2024-2025學年新教材高中數(shù)學第15章概率15.3.1互斥事件的概率課時素養(yǎng)評價含解析蘇教版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價四十六互斥事務的概率(20分鐘35分)1.從一箱產品中隨機地抽取一件,設事務A={抽到一等品},事務B={抽到二等品},事務C={抽到三等品},且已知P(A)=0.7,P(B)=0.2,P(C)=0.1.則事務“抽到的不是一等品”的概率為 ()A.0.7 B.0.2 C.0.1 【解析】選D.因為抽到的不是一等品的對立事務是抽到一等品,事務A={抽到一等品},P(A)=0.7,所以抽到不是一等品的概率是1-0.7=0.3.2.從四雙不同的鞋中隨意取出4只,事務“4只全部不成對”與事務“至少有2只成對” ()A.是對立事務 B.不是互斥事務C.是互斥但不對立事務 D.都是不行能事務【解析】選A.從4雙不同的鞋中隨意取出4只,可能的結果為:“恰有2只成對”“4只全部成對”“4只都不成對”,故事務“4只全部成對”的對立事務為“恰有2只成對”+“4只都不成對”=“至少有兩只成對”.所以事務“4只全部不成對”與事務“至少有2只成對”是對立事務.3.某人在打靶時,連續(xù)射擊2次,事務“至少有1次不中靶”的對立事務是________.

【解析】因為“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”,所以其對立事務是“2次都中靶”.答案:2次都中靶4.從一批產品中取出三件產品,設A=“三件產品全不是次品”,B=“三件產品全是次品”,C=“三件產品不全是次品”,則下列結論不正確的是________.①A與C互斥;②B與C互斥;③任何兩個均互斥;④任何兩個均不互斥.

【解析】在①中,A與C能同時發(fā)生,所以A與C不是互斥事務,故①錯誤;在②中,B與C不能同時發(fā)生,B與C互斥,故②正確;在③中,A與C不是互斥事務,故③錯誤;在④中,B與C互斥,故④錯誤.答案:①③④5.事務A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為QUOTE,且P(A)=2P(B),則P(QUOTE)=________,P(QUOTE)=________.

【解析】由題意得P(A)+P(B)=1-QUOTE=QUOTE,因為P(A)=2P(B),所以P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,所以P(QUOTE)=1-P(A)=QUOTE,P(QUOTE)=1-P(B)=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE6.經統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應的概率如下:排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排隊等候的概率是多少?(2)至少3人排隊等候的概率是多少?【解析】記“無人排隊等候”為事務A,“1人排隊等候”為事務B,“2人排隊等候”為事務C,“3人排隊等候”為事務D,“4人排隊等候”為事務E,“5人及5人以上排隊等候”為事務F,則事務A,B,C,D,E,F互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事務G,則G=A∪B∪C.所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)方法一:記“至少3人排隊等候”為事務H,則H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:記“至少3人排隊等候”為事務H,則其對立事務為事務G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.拋擲一枚骰子1次,記“向上一面的點數(shù)是4,5,6”為事務A,“向上一面的點數(shù)是1,2”為事務B,“向上一面的點數(shù)是1,2,3”為事務C,“向上一面的點數(shù)是1,2,3,4”為事務D,則下列關于事務A,B,C,D推斷錯誤的有 ()A.A與B是互斥事務但不是對立事務B.A與C是互斥事務也是對立事務C.A與D是互斥事務D.C與D不是對立事務也不是互斥事務【解析】選C.在A中,A與B不能同時發(fā)生,但能同時不發(fā)生,是互斥事務但不是對立事務,故A正確;在B中,A與C是互斥事務也是對立事務,故B正確;在C中,A與D能同時發(fā)生,不是互斥事務,故C錯誤;在D中,C與D能同時發(fā)生,不是對立事務也不是互斥事務,故D正確.2.下列各組事務中,不是互斥事務的是()A.一個射手進行一次射擊,命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B.統(tǒng)計一個班的數(shù)學成果,平均分不低于90分與平均分不高于90分C.同時投擲3枚硬幣,恰有兩枚正面對上與至多一枚正面對上D.檢驗某種產品,合格率高于70%與合格率低于70%【解析】選B.對于B,設事務A1為平均分不低于90分,事務A2為平均分不高于90分,則A1∩A2為平均分等于90分,A1,A2可能同時發(fā)生,故它們不是互斥事務.3.設事務A,B,已知P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,則A,B之間的關系肯定為()A.兩個隨意事務 B.互斥事務C.非互斥事務 D.對立事務【解析】選B.因為P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE所以P(A)+P(B)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,又PQUOTE=QUOTE,所以PQUOTE=P(A)+P(B),所以A,B為互斥事務.4.口袋中裝有一些大小相同的紅球和黑球,從中取出2個球.兩個球都是紅球的概率是QUOTE,都是黑球的概率是QUOTE,則取出的2個球中恰好一個紅球一個黑球的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意知,從袋中取出2個球的全部可能狀況為2個都是紅球,2個都是黑球,1個紅球和1個黑球.由互斥事務的概率公式可得,取出的2個球中恰好一個紅球一個黑球的概率是1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.下列命題中為真命題的是 ()A.若事務A與事務B為對立事務,則事務A與事務B為互斥事務B.若事務A與事務B為互斥事務,則事務A與事務B為對立事務C.若事務A與事務B為對立事務,則事務A+B為必定事務D.若事務A+B為必定事務,則事務A與事務B為互斥事務【解析】選AC.對于A,對立事務首先是互斥事務,故A為真命題.對于B,互斥事務不肯定是對立事務,如將一枚硬幣拋擲兩次,共出現(xiàn)(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四種結果,事務M=“兩次出現(xiàn)正面”與事務N=“只有一次出現(xiàn)反面”是互斥事務,但不是對立事務,故B為假命題.對于C,事務A,B為對立事務,則在一次試驗中A,B肯定有一個發(fā)生,故C為真命題.對于D,事務A+B表示事務A,B至少有一個要發(fā)生,A,B不肯定互斥,故D為假命題.6.在一個試驗模型中,設A表示一個隨機事務,QUOTE表示A的對立事務.以下結論正確的是 ()A.P(A)=P(QUOTE)B.P(A+QUOTE)=1C.若P(A)=1,則P(QUOTE)=0D.P(AQUOTE)=0【解析】選BCD.選項A,由對立事務的性質P(A)+P(QUOTE)=1,P(A)=P(QUOTE)不肯定正確;由對立事務的概念得A+QUOTE=Ω,即P(A+QUOTE)=P(Ω)=1,B正確;由對立事務的性質P(A)+P(QUOTE)=1知,P(A)=1-P(QUOTE),故若P(A)=1,則P(QUOTE)=0,C正確;由對立事務的概念得AQUOTE=?,即P(AQUOTE)=P(?)=0,D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.甲射擊一次,中靶概率是p1,乙射擊一次,中靶概率是p2,已知QUOTE,QUOTE是方程x2-5x+6=0的根,且p1滿意方程x2-x+QUOTE=0.則甲射擊一次,不中靶概率為______;乙射擊一次,不中靶概率為________.

