第06講矩形（3大考點(diǎn)9種題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

第06講矩形1.經(jīng)歷探索矩形的概念與性質(zhì)的過程，在直觀操作活動(dòng)和簡(jiǎn)單的說理過程中發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，主觀探索習(xí)慣，逐步掌握說理的基本方法.2.知道解決矩形問題的基本思想是化為三角形問題來解決，滲透轉(zhuǎn)化思想.一．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．二．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個(gè)四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對(duì)角線有關(guān)，通常證這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．②題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直時(shí)，常采用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．三．矩形的判定與性質(zhì)（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識(shí)其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形，進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對(duì)稱圖形、內(nèi)角都是直角、對(duì)角線相等．同時(shí)平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有．在處理許多幾何問題中，若能靈活運(yùn)用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡(jiǎn)捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題．（2）下面的結(jié)論對(duì)于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等．題型一：利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)一、填空題1．（2023下·江蘇南京·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，對(duì)角線的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，垂足為，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】連接，設(shè)，則，在中，勾股定理，即可求解．【詳解】解：連接，設(shè)，則，

是的中垂線，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，F(xiàn)是邊上的一點(diǎn)，，E是邊的中點(diǎn)，平分，則的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】過點(diǎn)E作交于點(diǎn)M，連接,證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到證明,得到得到，再根據(jù)勾股定理即可得到的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】過點(diǎn)E作交于點(diǎn)M，連接,

∵是矩形，，，∵平分，，又∵在和中，,∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．二、解答題3．（2022下·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，平分．

(1)是否為等腰三角形？為什么？(2)若，，求長(zhǎng)．【答案】(1)是等腰三角形，理由見解析(2)的長(zhǎng)是【分析】（1）是等腰三角形，理由是：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)推出，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求出，進(jìn)一步求出，得出，推出，根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】（1）是等腰三角形，理由如下：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，由勾股定理得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)矩形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握才，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．4．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，且平分．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)是等腰三角形，理由見解析(2)【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和角平分線平分角，推出，即可得到，即可得出結(jié)論；（2）易得為等腰直角三角形，求出的長(zhǎng)，即可得出的長(zhǎng)，利用，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：∵矩形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，由（1）知，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握矩形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．題型二：利用矩形的性質(zhì)求角度一、填空題1．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形的位置，旋轉(zhuǎn)角為，若，則．

【答案】/15度【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用對(duì)頂角相等得到，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為可計(jì)算出，然后利用互余即可得到的度數(shù)．【詳解】如圖，

∵四邊形為矩形，∴，∵矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．2．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段上，且，若，則．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把矩形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，連接，若，則°．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，即可求出的度數(shù)，再根據(jù)角度和差即可求解．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，熟練掌握旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、解答題4．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接．(1)求證：；(2)當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出，推出，再由即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，在中，，；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，∵，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、證明是解題的關(guān)鍵．題型三：利用矩形的性質(zhì)證明一、解答題1．（2023下·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，E、F分別為邊和上的點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合“”即可求證；（2）根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”即可求證．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形∴在和中∴；（2）證明：∵四邊形是矩形∴，即∵∴∴∴∵，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定．掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形中，為上兩點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】由矩形的性質(zhì)可得,然后利用判定可得,然后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】證明：∵為矩形，∴．∵，∴．∴．∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．掌握全等三角形的判定方法（即和）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接．

(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）可證，從而可得，由即可求證；（2）設(shè)，可得，，，由可求，再由即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，E為的中點(diǎn)，，在和中，（），，，．（2）解：四邊形是矩形，，，，設(shè)，由（1）得：，，，，在中：，，解得：，，在中：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型四：利用矩形的性質(zhì)求面積一、單選題1．（2023下·江蘇南京·八年級(jí)校考階段練習(xí)）矩形中，為上任一點(diǎn)，連接，，為中線，為上一點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)．若矩形的面積為12，則四邊形的面積為（

）

A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正確【答案】A【分析】連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)為中線，可得，，根據(jù)，可得，，，即有，進(jìn)而可得，，，即可得，問題隨之得解．【詳解】連接，如圖，

