一題多解與一題多變

PAGE1/1一題多解與一題多變一題多解：開(kāi)拓學(xué)生解題思路，沉淀學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維；一題多變：引導(dǎo)學(xué)生知識(shí)聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)例題的講解，要做到一題多解和一題多變。也就是先要做到從不同的角度進(jìn)行分析，用不同的方法來(lái)解決問(wèn)題，這樣能夠開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。還要進(jìn)行拓展廷伸，使學(xué)生掌握知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。問(wèn)題一：設(shè)AB是拋物線的弦，O為原點(diǎn)，若OA⊥OB，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)。證明之。分析：1、若過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)應(yīng)在何處？——根據(jù)對(duì)稱性，應(yīng)可猜想到定點(diǎn)應(yīng)在x軸上。2、怎樣利用已知條件？主要是OA⊥OB的作用：①②設(shè)，則3、可從那些方面入手？①?gòu)脑O(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)入手由點(diǎn)A、B在拋物線上，可設(shè)點(diǎn)A、B，②從設(shè)直線AB的方程入手1）設(shè)直線AB的方程為x=my+b2）設(shè)直線AB的方程為ax+by=1③從OA⊥OB入手設(shè)OA的斜率為，則OB的斜率為方法一：ABO設(shè)A、B，則OA、OB的ABO斜率分別為、，由OA⊥OB得：，又AB的斜率為∶，∴AB方程為∶，即，顯然AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）。方法二∶設(shè)直線AB的方程為x=my+b，（注意這樣設(shè)直線方程有兩大優(yōu)點(diǎn)：①不必考慮斜率不存在，②代入消x簡(jiǎn)便），代入拋物線的方程消x得：又設(shè)A、B，則，又∴，由OA⊥OB得，∴，∵b≠0，∴b=2p，即AB的方程為x=my+2p，顯然AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）。方法三：設(shè)直線AB的方程為ax+by=1，代入拋物線方程得：y2=2px（ax+by），即：，∴，由于、是此方程的兩根，∴·=－2pa，又由OA⊥OB得：·=－1，∴，即AB的方程為，顯然AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）方法四：設(shè)OA的斜率為，則OB的斜率為，OA的方程為，代入拋物線的方程得，以換得。從而得出AB的斜率為，AB方程為：，令得，即過(guò)定點(diǎn)。說(shuō)明：①開(kāi)始考慮到定點(diǎn)位置有很大作用，不少學(xué)生就是利用方法一、方法二得出了AB方程，但還不會(huì)找出定點(diǎn)，當(dāng)知道了定點(diǎn)在x軸上就好找了。②對(duì)于解決解析幾何問(wèn)題就是要學(xué)會(huì)從多方面思考，從中找到最佳方法，同時(shí)在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)還要注意幾何圖形性質(zhì)、曲線的定義的作用，曲線方程的設(shè)法技巧等。③對(duì)于方法三是給學(xué)生一個(gè)開(kāi)拓眼界的作用，同時(shí)也是齊次方程特點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)用。以增加學(xué)生的知識(shí)面，有心的學(xué)生可想想其中的道理。在作了這些方法探索講解后，我們?cè)僖龑?dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)問(wèn)題對(duì)于其他的曲線又有什么類似結(jié)論？如：圓、橢圓、雙曲線。我們還是從特殊到一般的想法，先看圓。不難知道AB恒與一個(gè)定圓相切。那么橢圓呢？即：若定橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，A、B是橢圓上不同的兩動(dòng)點(diǎn)，若OA⊥OB，則直線AB恒與一個(gè)定圓相切。試證明之。可引導(dǎo)同學(xué)們利用上面的方法三來(lái)試一試！在學(xué)習(xí)了極坐標(biāo)后，我們來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題就不難了。即：已知A、B是定橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB，O為原點(diǎn)，①求證：為定值；②求證直線AB恒與一個(gè)定圓相切。解：①設(shè)A點(diǎn)的極坐標(biāo)為，B點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則，∴，∴是一個(gè)定值。②只要證明：原點(diǎn)O到AB的距離為定值。由OA⊥OB知：，，∴＝定值，∴也是定值。∴直線AB恒與一個(gè)定圓相切。問(wèn)題二：已知橢圓，F(xiàn)、F為其左、右焦點(diǎn)，A（1，2）為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上移動(dòng)，求｜PA｜+｜PF｜的最小值及取得最值時(shí)的P點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：這是與焦點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題，我們應(yīng)想到與定義有關(guān)。如圖，猜想到P應(yīng)在的廷長(zhǎng)線上，下面只要證明：若換另一點(diǎn)P＇，則有｜P＇A｜+｜P＇｜>｜PA｜+｜P｜。∵｜P＇｜+｜P＇｜=而｜P＇A｜+｜A｜>｜P＇｜，∴｜P＇A｜+｜A｜+｜P＇｜>｜P＇｜+｜P＇｜=∴｜P＇A｜+｜P＇｜>－｜A｜，又，∴｜PA｜+｜PF｜=－｜A｜，∴｜P＇A｜+｜P＇｜>｜PA｜+｜P｜。故，猜想正確。提出問(wèn)題：對(duì)于雙曲線、拋物線中呢，也有類似的問(wèn)題嗎？如：①設(shè)點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，右焦點(diǎn)F（2，0），點(diǎn)A（3，2），則｜PF｜+｜PA｜的最小值是＿＿＿＿，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）。②已知點(diǎn)A（2，1），P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，若｜PF｜+｜PA｜最小，求P點(diǎn)坐標(biāo)。說(shuō)明：在解決了這些問(wèn)題后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，并研究它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。在解決問(wèn)題后，進(jìn)行必要的拓展廷伸有著很大的作用。這對(duì)拓展學(xué)生的思維和加強(qiáng)學(xué)生對(duì)各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系都是不可缺少的手段。學(xué)會(huì)聯(lián)想，學(xué)會(huì)探索，舉一反三，并通過(guò)總結(jié)歸納，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力！練習(xí)：?jiǎn)栴}：已知P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），求｜PA｜的最小值。演變：①A（1，0）→A（4，0）；