江西省臨川實(shí)驗(yàn)學(xué)校2017-2018學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

臨川實(shí)驗(yàn)學(xué)校20172018學(xué)年度下學(xué)期高一期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，則∠B＝()A．105°B．60°C．15°D．105°或15°2．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lgeq\r(2)，B為銳角，則A為()A．30°B．45°C．60°D．90°3．設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a(chǎn)<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a(chǎn)<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b4．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊．若A＝eq\f(π,3)，b＝1，△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則a的值為()A．1B．2C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)5．若兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為An、Bn，且滿足eq\f(An,Bn)＝eq\f(4n＋2,5n－5)，則eq\f(a5＋a13,b5＋b13)的值為()A.eq\f(7,8)B.eq\f(7,9)C.eq\f(8,7)D.eq\f(19,20)6．關(guān)于x的不等式ax－b>0解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(－1,3)C．(1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)7．已知a<0，b<－1，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)>eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)B.eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC.eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>aD.eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2)8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a＞b，則∠B＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)9．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，則n的值為()A．9B．21C．2710．設(shè)a>0，b>0.若eq\r(3)是3a與3b的等比中項(xiàng)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．8B．4C．1D.eq\f(1,4)11．等差數(shù)列{an}中，S15>0，S16<0，則使an>0成立的n的最大值為()A．6B．7C．812．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x＋y等于()A．3B．4C．5二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上．)13．若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，a23＋a24>0，a23·a24<0，則使前n項(xiàng)和成立的最小自然數(shù)n是________．14．若銳角△ABC的面積為10eq\r(3)，且AB＝5，AC＝8，則BC等于________．15．已知關(guān)于x的不等式mx2＋x＋m＋3≥0的解集為{x|－1≤x≤2}，則實(shí)數(shù)m＝________.16．在△ABC中，已知，若a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，則的最大值為________．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)△ABC中，BC＝7，AB＝3，且eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(3,5).(1)求AC；(2)求角A.18．(本小題滿分12分)等差數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正整數(shù)，a1＝3，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{ban}是公比為64的等比數(shù)列．(1)求an與bn；(2)證明：eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)<eq\f(3,4).

19．(本小題滿分12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a－c＝eq\f(\r(6),6)b，sinB＝eq\r(6)sinC.(1)求cosA的值；(2)求的值．20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)＜0的解集；(2)若對(duì)一切x＞2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

21．(本小題滿分12分)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.22．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝1的等比數(shù)列，且an>0，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，又a5＋b3＝21，a3＋b5＝13.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