∵面積為矩形面積的一半，矩形的面積為12，∴，∵為中線，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形的面積為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，得出，且等高的兩個(gè)三角形面積之比等于其底之比，是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小明同學(xué)在數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)課上用圖1的“七巧板”，設(shè)計(jì)拼成了圖2的飛船，則飛船模型面積與矩形框的面積之比為．【答案】/【分析】設(shè)正方形④的邊長(zhǎng)為，表示出七巧板的面積和矩形框的面積，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)正方形④的邊長(zhǎng)為，則①和②的直角邊長(zhǎng)為，③和⑤的直角邊長(zhǎng)為，⑥的短邊長(zhǎng)為，圖1中七巧板的面積為，即飛船模型的面積為，矩形框中，的長(zhǎng)可以看成①和②的直角邊加上⑥的短邊長(zhǎng)，，矩形框的面積為，飛船模型面積與矩形框的面積之比為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的剪拼、七巧板、矩形的面積，理解七巧板哥哥圖形邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．三、解答題3．（2023下·江蘇無錫·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，連接，為線段的中點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求四邊形的面積【答案】(1)見詳解(2)36【分析】（1）由四邊形是平行四邊形，得，而點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，即知，從而四邊形是平行四邊形；（2）由，，，得，，，四邊形是平行四邊形，得，從而，即可得四邊形的面積為36．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，又，四邊形是平行四邊形，（2）解：由（1）得：四邊形是平行四邊形∵∴四邊形是矩形，，，，，，，∴四邊形是平行四邊形，，，四邊形的面積，答：四邊形的面積為36．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及矩形的判定，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理，證明．4．（2023下·江蘇無錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，將此矩形沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，連接，B、F、E三點(diǎn)恰好在一直線上．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，，求矩形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，推出，進(jìn)而得到，推出，即可得證；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，證明為等腰直角三角形，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，從而得到的長(zhǎng)，利用矩形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊知，∴，又∵B、F、E三點(diǎn)在一直線上，∴．∴，∴為等腰三角形．（2）解：∵矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴矩形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的折疊問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．題型五：利用矩形的定義判定矩形1．（2022下·遼寧盤錦·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接、．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)即可證明矩形；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，利用勾股定理的逆定理證明，利用三角形的面積求出，再利用矩形的性質(zhì)可得．【詳解】（1）解：證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．∵．∴，即，∴，，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴，∴是矩形．（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，．∴的面積，即，解得：，∵四邊形是矩形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理以及三角形面積等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型六：利用對(duì)角線特征判定矩形1．（2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，平行四邊形，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)E，使，連接、和，設(shè)交于點(diǎn)O，

(1)求證：四邊形是平行四邊形(2)試證明當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解；【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形得到，，結(jié)合即可得到，即可得到證明；（2）根據(jù)四邊形是平行四邊形得到，結(jié)合，，從而得到即可得到，結(jié)合四邊形是平行四邊形即可得到，即可得到證明；【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)外角關(guān)系，解題的關(guān)鍵是得到．題型七：利用三個(gè)角是直角判定矩形1．（2023上·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，菱形中的對(duì)角線相交于點(diǎn)，，．求證：四邊形是矩形．

【答案】見解析【分析】由菱形的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可得，即可得證．【詳解】證明：∵菱形中的對(duì)角線相交于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、矩形的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、矩形的判定是解題的關(guān)鍵．題型八：折疊問題一、解答題1．（2023下·江蘇常州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D①，在矩形中，已知，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接，把沿著翻折得到．

(1)如圖②，射線恰好經(jīng)過點(diǎn)B．試求此時(shí)t的值．(2)當(dāng)射線與邊交于點(diǎn)Q時(shí)，是否存在這樣的t的值，使得？若存在，請(qǐng)求出所有符合題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)存在這樣的t值，使得QE=QB，t的值為秒或10秒．【分析】（1）先證明，得，根據(jù)勾股定理得，由，可得結(jié)論；（2）分兩種情況：點(diǎn)E在矩形的內(nèi)部時(shí)，先求解，再過點(diǎn)P作于H，過點(diǎn)Q作于G，求得，，再建立方程求解即可；當(dāng)點(diǎn)E在矩形的外部，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖1，矩形，

