內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等．例如“百層球堆垛”：第一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，第五層有15個球，…，各層球數(shù)之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差數(shù)列．現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前6項分別為1，3，6，12，23，41，則該數(shù)列的第8項為（）A.51 B.68C.106 D.1572．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°3．二次方程的兩根為2，，那么關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.4．已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點，為銳角，且，則（）A. B.C. D.5．某次生物實驗6個小組的耗材質(zhì)量（單位：千克）分別為1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.656．（一）單項選擇函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于（）A.0 B.C.1 D.e7．若點，在拋物線上，是坐標(biāo)原點，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.8．用斜二測畫法畫出邊長為2的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為（）A. B.C.4 D.9．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.10．若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A. B.C. D.12．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，分別帶著A、B、C、D、E五個不同的禮物參加“抽盲盒”學(xué)游戲，先將五個禮物分別放入五個相同的盒子里，每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點（1，1）處的切線方程為_____14．已知實數(shù)，滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為__________.15．如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是____________．16．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為正三角形，分別是的中點，，則球的體積為_________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在時有極值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值.18．（12分）已知橢圓焦距為，點在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線與C交于M，N兩點，點R是直線上任意一點，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的方程19．（12分）（1）求過點，且與直線垂直的直線方程；（2）甲，乙，丙等7名同學(xué)站成一排，若甲和乙相鄰，但甲乙二人都不和丙相鄰，則共有多少種不同排法？20．（12分）已知過點的圓的圓心M在直線上，且y軸被該圓截得的弦長為4（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點，若點P為x軸上一動點，求的最小值，并寫出取得最小值時點P的坐標(biāo)21．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)x=2是函數(shù)f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，.22．（10分）已知橢圓的左焦點與拋物線的焦點重合，橢圓的離心率為，過點作斜率不為0的直線，交橢圓于兩點，點，且為定值（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】對高階等差數(shù)列按其定義逐一進(jìn)行構(gòu)造數(shù)列，直到出現(xiàn)一般等差數(shù)列為止，再根據(jù)其遞推關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前6項分別為1，3，6，12，23，41，各項與前一項之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差數(shù)列，所以，故選：C2、B【解析】以為空間的一個基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B3、B【解析】根據(jù)，確定二次函數(shù)的圖象開口方向，再由二次方程的兩根為2，，寫出不等式的解集.【詳解】因為二次方程的兩根為2，，又二次函數(shù)的圖象開口向上，所以不等式的解集為或，故選：B4、C【解析】根據(jù)角終邊上有一點，得到，再根據(jù)為銳角，且，求得，再利用兩角差的正切函數(shù)求解.【詳解】因為角終邊上有一點，所以，又因為為銳角，且，所以，所以，故選：C5、D【解析】將已有數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義確定該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】由題設(shè)，將數(shù)據(jù)從小到大排序可得：，∴中位數(shù)為.故選：D.6、B【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，故選；B7、A【解析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長，根據(jù)角度求得點的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為，則，解得根據(jù)拋物線的對稱性可知，且，設(shè)點在軸上方，則點的坐標(biāo)為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A8、A【解析】畫出直觀圖，求出底和高，進(jìn)而求出面積.【詳解】如圖，，，，過點C作CD⊥x軸于點D，則,所以直觀圖是底為2、高為的平行四邊形，所以面積為.故選：A.9、A【解析】先化簡函數(shù)表達(dá)式，然后再平移即可.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象.故選：A10、B【解析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B11、D【解析】要求函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標(biāo),關(guān)鍵是求函數(shù)時的的值;令,根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得,此時可求出,然后對進(jìn)行取值,進(jìn)而結(jié)合選項即可得到答案.【詳解】解:令,則解得,即,圖象的對稱中心為,令,即可得到圖象的一個對稱中心為故選:D【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱中心,正弦函數(shù)的對稱中心為,余弦函數(shù)的對稱中心為.12、D【解析】利用排列組合知識求出每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的情況個數(shù)，以及五人抽取五個禮物的總情況，兩者相除即可.