臨川實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中答案一、選擇題DABDAACACBCA1．解析：由正弦定理得sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(10×sin30°,5\r(2))＝eq\f(\r(2),2)∵c>a，∴C>A，∴C＝45°或135°當(dāng)C＝45°時(shí)，B＝180°－(A＋C)＝105°.當(dāng)C＝135°時(shí)，B＝180°－(A＋C)＝15°.故選D.2．解析：lgsinB＝－lgeq\r(2)＝lgeq\f(\r(2),2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2).又∵B為銳角，∴B＝45°.又lga－lgb＝lgeq\f(a,b)＝lgeq\f(\r(2),2)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(\r(2),2)，∴sinA＝eq\f(1,2)，a＜b，∴A＝30°.答案：A3．解析：∵0<a<b，∴a·a<ab.∴a<eq\r(ab).由基本不等式知eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)(a≠b)，又∵0<a<b，a＋b<b＋b，∴eq\f(a＋b,2)<b.∴a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<b.答案：B4．解析：由已知得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×c×sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，解得c＝2.故a2＝4＋1－2×2×1×coseq\f(π,3)＝3，得a＝eq\r(3).答案：D5．解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)得eq\f(a5＋a13,b5＋b13)＝eq\f(a1＋a17,b1＋b17)＝eq\f(A17,B17)＝eq\f(4×17＋2,5×17－5)＝eq\f(7,8).故選A.6．A7．解析：特殊值驗(yàn)證法，取a＝－1，b＝－2，則eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b2)＝eq\f(－1,4)，∴eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a，故選C.8．解析：由正弦定理知asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b可化為sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝eq\f(1,2)sinB，即sin(A＋C)＝eq\f(1,2)，故sinB＝eq\f(1,2)，由于a＞b，所以B為銳角，故B＝eq\f(π,6)，故選A.答案：A9．【解析】∵S3＝a1＋a2＋a3＝1，又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴3(a1＋an)＝1＋3，∴a1＋an＝eq\f(4,3).又Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(2,3)n＝18，∴n＝27，故選C.10．解析：∵eq\r(3)是3a與3b的等比中項(xiàng)，∴(eq\r(3))2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此時(shí)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥2＋2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)取等號(hào))，故選B.11．解析：∵S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝15a8>0，∴a8>0.∴S16＝eq\f(16a1＋a16,2)＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，∴a9<0，∴使an>0成立的最大值為8.答案：C12．解析：an＝5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2n－2－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))n－1＝5·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))n－1－\f(2,5)))2－eq\f(4,5).顯然當(dāng)n＝2時(shí)，an取得最小值，當(dāng)n＝1時(shí)，an取得最大值，所以x＝1，y＝2.答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上．)13、4714、715、－116、13．解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，a23＋a24>0，a23·a24<0，∴a23>0，a24<0，S46＝23(a1＋a46)＝23(a23＋a24)>0S47＝eq\f(47a1＋a47,2)＝47·a24<0S45＝eq\f(45a1＋a45,2)＝45a23>0，∴的最大自然數(shù)n＝47.答案：4714．【解析】由正弦定理，得S＝eq\f(1,2)×AB×AC×sinA＝10eq\r(3)，∴sinA＝eq\f(20\r(3),5×8)＝eq\f(\r(3),2).∵A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＝eq\f(π,3).由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cosA＝25＋64－2×5×8×coseq\f(π,3)＝49，∴BC＝7.15．解析：由題意，得，解得m＝－1.答案：－116．解析：因?yàn)閟inAsinCcosB＋sinBsinCcosA＝sinC(sinAcosB＋cosAsinB)＝sinCsin(A＋B)＝sin2C，所以sinAsinBcosC＝sin2C，由正弦定理可得abcosC＝c2，由余弦定理可得ab·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝c2，從而3c2＝a2＋b2≥2ab，即eq\f(ab,c2)≤eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．解析：(1)由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(3,5).∴AC＝eq\f(5×3,3)＝5.(2)由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2).又0°<A<180°，∴A＝120°.18．解析：(1)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù)，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ban＋1,ban)＝\f(q3＋nd－1,q3＋n－1d－1)＝qd＝64＝26①,S2b2＝6＋dq＝64))由(6＋d)q＝64知q為正有理數(shù)，又由q＝2eq\f(6,d)知，d為6的因子1,2,3,6之一，解①得d＝2，q＝8，故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)證明：Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))<eq\f(3,4)∴eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)<eq\f(3,4)19．解：(1)在△ABC中，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，及sinB＝eq\r(6)sinC，可得b＝eq\r(6)c.又a－c＝eq\f(\r(6),6)b，有a＝2c.所以，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6c2＋c2－4c2,2\r(6)c2)＝eq\f(\r(6),4).(2)在△ABC中，由cosA＝eq\f(\r(6),4)，可得sinA＝eq\f(\r(10),4).于是，cos2A＝2cos2A－1＝－eq\f(1,4)，sin2A＝2sinA·cosA＝eq\f(\r(15),4).所以，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝cos2A·coseq\f(π,6)＋sin2A·sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(15)－\r(3),8).20．解析：(1)g(x)＝2x2－4x－16＜0，∴(2x＋4)(x－4)＜0，∴－2＜x＜4，∴不等式g(x)＜0的解集為{x|－2＜x＜4}．(2)∵f(x)＝x2－2x－8.當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．∴對(duì)一切x＞2，均有不等式eq\f(x