《解析幾何》教案

1、解析幾何教案授課時(shí)間 第 13 次課授課章節(jié)3.4 空間直線的方程任課教師及職稱許新齋 教授教學(xué)方法與手段課堂講授課時(shí)安排3使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學(xué)出版社教學(xué)目的與要求：1 掌握空間直線的點(diǎn)向式方程、兩點(diǎn)式方程的求法。2 會(huì)空間直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程的互化教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：空間直線的各種方程的求法難點(diǎn)：空間直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程的互化教學(xué)內(nèi)容：3.4 空間直線的方程一直線的點(diǎn)向式方程（由直線上一點(diǎn)與直線的方向所決定的直線方程）1.直線的方向矢量： 且注.顯然，任何一個(gè)與直線平行的非零矢量都

2、為的方向矢量 .一條直線由它過的一點(diǎn)和它的一個(gè)方向矢量完全唯一確定。 .直線的方向矢量的坐標(biāo)或與它成比例的一組數(shù)稱為直線的方向數(shù)，也稱為的方向。由于的方向數(shù)與的方向矢量的坐標(biāo)成比例，故我們將同表以為方向矢量的直線的方向數(shù)。2.點(diǎn)向式方程設(shè)為一空間直線，為的一個(gè)方向矢量。取標(biāo)架. 設(shè)，為上的任意點(diǎn)，。與共線故由空間曲線的向量式參數(shù)方程的定義知 （3.4-1）為的矢量式參數(shù)方程。其中為參數(shù)，它可取任意實(shí)數(shù)。注意為以所過點(diǎn)為終點(diǎn)的徑矢。為的方向矢量。設(shè)，則，再設(shè)，則由（3.4-1）得： （3.4-2）. 稱其為的坐標(biāo)式參數(shù)方程。由（3.4-2）消去參數(shù)，則得 （3.4-3），稱其為的標(biāo)準(zhǔn)方程或?qū)ΨQ式

3、方程。（3.4-1）（3.4-3）都稱為的點(diǎn)向式方程。注.若已知直線過，方向矢量為，可立即寫出的方程（3.4-2）和（3.4-3）。注.在直角坐標(biāo)系下，直線的方向矢量常取單位矢量，此時(shí)的參數(shù)方程為： （3.4-7）或 （3.4-8）的對(duì)稱方程為： （3.4-9）此時(shí)參數(shù)的幾何意義為：，即為和的距離。注.在直角坐標(biāo)系下，設(shè)為直線的方向矢量，的方向角稱為的方向角。的方向余弦稱為的方向余弦。由于也是的方向矢量，而的方向角為，故也可看作的方向角；也可看作的方向余弦。設(shè)為直線的方向數(shù)，則或?yàn)榈姆较蚴噶?，由定義或的方向余弦即為的方向余弦。故的方向余弦與方向數(shù)之間有以下關(guān)系： （th1.7.6）或二直線的兩

4、點(diǎn)式方程顯然直線完全由它通過的兩點(diǎn)唯一確定。設(shè)直線過兩點(diǎn)，求的方程。令，取為的方向矢量. 以所過點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為.故由直線的點(diǎn)向式方程：得的矢量式參數(shù)方程： （3.4-4）的坐標(biāo)式參數(shù)方程為： （3.4-5）的對(duì)稱式方程為： （3.4-6）方程（3.4-4）（3.4-6）都叫做的兩點(diǎn)式方程。三直線的一般方程1. 概念：任意一條直線可看成某兩個(gè)相交平面的交線。設(shè) （3.4-11）（在仿射坐標(biāo)系下的方程）由于相交，故這里滿足方程組可用方程組（3.4-11）表示，稱其為的一般方程。四直線的射影式方程設(shè)： （3.4-3）（在仿射坐標(biāo)系下的方程）則不全為零（為的方向矢量，它非零）不妨設(shè).將（3.4-3）

5、改寫為 ， 令，則 （3.4-12）（顯然這是一種特殊的一般方程）注. 由以上討論可見（3.4-3）表示的直線可看作（3.4-12）中兩個(gè)方程表示的兩個(gè)平面的交線。這兩個(gè)平面通過該交線且分別平行與軸和軸，在直角坐標(biāo)系下，平面與平面垂直（），平面與平面垂直。故稱（3.4-12）為的射影式方程。由以上討論可知如何將的標(biāo)準(zhǔn)方程化為射影式方程。五化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法直線的一般方程（3.4-11）也總可化成標(biāo)準(zhǔn)方程（3.4-4）的形式，下面證明之。設(shè)的一般方程為： （3.4-11） 則因此，不全為零，否則，由得，即.由得，即.故，即，與矛盾。不失一般性，設(shè)（為的系數(shù)行列式，那么由（3.4-1

6、1）可分別消去得到的射影式方程）將（3.4-11）寫成 （*）由克萊姆法則解出得：以上為的射影式方程，令，則得的標(biāo)準(zhǔn)方程： （*）注.由的標(biāo)準(zhǔn)方程（*）可知，若的一般方程為（3.4-11），則，即為的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)，即為的一組方向數(shù)。注.以上的證明給出了化直線的一般方程為射影式方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。哪兩個(gè)變量的系數(shù)行列式不為零，分別消去這兩個(gè)變量即得的射影式方程，再由射影式方程得標(biāo)準(zhǔn)方程。也可如下求的標(biāo)準(zhǔn)方程：不妨設(shè)，在方程（*）中取為任意指定的值（特別地可?。＝猓?）得，那么為方程組（3.4-11）的一個(gè)解。點(diǎn)在上。再由注得一組方向數(shù)。于是由直線的點(diǎn)向式方程（3.4-3）得的標(biāo)準(zhǔn)方程為