【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己禮物，有種情況，接下來的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對，兩個人都拿到對方的禮物，有種情況，另一種是四個人都拿到另外一個人的禮物，不是兩兩一對，都拿到對方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個禮物總數(shù)為種情況，故恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點斜式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以曲線在點（1，1）處的切線的斜率為，所以所求切線方程為：，即.故答案為：.14、##【解析】畫出可行域，通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界來求得的最大值.【詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)時，取得最大值.故答案為：15、【解析】分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，即異面直線A1M與DN所成角的大小是考點：異面直線所成的角16、【解析】由已知設(shè)出，，，分別在中和在中運用余弦定理表示，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，再在中運用勾股定理得到關(guān)于x與y的又一關(guān)系式，聯(lián)立可解得x，y，從而分析出正三棱錐是，，兩兩垂直的正三棱錐，所以三棱錐的外接球就是以為棱的正方體的外接球，再通過正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求出球的半徑，再求出球的體積.【詳解】在中，設(shè)，，，,，因為點，點分別是，的中點，所以，，在中，，在中，，整理得，因為是邊長為的正三角形，所以，又因為，所以，由，解得，所以又因為是邊長為的正三角形，所以，所以，所以，，兩兩垂直，則球為以為棱的正方體的外接球，則外接球直徑為，所以球的體積為,故答案為.【點睛】本題主要考查空間幾何體的外接球的體積，破解關(guān)鍵在于熟悉正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，運用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱錐的棱的關(guān)系，繼而分析出正三棱錐的外接球是以正三棱錐中互相垂直的三條棱為棱的正方體的外接球，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求解更方便快捷，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）最小值為0，最大值為4.【解析】（1）對求導(dǎo)，根據(jù)在時有極值0，得到，再求出，的值；（2）由（1）知，，然后判斷的單調(diào)性，再求出的值域【詳解】解：（1），由題知：聯(lián)立（1）、（2）有(舍)或.當(dāng)時在定義域上單調(diào)遞增，故舍去；所以，，經(jīng)檢驗，符合題意（2）當(dāng)，時，故方程有根或由，得或由得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，，減區(qū)間為：.函數(shù)在取得極大值，在取極小值；經(jīng)計算，，，，所以最小值為0，最大值為4.18、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為解出，再把點代入橢圓方程中，即可解出答案.（2）根據(jù)題意求出當(dāng)直線與軸重合時，由求出值，即求出的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時，上任意一點均使，設(shè)出直線方程與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，化簡得證，即可得到答案.【小問1詳解】.由于點在橢圓C上，則故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線與軸重合時，是橢圓的左右頂點，不妨設(shè)，設(shè)，則是上的任意一點，即方程對任意實數(shù)都成立，此時的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時，上任意一點均使即可，設(shè)直線的方程為，，設(shè)則由y得證.故的方程為.19、（1）；（2）960【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)要求直線為，將點的坐標(biāo)代入，求出的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將除甲乙丙之外的4人全排列，再將甲乙看成一個整體，與丙一起安排在4人的空位中，由分步計數(shù)原理計算可得答案【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)所求直線為，又由所求直線經(jīng)過點，即，則，即所求直線；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將除甲乙丙之外的4人全排列，有種排法，再將甲乙看成一個整體，與丙一起安排在4人的空位中，有種排法，則有種排法20、（1）（2），【解析】（1）用待定系數(shù)法設(shè)出圓心，根據(jù)圓過點和弦長列出方程求解即可；（2）當(dāng)三點共線時有最小值，求出直線MN的方程，令y=0即可.【小問1詳解】由題意可設(shè)圓心，因為y軸被圓M截得的弦長為4，所以，又，則，化簡得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】點關(guān)于x軸的對稱點為，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，三點共線時等號成立，因為，則直線的方程為，即，令，得，則21、（1），的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析；【解析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，令，即證，，又，所以即證，令，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，即可得解；【詳解】解：（1）因為，定義域為，所以，因為是函數(shù)的極值點，所以，所以，解得，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，所以上單調(diào)遞增，綜上可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：依題意即證，即證，令，則，所以即證，因為，所以即證，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，所以，所以當(dāng)時，22、(1)（2）【解析】（1）由拋物線焦點可得c，再根據(jù)離心率可得a，即得b；（2）先設(shè)直線方程x=ty+m，根據(jù)向量數(shù)量積表示，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡可得為定值的條件，解出m；根據(jù)點到直線距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據(jù)面積公式可得關(guān)于t的函數(shù)，最后根據(jù)基本不等式求最值【詳解】試題解析：解：（1）設(shè)F1（﹣c，0），