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云南省建水縣四校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列中,首項(xiàng)為數(shù)列的前項(xiàng)和,且,則()A. B.C. D.2.已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn),是它們一個(gè)交點(diǎn),且,記橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的最大值為A.3 B.2C. D.3.已知,則()A. B.1C. D.4.已知直線,兩個(gè)不同的平面,下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則5.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A. B.1C. D.6.等比數(shù)列的公比,中有連續(xù)四項(xiàng)在集合中,則等于()A. B.C D.7.已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓的切線,A,B為切點(diǎn),C為圓心,那么四邊形PACB的面積的最小值是()A2 B.C.3 D.8.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn),且,則當(dāng)取最大值時(shí)的值為()A. B.C. D.9.“若”為真命題,那么p是(
)A. B.C. D.10.兩個(gè)圓和的位置是關(guān)系是()A.相離 B.外切C.相交 D.內(nèi)含11.某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示:污染指數(shù)3060100110130140概率其中污染指數(shù)時(shí),空氣質(zhì)量為優(yōu);時(shí),空氣質(zhì)量為良;時(shí),空氣質(zhì)量為輕微污染,該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為()A. B.C. D.12.?dāng)?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,為其前n項(xiàng)和.若對(duì)任意的,都有,則的值不可能是()A. B.2C. D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某學(xué)校要從6名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任進(jìn)博會(huì)志愿者,則所選3人中男女生都有的概率為_(kāi)__________.(用數(shù)字作答)14.已知向量,,若與垂直,則___________.15.教育部門(mén)對(duì)某校學(xué)生的閱讀素養(yǎng)進(jìn)行調(diào)研,在該校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行百分制檢測(cè),現(xiàn)將所得的成績(jī)按照,分成6組,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出了頻率分布直方圖(如圖所示),則成績(jī)?cè)谶@組的學(xué)生人數(shù)是________.16.直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為,直線是線段AB的垂直平分線,若,D為垂足,則D點(diǎn)的軌跡方程是______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知點(diǎn)A,B是橢圓C的上,下頂點(diǎn),點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn),直線PA與橢圓C的另一交點(diǎn)為E,直線PB與橢圓C的另一交點(diǎn)為F.證明:直線EF過(guò)定點(diǎn)18.(12分)兩人下棋,每局均無(wú)和棋且獲勝的概率為,某一天這兩個(gè)人要進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝的比賽,勝者贏得2700元獎(jiǎng)金,(1)分別求以獲勝、以獲勝的概率;(2)若前兩局雙方戰(zhàn)成,后因?yàn)槠渌露K止比賽,間,怎么分獎(jiǎng)金才公平?19.(12分)已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線漸近線方程;(2)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性.21.(12分)已知p:關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解,.(1)若命題p為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22.(10分)如圖,三棱柱中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1,(1)設(shè),,,用向量表示,并求出的長(zhǎng)度;(2)求異面直線與所成角的余弦值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】當(dāng)時(shí),,故可以得到,因?yàn)椋M(jìn)而得到,所以是等比數(shù)列,進(jìn)而求出【詳解】由,得,得,又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),且,∴,∴,即∴數(shù)列是首項(xiàng),公比的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和,得,故選:C.2、D【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)a2,焦距2c.