∴，由軸對(duì)稱得：，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴；（2）解：存在，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖，

∵，而，由（1）同理可得：，∴，∵，∴，∴，如圖，過點(diǎn)P作于H，過點(diǎn)Q作于G，∴，而，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴

∴，解得：；經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；當(dāng)點(diǎn)E在矩形的外部時(shí)，如圖，

∵，同理：，∵，∴，∴，∴，∴，（此時(shí)P與C重合），綜上，存在這樣的t值，使得QE=QB，t的值為秒或10秒．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、幾何動(dòng)點(diǎn)問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)正確畫出圖形，學(xué)會(huì)分類討論，充分利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決問題．2．（2023下·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊后得到，且點(diǎn)在四邊形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．（保留根號(hào)，無需化簡(jiǎn)）【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，，再證明，即有，問題隨之得證；（2）設(shè)，由折疊可知，由（1）知，有，根據(jù)點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，分，或，，兩種情況討論，利用勾股定理即可列方程求解．【詳解】（1）將沿折疊后得到，，，，，，，，，在和中，，，，，即，得證．（2）設(shè)，由折疊可知，由（1）知，，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，或，或，，或，或，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握直角三角形全等的判定，是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿著直線折疊，得到．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D2上僅用圓規(guī)，在邊上作出一點(diǎn)P，使P、E、C三點(diǎn)在一直線上（不寫作法，保留作圖痕跡），此時(shí)的長(zhǎng)為_____；(2)請(qǐng)?jiān)趫D3上用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，在邊上作出一點(diǎn)P，使平分（不寫作法，保留作圖痕跡），此時(shí)的面積為_____．【答案】(1)見解析，4(2)見解析，20【分析】（1）以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，則，而，再利用勾股定理求出即可求解．（2）以為邊在矩形內(nèi)作等邊三角形，作的角平分線與交于點(diǎn)，則平分，作，然后求出，從而得到的面積．【詳解】（1）如圖2，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，則，∵矩形，∴，∴，∴，∴P、E、C三點(diǎn)在一直線上，則點(diǎn)為所作；，，；故答案為：4；

（2）如圖3，以為邊在矩形內(nèi)作等邊三角形，作的角平分線與交于點(diǎn)，則平分，點(diǎn)為所作，過作于，為等邊三角形，，，，，．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．4．（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O于坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，，將矩形沿折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合．(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P從O出發(fā)，沿折線方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)終點(diǎn)E時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的條件下，當(dāng)P在線段上，且時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P、E、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)；(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程得：，解出可得結(jié)論；（2）分兩種情況：P在或上，分別根據(jù)三角形面積列式即可；（3）分類討論，當(dāng)為邊時(shí)，如圖4，過G作于H，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程可得y的值，利用面積法計(jì)算的長(zhǎng)，得G的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移規(guī)律可得Q的坐標(biāo)；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，借助中點(diǎn)坐標(biāo)法即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，綜上即可得出點(diǎn)Q所有可能性．【詳解】（1）解：在矩形中，，∴，由折疊的性質(zhì)得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，∴解得：，即，∴；（2）解：分兩種情況：①當(dāng)P在上時(shí)，，如圖2，

由題意知：，，，，∴，，②當(dāng)P在上時(shí)，，如圖3，

由題意知：∴；綜上所述：；（3）解：當(dāng)為邊時(shí)，如圖4所示，過G作于H，

∵，∴，設(shè)，則，由折疊得：，，由勾股定理得：，∴，解得：，∴，∴，∴，解得：，由勾股定理得：，∴，∴，∵點(diǎn)P、E、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，且，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如圖5所示：過點(diǎn)G作交于點(diǎn)H，

由上述可知：，，，設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)可得：，解得：，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】此題考查四邊形綜合題，矩形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理、中點(diǎn)坐標(biāo)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．5．（2023下·江蘇無錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折，得到．

