初中九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專項(xiàng)復(fù)習(xí)考點(diǎn)綜合專題：圓與其他知識(shí)的綜合

初中九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專項(xiàng)復(fù)習(xí)考點(diǎn)綜合專題：圓與其他知識(shí)的綜合(

考點(diǎn)綜合專題：圓與其他知識(shí)的綜合

◆類型一圓與三角函數(shù)的綜合

1．(2016·衢州中考)如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的點(diǎn),過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若∠A＝30°,則sinE的值為()

1233

A.B.C.D.2223

第1題圖第2題圖第3題圖

2．(湖州中考)如圖,以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)圓中,大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C,OA交小1

圓于點(diǎn)D.若OD＝2,tan∠OAB＝,則AB的長(zhǎng)是()

2

A．4B．23C．8D．433．(2016·攀枝花中考)如圖,點(diǎn)D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一條弦,則sin∠OBD的值為()

1343A.B.C.D.2455

4．如圖,AB為⊙O的直徑,以AB為直角邊作直角△ABC,∠CAB＝90°,斜邊BC與⊙O交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E,DG⊥AB于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)G.

(1)求證：E是AC的中點(diǎn)；

2

(2)若AE＝3,cos∠ACB＝,求弦DG的長(zhǎng)．

3

-1-

◆類型二圓與相似的綜合

5．如圖,AB是半圓O的直徑,D,E是半圓上任意兩點(diǎn),連接AD,DE,AE與BD相交于點(diǎn)C,要使△ADC與△ABD相似,可以添加一個(gè)條件．下列添加的條件其中錯(cuò)誤的是D

A．∠ACD＝∠DABB．AD＝DEC．AD2＝BD·CDD．AD·AB＝AC·BD

第5題圖第6題圖第7題圖

6．如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,P是CD的中點(diǎn),連接AP并延長(zhǎng),交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,作△CPF的外接圓⊙O,連接BP并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,連接EF,則EF的長(zhǎng)為D

353545A.B.C.D.2355

7．(2016·成都中考)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AH⊥BC于點(diǎn)H,若AC＝24,AH＝18,⊙O的半徑OC＝13,則AB＝________．

8．(2016·泰州中考)如圖,△ABC中,∠ACB＝90°,D為AB上一點(diǎn),以CD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P,交⊙O于點(diǎn)F,連接DF,∠CAE＝∠ADF.

(1)判斷AB與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2,AF＝5,求PC的長(zhǎng)．

-2-

◆類型三圓與四邊形的綜合9．(2016·重慶模擬)如圖,⊙O過正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B,與CD相切,切點(diǎn)為點(diǎn)E,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則⊙O的半徑為()

A．1B.

545C.D.234

第9題圖第10題圖第11題圖

10．(2016·哈爾濱中考)如圖,AB為⊙O的直徑,直線l與⊙O相切于點(diǎn)C,AD⊥l,垂足為D,AD交⊙O于點(diǎn)E,連接OC,BE.若AE＝6,OA＝5,則線段DC的長(zhǎng)為________．

11．★(2016·淄博中考)如圖,⊙O的半徑為2,圓心O到直線l的距離為4,有一內(nèi)角為60°的菱形,當(dāng)菱形的一邊在直線l上,另有兩邊所在的直線恰好與⊙O相切,此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為____________．

︵︵

12．(2016·上海中考)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB＝AC,點(diǎn)D在邊BC上,AE∥BC,AE＝BD.

(1)求證：AD＝CE；

(2)如果點(diǎn)G在線段DC上(不與點(diǎn)D重合),AG＝AD,求證：四邊形AGCE是平行四邊形．

-3-

◆類型四坐標(biāo)系中的圓(代幾綜合)

13．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為(－3,0),將⊙P沿x軸正方向平移,使⊙P與y軸相切,則平移的距離為()

A．1B．1或5C．3D．5

第13題圖第14題圖

14．(2016·濰坊中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙M與x軸相切于點(diǎn)A(8,0),與y軸分別交于點(diǎn)B(0,4)和點(diǎn)C(0,16),則圓心M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是()

A．10B．82C．413D．241

15．如圖,在Rt△OAB中,OA＝4,AB＝5,點(diǎn)C在OA上,AC＝1,⊙P的圓心P在k

線段BC上,⊙P與邊AB,AO都相切．若反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象經(jīng)過圓心P,則k

x＝____________.