根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1,a2表示出|PF1|,|PF2|,在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到,利用基本不等式可得結(jié)論【詳解】如圖,設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a2,則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義:|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|﹣|PF2|=2a2,∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1﹣a2,設(shè)|F1F2|=2c,∠F1PF2=,則:在△PF1F2中,由余弦定理得,4c2=(a1+a2)2+(a1﹣a2)2﹣2(a1+a2)(a1﹣a2)cos∴化簡(jiǎn)得:a12+3a22=4c2,該式可變成:,∴≥2∴,故選D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征,考查通過(guò)橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長(zhǎng),考查利用基本不等式求最值問(wèn)題,屬于中檔題3、B【解析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得,再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出【詳解】因?yàn)?,所以故選:B4、A【解析】根據(jù)線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),根據(jù)面面垂直的判定定理可知,A選項(xiàng)正確,對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng),時(shí),和可能相交,B選項(xiàng)錯(cuò)誤,對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng),時(shí),可能含于,C選項(xiàng)錯(cuò)誤,對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng),時(shí),可能含于,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:A5、D【解析】,,所以?huà)佄锞€的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是,故選D.6、C【解析】經(jīng)分析可得,等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞增,將五個(gè)數(shù)按絕對(duì)值的大小排列,計(jì)算相鄰兩項(xiàng)的比值,根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中有連續(xù)四項(xiàng)在集合中,所以中既有正數(shù)項(xiàng)也有負(fù)數(shù)項(xiàng),所以公比,因?yàn)?,所以,且?fù)數(shù)項(xiàng)為相隔兩項(xiàng),所以等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞增,按絕對(duì)值排列可得,因,,,,所以是中連續(xù)四項(xiàng),所以,故選:C.7、D【解析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為(1,1),半徑為1,根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形PACB面積等于,,故求解最小時(shí)即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C:x2+y2-2x-2y+1=0即,表示以C(1,1)為圓心,以1為半徑的圓,由于四邊形PACB面積等于2×××=,而,故當(dāng)最小時(shí),四邊形PACB面積最小,又的最小值等于圓心C到直線l:的距離d,而,故四邊形PACB面積的最小值為,故選:D8、D【解析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得,,的關(guān)系,由此可得,再利用重要不等式求最值,并求此時(shí)的的值.【詳解】設(shè)為第一象限的交點(diǎn),、,則、,解得、,在中,由余弦定理得:,∴,∴,∴,∴,∴,,即,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)故選:D9、A【解析】求不等式的解集,根據(jù)解集判斷p.【詳解】由解得-2<x<4,所以p是.故選:A.10、C【解析】根據(jù)圓的方程得出兩圓的圓心和半徑,再得出圓心距離與兩圓的半徑的關(guān)系,可得選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為,半徑,的圓心為,半徑,則,所以?xún)蓤A的位置是關(guān)系是相交,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系,關(guān)鍵在于運(yùn)用判定兩圓的位置關(guān)系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】根據(jù)互斥事件的和的概率公式求解即可.【詳解】由表知空氣質(zhì)量為優(yōu)的概率是,由互斥事件的和的概率公式知,空氣質(zhì)量為良的概率為,所以該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件,互斥事件和的概率公式,屬于中檔題.12、A【解析】由已知建立不等式組,可求得,再對(duì)各選項(xiàng)逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng).【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,為其前n項(xiàng)和.對(duì)任意的,都有,所以,即,解得,則當(dāng)時(shí),,不成立;當(dāng)時(shí),,成立;當(dāng)時(shí),,成立;當(dāng)時(shí),,成立;所以的值不可能是,故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##0.8【解析】由排列組合知識(shí)求得所選3人中男女生都有方法數(shù)及總的選取方法數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】從6名男生和4名女生中選出3人的方法數(shù)是,所選3人中男女生都有的方法數(shù)為,所以概率為故答案為:14、【解析】根據(jù)與垂直,可知,根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可求出的值,結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法,即可得出結(jié)果.