年八年級數(shù)學下學期重要考點(人教版)

19.2.1正比例函數(shù)正比例函數(shù)的定義1、正比例函數(shù)的定義一般的，形如（為常數(shù)，且≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù).其中叫做比例系數(shù).2、正比例函數(shù)的等價形式（1）、是的正比例函數(shù)；（2）、（為常數(shù)且≠0）；（3）、若與成正比例；（4）、（為常數(shù)且≠0）.題型1：正比例函數(shù)的概念1.下列問題中，兩個變量之間成正比例關系的是（）A．圓的面積S（cm2）與它的半徑r（cm）之間的關系 B．某水池有水15m3，現(xiàn)打開進水管進水，進水速度為5m3/h，xh后這個水池有水ym3 C．三角形面積一定時，它的底邊a（cm）和底邊上的高h（cm）之間的關系 D．汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程y與行駛時間x之間的關系【分析】分別列出每個選項的解析式，根據(jù)正比例函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：A選項，S＝πr2，故該選項不符合題意；B選項，y＝15+5x，這是一次函數(shù)，故該選項不符合題意；C選項，∵ah＝S，∴a＝，故該選項不符合題意；D選項，y＝60x，故該選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，掌握形如y＝kx（k≠0）的函數(shù)是正比例函數(shù)是解題的關鍵．【變式11】下列函數(shù)中，屬于正比例函數(shù)的是（）A．y＝x2+2 B．y＝﹣2x+1 C．y＝ D．y＝【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．是二次函數(shù)，不是正比例函數(shù)，故本選項不符合題意；B．是一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)，故本選項不符合題意；C．是反比例函數(shù)，不是正比例函數(shù)，故本選項不符合題意；D．是正比例函數(shù)，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，能熟記正比例函數(shù)的定義是解此題的關鍵，注意：形如y＝kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫一次函數(shù)，當b＝0時，y＝kx也叫正比例函數(shù)．【變式12】下列問題中，兩個變量成正比例的是（）A．圓的面積S與它的半徑r B．三角形面積一定時，某一邊a和該邊上的高h C．正方形的周長C與它的邊長a D．周長不變的長方形的長a與寬b【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義計算．【解答】解：A、圓的面積＝π×半徑2，不是正比例函數(shù)，故此選項不符合題意；B、三角形面積S一定時，它的底邊a和底邊上的高h的關系S＝ah，不是正比例函數(shù)，故此選項不符合題意；C、正方形的周長C＝邊長×4＝4a，是正比例函數(shù)，故此選項符合題意；D、設周長為C，則依題意得C＝2（a+b），則a與b不是正比例關系，故此選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查正比例函數(shù)的定義．解題的關鍵是掌握正比例函數(shù)的定義：一般地，兩個變量x，y之間的關系式可以表示成形如y＝kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)．【變式13】下面各組變量中，成正比例關系的是（）A.人的身高h與年齡tB.正方形的面積S與它的邊長aC.當平行四邊形一條邊長一定時，平行四邊形的面積S和這條邊上的高hD.汽車從甲地到乙地，所用時間t與行駛速度v【答案】C【分析】判斷兩個相關聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例．【解答】解：A、人的身高h與年齡t不成比例，故選項不合題意；