第15題圖第16題圖第17題圖

16．(2016·信陽(yáng)模擬)如圖,我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”．已知點(diǎn)A,B,C,D分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),拋物線的解析式為y＝x2－2x－3,AB為半圓的直徑,則這個(gè)“果圓”被y軸截得的弦CD的長(zhǎng)為________．

3

17．★(2016·日照中考)如圖,直線y＝－x＋3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)Q是

4以C(0,－1)為圓心、1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn),過Q點(diǎn)的切線交線段AB于點(diǎn)P,則線段PQ的最小是________．

-4-

參考答案

1．A2.C

3．D解析：連接CD.∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),∴OD＝3,OC＝4.∵∠COD＝90°,∴CD＝OD2＋OC2＝32＋42＝5.∵∠OBD＝∠OCD,∴sin∠OBD＝

OD3

sin∠OCD＝＝.故選D.

CD54．(1)證明：連接AD.∵AB為⊙O的直徑,∴∠ADB＝90°,∴∠ADC＝90°.∵∠CAB＝90°,∴AC是⊙O的切線．又∵DE與⊙O相切,∴ED＝EA,∴∠EAD＝∠EDA.∵∠C＝90°－∠EAD,∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－∠EAD,∴∠C＝∠CDE,∴ED＝EC,∴EA＝EC,即E為AC的中點(diǎn)；

(2)解：由(1)知E為AC的中點(diǎn),則AC＝2AE＝6.在Rt△ACD中,cos∠ACD＝cos∠ACB22＝,∴CD＝AC·cos∠ACB＝6×＝4,∴AD＝AC2－CD2＝62－42＝25.∵∠ACB＋∠B33＝90°,∠DAB＋∠B＝90°,∴∠ACB＝∠DAB.在Rt△ADF中,AF＝AD·cos∠DAF＝245AD·cos∠ACB＝25×＝,∴DF＝AD2－AF2＝3320

∴DG＝2DF＝.

3

5．D6.D

39

7.解析：作直徑AE,連接CE.∴∠ACE＝90°.∵AH⊥BC,∴∠AHB＝90°,∴∠ACE2

ABAHAH·AE

＝∠AHB.∵∠B＝∠E,∴△ABH∽△AEC,∴＝,∴AB＝.∵AC＝24,AH＝18,

AEACAC18×2639

AE＝2OC＝26,∴AB＝＝.

242

8．解：(1)AB是⊙O的切線．理由如下：連接DE,CF.∵CD是⊙O的直徑,∴∠DEC

＝∠DFC＝90°.∵∠ACB＝90°,∴∠DEC＋∠ACE＝180°,∴DE∥AC,∴∠CAE＝∠DEA＝∠DCF.∵∠DFC＝90°,∴∠DCF＋∠CDF＝90°.∵∠ADF＝∠CAE＝∠DCF,∴∠ADF＋∠CDF＝90°,∴∠ADC＝90°,∴CD⊥AD,∴AB是⊙O的切線；

PCPF

(2)∵∠CPF＝∠CPA,∠PCF＝∠PAC,∴△PCF∽△PAC,∴＝,∴PC2＝PF·PA.

PAPC510

設(shè)PF＝a,則PC＝2a,∴4a2＝a(a＋5),∴a＝,∴PC＝2a＝.

33

9．D解析：連接OE,OB,延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)F,∴OE⊥CD.∵四邊形ABCD是正11

方形,∴AB∥CD,∴OF⊥AB.設(shè)OB＝OE＝R,則OF＝2－R.在Rt△OBF中,BF＝AB＝

225

×2＝1,OB＝R,OF＝2－R,∴R2＝(2－R)2＋12,解得R＝.故選D.

4

10．4解析：設(shè)OC交BE于點(diǎn)F.∵AB為⊙O的直徑,∴AB＝2OA＝10,∠AEB＝90°.∵AD⊥l,∴BE∥CD.∵CD為⊙O的切線,∴OC⊥CD,∴OC⊥BE,∴四邊形CDEF為矩形,∴CD＝EF.在Rt△ABE中,BE＝AB2－AE2＝102－62＝8.∵OF⊥BE,∴BF＝EF

45?10

（25）－?＝.∵DG⊥AB,

?3?3

2

2

-5-

1

＝BE＝4,∴CD＝4.2

4383

11．43或或解析：第一種情況：如圖①,過點(diǎn)O作直線l的垂線,交AD于

33E,交BC于F,過點(diǎn)A作AG⊥直線l于點(diǎn)G,由題意得EF＝2＋4＝6,四邊形AGFE為矩形,∴AG＝EF＝6.在Rt△ABG中,AB＝