【詳解】解:與垂直,,則,解得:,,則,.故答案為:.15、20【解析】根據(jù)頻率分布直方圖求出成績(jī)?cè)谶@組的頻率,從而可得出答案.【詳解】解:由頻率分布直方圖可知,成績(jī)?cè)谶@組的頻率為,所以成績(jī)?cè)谶@組的學(xué)生人數(shù)為(人).故答案為:20.16、【解析】設(shè)直線l的方程為,代入橢圓方程并化簡(jiǎn),然后根據(jù)M為線段AB的中點(diǎn)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到k,t間的關(guān)系,進(jìn)而寫(xiě)出線段AB的垂直平分線的直線方程,可以判斷它過(guò)定點(diǎn)E,再考慮直線l的斜率不存在的情況,根據(jù)題意可知,點(diǎn)D在以O(shè)E為直徑的圓上,最后求出點(diǎn)D的軌跡方程.【詳解】設(shè)直線l的方程為,代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得:,設(shè),則,解得.因?yàn)橹本€是線段AB的垂直平分線,故直線:,即:令,此時(shí),,于是直線過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),,直線也過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)D在以O(shè)E為直徑的圓上,則圓心為,半徑,所以點(diǎn)D軌跡方程為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)題意,列出的方程組,通過(guò)解方程組,即可求出答案.(2)法一:設(shè),,;當(dāng)時(shí),根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出直線PA的方程,與橢圓方程聯(lián)立,可求出點(diǎn)的坐標(biāo);同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo),然后即可求出直線EF的方程,從而證明直線EF過(guò)定點(diǎn).法二:首先根據(jù)時(shí)直線EF的方程為,可判斷出直線EF過(guò)的定點(diǎn)M必在y軸上,設(shè)為;然后同方法一,求出點(diǎn),的坐標(biāo),根據(jù),即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】由題意,知,解得,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】法一:設(shè),,,當(dāng)時(shí),直線PA的方程為,由,得解得,所以.所以同理可得所以直線EF的斜率為,所以直線EF的方程為,整理得,所以直線EF過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí),點(diǎn)E,F(xiàn)在y軸上,EF的方程為,顯然過(guò)點(diǎn)綜上,直線EF過(guò)定點(diǎn)法二:當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí),E,F(xiàn)分別與B,A重合,直線EF的方程為,若直線EF過(guò)定點(diǎn)M,則M必在y軸上,可設(shè)當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí),設(shè),,,則直線PA的方程為,由,得,解得,所以,所以,同理可得,所以,因?yàn)镋,F(xiàn),M三點(diǎn)共線,所以,所以,整理得,因?yàn)?,所以,解得,即所以直線EF過(guò)定點(diǎn)18、(1)以獲勝、以獲勝的概率分別是;(2)分給分別元,元.【解析】(1)以獲勝、以獲勝,則分別要連勝三局,前三局勝兩局輸一局,第四局勝利;(2)求出若兩局之后正常結(jié)束比賽時(shí),的勝率,按照勝率分獎(jiǎng)金.【小問(wèn)1詳解】設(shè)以獲勝、以獲勝的事件分別為,依題意要想獲勝,必須從第一局開(kāi)始連勝局,;要想獲勝,則前局只能勝局,且第局勝利,故概率;【小問(wèn)2詳解】設(shè)前兩局雙方戰(zhàn)成后勝,勝的事件分別為.若勝,則可能連勝局,或者局只勝場(chǎng),第局勝,故概率;由于兩人比賽沒(méi)有和局,獲勝的概率為,則獲勝的概率為,若勝,則可能連勝局,或者局只勝場(chǎng),第局勝,故概率.故獎(jiǎng)金應(yīng)分給元,分給元.19、(1)(2)【解析】(1)將已知點(diǎn)代入雙曲線方程,然后可得;(2)由雙曲線右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同可解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn),所以所以,得又因?yàn)?,所以所以雙曲線的漸近線方程【小問(wèn)2詳解】由(1)得所以所以雙曲線的右焦點(diǎn)是所以?huà)佄锞€的焦點(diǎn)是所以,所以所以?huà)佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程20、(1)(2)詳見(jiàn)解析.【解析】(1)由,求導(dǎo),得到,寫(xiě)出切線方程;(2)求導(dǎo),再分,,討論求解.【小問(wèn)1詳解】解:因?yàn)?,所以,則,所以,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是,即;【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋裕?dāng)時(shí),成立,則在上遞減;當(dāng)時(shí),令,得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,在上遞增;綜上:當(dāng)時(shí),在上遞減;當(dāng)時(shí),在上遞減,在上遞增;21、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)命題p為真命題
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