(1)當(dāng)平分時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)連接，當(dāng)時(shí)，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義易得，可證明，，在中，由勾股定理即可獲得答案；（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，結(jié)合矩形的性質(zhì)易得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得，，，即可證明為等腰三角形；設(shè)，則，在中，由勾股定理得，代入求解可得，，易知，即可獲得答案．【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)得，∴，∵平分，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，即，∵，∴在中，可得，即，∴；（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得，，∴，，，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，在中，由勾股定理得，即，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型九：矩形的性質(zhì)與判定綜合一、解答題1．（2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②75°【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證AC=BD，即可得出結(jié)論；（2）①先證明△ADE是等腰直角三角形，再證得，即可得出結(jié)論；②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，AD＝BC∴四邊形ABCD是平行四邊形

∴BD＝2OB

∵AC＝2OB∴AC＝BD∴四邊形ABCD是矩形（2）①證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO

∵AE平分∠BAD∴∠DAE＝45°

∴∠DEA＝45∴DA＝DE

又∵∠OAE＝15°∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°

∴DA＝DO＝AO∴DA＝DO＝DE

②解：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上動(dòng)點(diǎn)，且，連接AE、CF．(1)試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；(2)連接AC，若，，E為BC中點(diǎn)，試求四邊形AECF的面積．【答案】(1)平行四邊形，理由見解析(2)48【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得，，再由可得AF與EC平行且相等，進(jìn)而可以證明四邊形AECF是平行四邊形；（2）證明四邊形AECF是矩形，由矩形的面積可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∵，∴，又∵，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：∵AB=AC，E為BC的中點(diǎn)，∴，∴，由（1）知四邊形AECF是平行四邊形，∴四邊形AECF是矩形，∵BC=12，∴EC=6，∴，∴四邊形AECF的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定，證明四邊形AECF是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖在矩形中，，，點(diǎn)P，Q分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)E是折線段上一點(diǎn)（含端點(diǎn)）．沿所在直線折疊矩形，已知點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好落在矩形的邊上，求出的長(zhǎng)；

【答案】或3【分析】分當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，利用勾股定理和等腰三角形與矩形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵矩形，，，∴，，，，∵為的中點(diǎn)，∴，如圖當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，，過作于，∴四邊形為矩形，∴，，∴，，

在中，，解得：；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，連接、，

由對(duì)折可得：，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴．綜上所述，或3．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握以上基礎(chǔ)的幾何知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．4．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，．延長(zhǎng)到E，使，連接，由直角三角形的性質(zhì)可知．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)時(shí)，___________；(2)當(dāng)___________時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的角平分線上；(3)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示的面積S．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意可得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，此時(shí)，即可求解；（2）根據(jù)，可得四邊形為矩形，根據(jù)角平分線的定義可得，得到再根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，即可求解；（3）根據(jù)題意，分三種情況討論，當(dāng)在線段上，當(dāng)在線段上，當(dāng)在線段上時(shí)，分別用含的代數(shù)式表示即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，因?yàn)椋渣c(diǎn)在線段上，此時(shí)；（2）作的角平分線，交于點(diǎn)