B、正方形的面積S與它的邊長a成二次函數(shù)關系，故選項不合題意；

C、當平行四邊形一條邊長一定時，平行四邊形的面積S和這條邊上的高h成正比例關系，故選項符合題意；

D、汽車從甲地到乙地，所用時間t與行駛速度v成反比例關系，故選項不合題意；

故選：C．題型2：正比例函數(shù)的概念與含參問題2.若函數(shù)y＝x+k﹣2是正比例函數(shù)，則k的值是（）A．6 B．4 C．2 D．﹣2【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義得出k﹣2＝0，再求出k即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝x+k﹣2是正比例函數(shù)，∴k﹣2＝0，解得：k＝2，故選：C．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，能熟記正比例函數(shù)的定義是解此題的關鍵，注意：形如y＝kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫一次函數(shù)，當b＝0時，函數(shù)y＝kx+b叫正比例函數(shù)．【變式21】已知函數(shù)y＝2x|a﹣2|+a2﹣1是正比例函數(shù)，則a＝（）A．1 B．±1 C．3 D．3或1【分析】利用正比例函數(shù)定義可得a2﹣1＝0，且|a﹣2|＝1，再解即可．【解答】解：由題意得：a2﹣1＝0，且|a﹣2|＝1，解得：a＝1，故選：A．【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)定義，關鍵是掌握形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．5．【變式22】若函數(shù)y＝（2m+6）x+m2﹣9是關于x的正比例函數(shù)，則m的值為（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．0【分析】直接利用正比例函數(shù)的定義進而得出答案．【解答】解：∵函數(shù)y＝（2m+6）x+m2﹣9是關于x的正比例函數(shù)，∴m2﹣9＝0，2m+6≠0，解得：m＝3．故選：A．【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)的定義，正確把握定義是解題關鍵．【變式23】當m＝﹣2時，函數(shù)y＝（m﹣2）是正比例函數(shù)．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義列出關于m的不等式組，求出m的值即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝（m﹣2）是正比例函數(shù)，∴，解得m＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的定義，即一般地，形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)正比例函數(shù)（是常數(shù)，≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，我們稱它為直線.當＞0時，直線經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，即隨著的增大也增大；當＜0時，直線經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，即隨著的增大反而減小.題型3：正比例函數(shù)的圖象作圖3.畫出正比例函數(shù)y＝2x的圖象．【分析】根據(jù)直線的解析式知其圖象過原點，再令x＝1求出y的值，描出各點，根據(jù)兩點確定一條直線畫出函數(shù)圖象．【解答】解：如圖所示：．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象，解答此題的關鍵找出該直線上任意兩點的坐標．【變式31】在同一平面直角坐標系上畫出函數(shù)y＝2x，y＝2x﹣3，y＝2x+3的圖象，并指出它們的特點．【分析】利用描點法畫出圖象即可解決問題．【解答】解：函數(shù)y＝2x，y＝2x﹣3，y＝2x+3的圖象如圖所示，從解析式上看k相同，從圖象上看是平行的．【點評】本題考查正比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象等知識，解題的關鍵是熟練掌握描點法畫圖，記住結論：k相同兩直線平行．【變式32】在同一平面直角坐標系上畫出函數(shù)y＝2x，y＝﹣x，y＝﹣0.6x的圖象．【分析】分別在每個函數(shù)圖象上找出兩點，畫出圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的特點進行解答即可．【解答】解：x01y＝2x02y＝﹣x0﹣y＝﹣0.6x0﹣0.6【點評】本題考查了畫函數(shù)的圖象，考查的是用描點法畫函數(shù)的圖象，解答此題的關鍵是描出各點，畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象找出規(guī)律．題型4：正比例函數(shù)的圖象象限問題4.下列圖象中，表示正比例函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點的直線解答即可．【解答】解：A、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項錯誤；B、是正比例函數(shù)圖象，故此選項正確；C、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項錯誤；D、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項錯誤；故選：B．【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)的圖象，關鍵是掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)．【變式41】一次函數(shù)y＝﹣x的圖象平分（）A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出正比例函數(shù)y＝﹣x的圖象所經(jīng)過的象限，進而可得出答案．【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴一次函數(shù)y＝﹣x的圖象經(jīng)過二、四象限，∴一次函數(shù)y＝﹣x的圖象平分二、四象限．故選：D．【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象，熟知一次函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關鍵．【變式42】如圖，三個正比例函數(shù)的圖象分別對應表達式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，將a，b，c從小到大排列為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】根據(jù)直線所過象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根據(jù)直線陡的情況可判斷出b＞c，進而得到答案．【解答】解：根據(jù)三個函數(shù)圖象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根據(jù)直線越陡，|k|越大，則b＞c．則a＜c＜b，故選：B．【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)圖象，關鍵是掌握：當k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。瑫r注意直線越陡，則|k|越大【變式43】正比例函數(shù)y＝（m2+1）x的圖象經(jīng)過的象限是（）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限【分析】判斷m2+1的符號即可得到答案．【解答】解：∵m2≥0，∴m2+1＞0，而正比例函數(shù)y＝kx當k＞0時圖象經(jīng)過一、三象限，∴正比例函數(shù)y＝（m2+1）x的圖象經(jīng)過一、三象限，故選：A．【點評】本題考查正比例函數(shù)圖象，關鍵是判斷m2+1的符號．題型5：正比例函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)增減性5.下列正比例函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小是（）A．y＝8x B．y＝0.6x C．y＝x D．