AG6

＝＝43；sinB3

2

第二種情況：如圖②,過點(diǎn)O作OE⊥l于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥l于點(diǎn)F,則OE＝4,DF2343DF＝2.在Rt△DCF中,DC＝＝DF＝；

33sin∠DCF

第三種情況：如圖③,過點(diǎn)O作EF垂直于BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)AAG2383

作AG⊥CD于點(diǎn)G,則AG＝EF＝4.在Rt△AFG中,AF＝＝AG＝.故答案

33sin∠ADG為43或

4383

或.33

︵︵

12．證明：(1)在⊙O中,∵AB＝AC,∴AB＝AC,∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC,∴∠EACAB＝CA,??

＝∠ACB,∴∠B＝∠EAC.在△ABD和△CAE中,?∠B＝∠EAC,∴△ABD≌△CAE(SAS),

??BD＝AE,∴AD＝CE；

︵︵

(2)連接AO并延長(zhǎng),交邊BC于點(diǎn)H.∵AB＝AC,OA為半徑,∴AH⊥BC,∴BH＝CH.∵AD＝AG,∴DH＝GH,∴BH－DH＝CH－GH,即BD＝CG.∵BD＝AE,∴CG＝AE.∵CG∥AE,∴四邊形AGCE是平行四邊形．

13．B

14．D解析：連接BM,OM,AM,過點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H.∵⊙M與x軸相切于點(diǎn)A(8,0),∴AM⊥OA,OA＝8,∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°,∴四邊形OAMH是矩形,∴AM＝OH.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,16),∴OB＝4,OC＝16,∴BC11

＝12.∵M(jìn)H⊥BC,∴CH＝BH＝BC＝×12＝6,∴OH＝OB＋BH＝4＋6＝10,∴AM＝10.

22在Rt△AOM中,OM＝AM2＋OA2＝102＋82＝241.故選D.

5

15.解析：在Rt△OAB中,OA＝4,AB＝5,∴OB＝3.設(shè)⊙P與邊AB,AO分別相切4于點(diǎn)F,E,連接PE,PF,AP,則PF⊥AB,PE⊥OA,PE＝PF.∵OA＝4,OB＝3,AC＝1,∴OC＝OA－AC＝3＝OB.又∵∠AOB＝90°,∴∠OBC＝∠OCB＝45°,∴∠EPC＝45°＝

-6-

1

＝BE＝4,∴CD＝4.2

4383

11．43或或解析：第一種情況：如圖①,過點(diǎn)O作直線l的垂線,交AD于

33E,交BC于F,過點(diǎn)A作AG⊥直線l于點(diǎn)G,由題意得EF＝2＋4＝6,四邊形AGFE為矩形,∴AG＝EF＝6.在Rt△ABG中,AB＝

AG6

＝＝43；sinB3

2

第二種情況：如圖②,過點(diǎn)O作OE⊥l于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥l于點(diǎn)F,則OE＝4,DF2343DF＝2.在Rt△DCF中,DC＝＝DF＝；

33sin∠DCF

第三種情況：如圖③,過點(diǎn)O作EF垂直于BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)AAG2383

作AG⊥CD于點(diǎn)G,則AG＝EF＝4.在Rt△AFG中,AF＝＝AG＝.故答案

33sin∠ADG為43或

4383

或.33

︵︵

12．證明：(1)在⊙O中,∵AB＝AC,∴AB＝AC,∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC,∴∠EACAB＝CA,??

＝∠ACB,∴∠B＝∠EAC.在△ABD和△CAE中,?∠B＝∠EAC,∴△ABD≌△CAE(SAS),

??BD＝AE,∴AD＝CE；

︵︵

(2)連接AO并延長(zhǎng),交邊BC于點(diǎn)H.∵AB＝AC,OA為半徑,∴AH⊥BC,∴BH＝CH.∵AD＝AG,∴DH＝GH,∴BH－DH＝CH－GH,即BD＝CG.∵BD＝AE,∴CG＝AE.∵CG∥AE,∴四邊形AGCE是平行四邊形．

13．B

14．D解析：連接BM,OM,AM,過點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H.∵⊙M與x軸相切于點(diǎn)A(8,0),∴AM⊥OA,OA＝8,∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°,∴四邊形OAMH是矩形,∴AM＝OH.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,16),∴OB＝4,O