∴∵，∴四邊形為矩形，∴∴∴∴∴由題意可得：點(diǎn)與點(diǎn)重合，走過的路程為∴，解得即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的角平分線上；（3）根據(jù)題意，分三種情況討論：①當(dāng)在線段上時(shí)，此時(shí)②當(dāng)在線段上時(shí)，此時(shí)③當(dāng)在線段上時(shí)，此時(shí)綜上【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．5．（2022下·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)詳見解析；(2)75°；(3)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)易證∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）由矩形和角平分線的性質(zhì)得出∠CDE＝∠CED＝45°，則EC＝DC，推出∠CDO＝60°，證明△OCD是等邊三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出結(jié)果；（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴EC＝DC，又∵∠BDE＝15°，∴∠CDO＝60°，又∵矩形的對(duì)角線互相平分且相等，∴OD＝OC，∴△OCD是等邊三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，∵CO＝CE，∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，由（1）可知，∠OCB＝30°，∴AC=2AB=4，∴，∴矩形OEC的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共8小題）1．（2023春?宜興市月考）如圖，要使平行四邊形成為矩形，需要添加的條件是A． B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的判定定理①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）逐一判斷即可．【解答】解：、四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是菱形，不能推出四邊形是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；、，平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)正確，符合題意；、四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；、根據(jù)和平行四邊形不能得出四邊形是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)矩形的判定定理的應(yīng)用，注意：矩形的判定定理有：①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．2．（2023春?如東縣期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的長(zhǎng)是A．3 B． C． D．4【分析】根據(jù)勾股定理求得，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得出．【解答】解：四邊形是矩形，，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?江都區(qū)月考）如圖，是矩形的邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊、的長(zhǎng)分別為3和4，那么點(diǎn)到矩形的兩條對(duì)角線和的距離之和是A． B． C． D．【分析】首先連接，由矩形的兩條邊、的長(zhǎng)分別為3和4，可求得，的面積，然后由求得答案．【解答】解：連接，矩形的兩條邊、的長(zhǎng)分別為3和4，，，，，，，，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形面積問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2023春?惠山區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為A．1 B．1.5 C．2 D．2.4【分析】以為邊在右側(cè)作等邊三角形，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用全等三角形的性質(zhì)證明，所以，推出點(diǎn)在過定點(diǎn)且與垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求出的長(zhǎng)即可解決問題．【解答】解：如圖，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在矩形中，，，，，是等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，，點(diǎn)在過定點(diǎn)且與垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，是等邊三角形，，，，，當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，綜上所述：，的最小值為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．5．（2023春?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，要使平行四邊形成為矩形，需添加的條件是A． B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的判定定理逐一判斷即可．【解答】解：．添加，可判斷平行四邊形為菱形，不符合題意；．添加，可判斷平行四邊形為菱形，不符合題意；．添加，可判斷平行四邊形為矩形，符合題意；．添加，可判斷平行四邊形為菱形，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．6．（2023春?鹽城期中）下列性質(zhì)中，矩形不一定具有的是A． B． C． D．【分析】由四邊形是矩形，而矩形的相鄰兩邊不一定相等，可知與不一定相等，可判斷符合題意；由矩形的性質(zhì)得，，，可判斷不符合題意，不符合題意，不符合題意，于是得到問題的答案．【解答】解：四邊形是矩形，而矩形的相鄰兩邊不一定相等，與不一定相等，故符合題意；矩形的兩組對(duì)邊分別平行、四個(gè)角都是直角且對(duì)角線相等，，，，故不符合題意，不符合題意，不符合題意，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)，正確理解和應(yīng)用矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?盱眙縣校級(jí)月考）如圖，在矩形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，垂足為，若，則的長(zhǎng)是A． B． C． D．【分析】由矩形的性質(zhì)得，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得，則，得，然后由勾股定理即可求解．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，求出是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?高郵市月考）如圖，在中，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)不與、重合），于，于，為中點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】證明四邊形是矩形，得，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，然后求出的最小值可得的最小值，又由，即可求得的取值范圍．【解答】解：如圖，連接，在中，，，，，于，于，，四邊形是矩形，，為中點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有最小值，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）9．（2023春?鹽城期中）矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，如圖，已知，，則為6．【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線平分且相等和直角三角形中角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可以求得的長(zhǎng)．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，，，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形紙片中，，為上一點(diǎn)，平分，，則的長(zhǎng)為5．【分析】根據(jù)勾股定理求出，再證明，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：矩形紙片，，，，，，平分，，，，，，，，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題意得出，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．11．（2023春?新吳區(qū)期末）平行四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，要使平行四邊形是矩形請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件任意寫出一個(gè)正確答案即可（如或．