y＝（﹣）x【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的增減性確定正確的選項即可．【解答】解：∵y＝kx中，y隨著x的增大而減小，∴k＜0，∴只有D選項符合題意，故選：D．【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的增減性是解答問題的關鍵．【變式51】已知正比例函數(shù)y＝（k+5）x，且y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（）A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的特點可直接解答．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（k+5）x中若y隨x的增大而減小，∴k+5＜0．∴k＜﹣5，故選：D．【點評】此題比較簡單，考查的是正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）圖象的特點：當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減?。咀兪?2】已知正比例函數(shù)y＝（m﹣1）x的圖象上兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當x1＜x2時，有y1＞y2，那么m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0【分析】據(jù)正比例函數(shù)的增減性可得出（m﹣1）的范圍，繼而可得出m的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意，知：y隨x的增大而減小，則m﹣1＜0，即m＜1．故選：A．【點評】能夠根據(jù)兩點坐標之間的大小關系，判斷變化規(guī)律，再進一步根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減?。胁坏仁角蠼饧咀兪?3】已知正比例函數(shù)y＝kx，當﹣2≤x≤2時，函數(shù)有最大值3，則k的值為或﹣．【分析】根據(jù)函數(shù)的增減性，再由x的取值范圍得出x＝﹣2時，y＝3或x＝2時，y＝3，分別代入代入函數(shù)解析式得出k的值即可．【解答】解：當k＞0時，函數(shù)y隨x的增大而增大，∴當x＝2時，y＝3，∴2k＝3，解得k＝；當k＜0時，函數(shù)y隨x的增大而減小，∴當x＝﹣2時，y＝3，∴﹣2k＝3，解得k＝﹣．∴k的值為或﹣，故答案為或﹣．【點評】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的增減性是解答此題的關鍵．【變式54】已知函數(shù)y＝（m﹣1）x是正比例函數(shù)．（1）若函數(shù)關系式中y隨x的增大而減小，求m的值；（2）若函數(shù)的圖象過第一、三象限，求m的值．【分析】利用正比例函數(shù)的定義，可得出關于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出m的值；（1）由函數(shù)關系式中y隨x的增大而減小，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出m﹣1＜0，解之即可得出m的取值范圍，進而可確定m的值；（2）由函數(shù)的圖象過第一、三象限，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范圍，進而可確定m的值．【解答】解：∵函數(shù)y＝（m﹣1）x是正比例函數(shù)，∴，解得：m1＝﹣2，m2＝2．（1）∵函數(shù)關系式中y隨x的增大而減小，∴m﹣1＜0，∴m＜1，∴m＝﹣2．（2）∵函數(shù)的圖象過第一、三象限，∴m﹣1＞0，∴m＞1，∴m＝2．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)的定義，牢記“當k＞0時，y隨x的增大而增大，且函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限；當k＜0時，y隨x的增大而減小，且函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限”是解題的關鍵．題型6：正比例函數(shù)的性質(zhì)含參問題6.已知正比例函數(shù)y＝（2k﹣3）x，若y隨x增大而減小，則k的值可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由y隨x增大而減小，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出結論．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（2k﹣3）x的y值隨x值的增大而減小，∴2k﹣3＜0，∴k＜．故選：A．【點評】本題考查了正比例的性質(zhì)，牢記“k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減小”是解題的關鍵．【變式61】已知正比例函數(shù)y＝kx，當自變量x的值增大3時，函數(shù)值減小4，則k的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】由于自變量x增加3，y的值減小4，則y﹣4＝k（x+3），然后把y＝kx代入可求出k的值．【解答】解：根據(jù)題意得y﹣4＝k（x+3），即y﹣4＝kx+3k，而y＝kx，所以kx﹣4＝kx+3k，3k＝﹣4解得：k＝﹣．故選：A．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式：設正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0），然后把一組對應值代入求出k即可得到正比例函數(shù)解析式．【變式62】在正比例函數(shù)y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y隨x的增大而減小，則m＝﹣2．【分析】x的次數(shù)為1且x的系數(shù)為負．【解答】解：∵|m|﹣1＝1，∴m＝±2，又∵y隨x的增大而減小，∴m+1＜0，∴m＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查一次函數(shù)的概念與性質(zhì)，解題關鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．【變式63】已知直線y＝kx經(jīng)過第二、四象限，且在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，求k的取值范圍．【分析】根據(jù)y＝kx經(jīng)過第二、四象限，可得k＜0，再由二次根式有意義的條件，即可得出k的取值范圍．【解答】解：∵據(jù)y＝kx經(jīng)過第二、四象限，∴k＜0，∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴2k+3≥0，∴k≥﹣，綜上可得：﹣≤k＜0．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，注意二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)．【變式64】已知正比例函數(shù)y＝（m+2）x中，y的值隨x的增大而增大，而正比例函數(shù)y＝（2m﹣3）x，y的值隨x的增大而減小，且m為整數(shù)，你能求出m的可能值嗎？為什么？【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)y＝（m+2）x中，y的值隨x的增大而增大，得出m+2＞0，解得m＞﹣2．再由正比例函數(shù)y＝（2m﹣3）x，y的值隨x的增大而減小，得出2m﹣3＜0，解得m＜．又m為整數(shù)，即可求出m的可能值．【解答】解：m的可能值為﹣1，0，1．理由如下：∵正比例函數(shù)y＝（m+2）x中，y的值隨x的增大而增大，∴m+2＞0，解得m＞﹣2．∵正比例函數(shù)y＝（2m﹣3）x，y的值隨x的增大而減小，∴2m﹣3＜0，解得m＜．∵m為整數(shù)，∴m的可能值為﹣1，0，1．【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）中，當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減小是解答此題的關鍵．題型7：求正比例函數(shù)值或點坐標7.在直線y=2x上到x軸距離為2的點的坐標為【分析】根據(jù)直線y=2x上的點到x軸距離是2，故y=±2，求出x的值即可得出結論．【解答】解：∵直線y=2x上的點到x軸距離是2，