【解析】由p1滿意方程x2-x+QUOTE=0知p12-p1+QUOTE=0,解得p1=QUOTE,因為QUOTE,QUOTE是方程x2-5x+6=0的根,所以QUOTE·QUOTE=6,解得p2=QUOTE,所以甲射擊一次不中靶的概率為1-QUOTE=QUOTE,乙射擊一次不中靶的概率為1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.對飛機連續(xù)射擊兩次,每次放射一枚炮彈.設A={兩次都擊中飛機},B={兩次都沒擊中飛機},C={恰有一枚炮彈擊中飛機},D={至少有一枚炮彈擊中飛機},其中為互斥事務的是________;為對立事務的是________.

【解析】由于事務A與B不行能同時發(fā)生,故A與B是互斥事務;同理可得,A與C,B與C,B與D也是互斥事務.綜上可得,A與B,A與C,B與C,B與D都是互斥事務.在上述互斥事務中,再依據(jù)B,D滿意B+D為必定事務,故B與D是對立事務.答案:A與B、A與C,B與C、B與DB與D四、解答題(每小題10分,共20分)9.某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28,命中8環(huán)的概率是0.19,不夠8環(huán)的概率是0.29,計算這個射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率.【解析】記這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)為事務A,命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、不夠8環(huán)分別為事務A1,A2,A3,A4,由題意知,A2,A3,A4彼此互斥,所以P(A2+A3+A4)=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76.又因為A1與A2+A3+A4互為對立事務,所以P(A1)=1-P(A2+A3+A4)=1-0.76=0.24.因為A1與A2互斥,且A=A1+A2,所以P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.24+0.28=0.52.10.在“六一”聯(lián)歡會上設有一個抽獎嬉戲.抽獎箱中共有12張紙條,分一等獎、二等獎、三等獎、無獎四種.從中任取一張,不中獎的概率為QUOTE,中二等獎或三等獎的概率是QUOTE.(1)求任取一張,中一等獎的概率;(2)若中一等獎或二等獎的概率是QUOTE,求任取一張,中三等獎的概率.【解析】設任取一張,中一等獎、二等獎、三等獎、不中獎的事務分別為A,B,C,D,它們是互斥事務.由條件可得P(D)=QUOTE,P(B+C)=P(B)+P(C)=QUOTE.(1)由對立事務的概率公式知P(A)=1-P(B+C+D)=1-PQUOTE-P(D)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以任取一張,中一等獎的概率為QUOTE;(2)因為P(A+B)=QUOTE,而PQUOTE=P(A)+P(B),所以P(B)=QUOTE-QUOTE=QUOTE,又PQUOTE=P(B)+P(C)=QUOTE,所以P(C)=QUOTE,所以任取一張,中三等獎的概率為QUOTE.袋中裝有紅球、黑球、黃球、綠球各若干個,從中任取一球,得到紅球的概率是QUOTE,得到黑球或黃球的概率是QUOTE,得到黃球或綠球的概率是QUOTE,試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少?【解析】從袋中任取一球