【分析】矩形是特殊的平行四邊形，矩形有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是：矩形的對(duì)角線相等，矩形的四個(gè)內(nèi)角是直角；可針對(duì)這些特點(diǎn)來添加條件．【解答】解：若使變?yōu)榫匦?，可添加的條件是：；（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）等．（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），故答案為：任意寫出一個(gè)正確答案即可（如或【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與矩形的判定，熟練掌握矩形是特殊的平行四邊形是解題關(guān)鍵．12．（2023春?啟東市期中）如圖，在矩形中，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，，，為垂足，連接．若，，，則的最小值是7.5．【分析】連接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，然后證四邊形是矩形，得，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即可求解．【解答】解：連接、、，如圖所示：四邊形是矩形，，，，是線段的中點(diǎn)，，，，，四邊形是矩形，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，的最小值是7.5，故答案為：7.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，求出的最小值是解題的關(guān)鍵．13．（2023春?秦淮區(qū)期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的長(zhǎng)是13．【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，即可得出答案．【解答】解：連接，過作軸于，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，由勾股定理得：，四邊形是矩形，，，故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)矩形的性質(zhì)得出是解此題的關(guān)鍵．14．（2023春?東臺(tái)市月考）如圖，在矩形中，、交于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則35．【分析】由矩形的性質(zhì)得出，得出，由直角三角形的性質(zhì)求出，即可得出答案．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，；故答案為：35．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023春?玄武區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，若，，則經(jīng)過2或10秒后，四邊形是矩形．【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，則，由平行四邊形的性質(zhì)得或，再根據(jù)列方程或，求出的值即可．【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，四邊形是平行四邊形，，，，，，，或，四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，，或，或，經(jīng)過2秒或10秒，四邊形是矩形，故答案為：2或10．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線邊形的性質(zhì)、矩形的判定、動(dòng)點(diǎn)問題的求解等知識(shí)與方法，正確地用代數(shù)式表示、的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?鹽城期末）如圖，過四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)角線、的平行線，如所圍成的四邊形是矩形，則原四邊形需滿足的條件是．（只需寫出一個(gè)符合要求的條件）【分析】根據(jù)平行公理的推論求出，，推出平行四邊形，證出即可．【解答】解：添加的條件是，，，，同理，四邊形是平行四邊形，，，，，，，平行四邊形是矩形，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)矩形的判定，平行四邊形的判定，平行公理及推論等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出平行四邊形和是解此題的關(guān)鍵．17．（2023春?宿遷期末）如圖，矩形中，，，點(diǎn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則線段長(zhǎng)的最小值為．【分析】連接，由矩形的性質(zhì)和勾股定理得，再證四邊形為矩形，得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，然后由面積法求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【解答】解：連接，如圖所示：四邊形是矩形，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，四邊形為矩形，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、最小值問題以及面積法等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023春?海安市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是腰長(zhǎng)為15的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【分析】當(dāng)是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論．【解答】解：由題意，當(dāng)是腰長(zhǎng)為15的等腰三角形時(shí)，有三種情況：（1）如答圖①所示，，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，由勾股定理得：，，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）如答圖②所示，．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，由勾股定理得：，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）如答圖③所示，，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，由勾股定理得：，，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或；故答案為：或或．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)是腰長(zhǎng)為15的等腰三角形進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）19．（2023春?江寧區(qū)月考）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求證：四邊形是矩形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，由角平分線的定義得出，則，可證出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，平分，平分，，，，，又，四邊形是平行四邊形．．（2），平分，，又四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023春?金壇區(qū)期中）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接，．如果是的中點(diǎn)，那么當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形？證明你的結(jié)論．【分析】（1）證明，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由，，可證四邊形是平行四邊形，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可知，進(jìn)而可得，的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）證明：由題意得，，，，在和中，，，；（2）解：時(shí)，四邊形是矩形，證明如下：如圖，，，四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，是的中點(diǎn)，，四邊形是矩形，時(shí)，四邊形是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．21．（2023春?淮安區(qū)期中）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)、分別在、上，且，連接、．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，求的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可完成證明；（2）結(jié)合（1）證明四邊形是菱形，可得，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．【解答】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，四邊形是矩形，，在中，，，根據(jù)勾股定理得：，，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理解答．22