∴y=±2，

當y=2時，即2x=2，解得x=1；

當y=2時，即2x=2，解得x=1．

∴符合條件的點的坐標為：（1，2）或（1，2）．

故答案為：（1，2）或（1，2）．【變式71】已知正比例函數(shù)y=2x，當x=1時，函數(shù)y的值是（）A．2B．2C．0.5D．0.5【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)值的求法，直接將x=1代入函數(shù)關系式得出即可．【解答】解：對于正比例函數(shù)y=2x，

當x=1時，函數(shù)值y=2×1=2．

故選：B．【變式72】已知點A（1，2），若A，B兩點關于x軸對稱，則B點的坐標為若點（3，n）在函數(shù)y=2x的圖象上，則n=【分析】平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于x軸的對稱點的坐標是（x，y）．將點（3，n）代入函數(shù)即可求得n的值．【解答】解：∵A，B兩點關于x軸對稱，

∴B點的坐標為（1，2）；

若點（3，n）在函數(shù)y=2x的圖象上，

則n=6．

故答案為：（1，2），6．【變式73】已知正比例函數(shù)y=kx的圖象，經(jīng)過點M（2，4）．

（1）推出y的值與x值的變化情況；

（2）畫出這個函數(shù)的圖象．【分析】（1）先把點M（2，4）代入正比例函數(shù)y=kx，求出k的值，根據(jù)k的符號即可得出結論；

（2）在坐標系內(nèi)描出點M（2，4），過原點與點M（2，4）作直線即可得出函數(shù)圖象．【解答】解：（1）∵正比例函數(shù)y=kx的圖象，經(jīng)過點M（2，4），

∴4=2k，解得k=2＜0，

∴y隨x的增大而減?。?/p>

（2）如圖所示待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式由于正比例函數(shù)（為常數(shù)，≠0）中只有一個待定系數(shù)，故只要有一對，的值或一個非原點的點，就可以求得值.題型8：待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式8.已知正比例函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣1，2）．（1）求此正比例函數(shù)的解析式；（2）點（2，﹣2）是否在此函數(shù)圖象上？請說明理由．【分析】（1）設正比例函數(shù)解析式為y＝kx，把已知點坐標代入求出k的值，即可確定出解析式；（2）把x＝2代入解析式計算求出y的值，即可作出判斷．【解答】解：（1）設正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0），把（﹣1，2）代入得：2＝﹣k，解得：k＝﹣2，則正比例函數(shù)解析式為y＝﹣2x；（2）把x＝2代入y＝﹣2x得：y＝﹣4，∵﹣4≠﹣2，∴點（2，﹣2）不在函數(shù)y＝﹣2x圖象上．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．【變式81】已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點A（2，k+2），求這個函數(shù)解析式并畫出這個函數(shù)的圖象．【分析】（1）點A（2，k+2）代入解析式即可得到k的值，從而求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)解析式求出函數(shù)圖象上的兩個點即可畫出函數(shù)圖象．【解答】解：（1）將點A（2，k+2）代入y＝kx得，k+2＝2k，解得k＝2，∴函數(shù)解析式為y＝2x；（2）如圖：函數(shù)過原點（0，0），A（2，4）．．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟悉待定系數(shù)法和正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式82】已知y＝y(tǒng)1+y2，y1與x成正比例，y2與x﹣3成正比例，當x＝﹣1時，y＝4；當x＝1時，y＝8，求y與x之間的函數(shù)關系式．【分析】根據(jù)題意設y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3），從而可得y＝k1x+k2（x﹣3），然后把x＝﹣1，y＝4和x＝1，y＝8代入聯(lián)立方程組，進行計算即可解答．【解答】解：設y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3），則y＝y(tǒng)1+y2＝k1x+k2（x﹣3），由題意得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)