7、：。例.化直線的一般方程 為射影式方程和標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一. 的方向數(shù)為的系數(shù)行列式 （取為自由未知量）取得 ，解得故為上一點(diǎn)。故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：由 得。由 得。為的射影式方程。解法二.（2）+3（1）：（消去），（1）-（2）：（消去）為的射影式方程。或的系數(shù)行列式，為的射影式方程（既是對(duì)面又是對(duì)面的射影標(biāo)面，故只有一個(gè)射影式方程）由 得 由 得 ，可寫為故為的標(biāo)準(zhǔn)方程。4在直角坐標(biāo)系下化一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法設(shè)直線在直角坐標(biāo)系下的一般方程為：則的一個(gè)法矢量為 的一個(gè)法矢量為，又，故可取為的方向矢量，再求得的一個(gè)點(diǎn)，即可得的標(biāo)準(zhǔn)方程。例 在直角坐標(biāo)系下，求直線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：， .取為的方向矢

8、量取得 ， 解得 那么故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題3.4：1（2）（4），2，3（2）（4），4（1）（3），5作業(yè)題：習(xí)題3.4：1（1）（3）（5），3（1）（3），4（2）下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)1 直線與平面的相關(guān)位置的分類及其判定2 直線與平面的夾角公式3點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)實(shí)施情況及教學(xué)效果分析學(xué)院審核意見 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日授課時(shí)間 第 14 次課授課章節(jié)3.5 直線與平面的相關(guān)位置3.6 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置任課教師及職稱許新齋 教授教學(xué)方法與手段課堂講授課時(shí)安排2使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出

9、版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學(xué)出版社教學(xué)目的與要求：3 掌握直線與平面的相關(guān)位置的分類及其判定4 掌握直線與平面的夾角公式5 掌握點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：直線與平面的相關(guān)位置的分類及其判定難點(diǎn)：直線與平面的夾角公式教學(xué)內(nèi)容：3.5 直線與平面的相關(guān)位置一（直線與平面相關(guān)位置的）種類1. 相交：有唯一交點(diǎn)2. 平行： 無交點(diǎn)3.直線在平面上：有無窮多個(gè)交點(diǎn)。二判定條件設(shè) （*）由定義，討論與的相互位置關(guān)系即討論與的交點(diǎn)的存在性和唯一性，亦即討論方程組（*）的解的存在性和唯一性，以下討論之。由（1）得 （3）將（3）代入（2）得： （4）驗(yàn)證易見 為（4）的解為（*）

10、的解 （）（設(shè)為（4）的一個(gè)解，將代入（3）得，此為方程組（*）的一個(gè)解。反之，設(shè)為（*）的一個(gè)解，將其代入（2）即得，即為（4）的解）另外，設(shè)是（*）的解，則是（1）的解。因此，則，即（*）的解具有的形式（）1. 與相交與有唯一交點(diǎn)（*）有唯一解（4）有唯一解。2. 與無交點(diǎn)（*）無解（4）3. 與有無數(shù)交點(diǎn)（*）有無數(shù)解（4）有無數(shù)解 綜上，我們已證明了如下定理：th3.5.1.(p124) 直線（1）與平面（2）的相互位置。三（以下證明一下）在直角坐標(biāo)系下判定直線與平面相互位置關(guān)系的條件的幾何意義。注. 為的一個(gè)方向矢量，而在直角坐標(biāo)系下，的一個(gè)法矢量為，故在直角坐標(biāo)系下，與相交與不垂直

11、。與平行不在平面上。在上 且，上的點(diǎn)在上。四直線與平面的交角我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系下討論的交角的求法。用表示的交角，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；否則，定義為和在上的射影所構(gòu)成的銳角（見圖）可由的方向矢量和的法矢量來決定。設(shè)則因此，注：或 3.6 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置一相關(guān)位置的相關(guān)位置的坐標(biāo)滿足的方程二點(diǎn)到直線的距離定義3.6.1（p124）注：（p124，倒11行倒9行）在空間直角坐標(biāo)系下，給頂空間一點(diǎn)和直線，為上一點(diǎn)，如圖.， 復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題3.5：1（2）（4），4，6（2）2作業(yè)題：習(xí)題3.5：1（1）（3），2，3，5，6；習(xí)題3.6：2下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)1 空間兩直線的相關(guān)位置的

12、分類及其判定2 空間兩直線的夾角公式3 兩異面直線間的距離與公垂線的方程實(shí)施情況及教學(xué)效果分析學(xué)院審核意見 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日授課時(shí)間 第 15 次課授課章節(jié)空間兩直線的相關(guān)位置任課教師及職稱許新齋 教授教學(xué)方法與手段課堂講授課時(shí)安排3使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學(xué)出版社教學(xué)目的與要求：4 掌握空間兩直線的相關(guān)位置的分類及其判定5 掌握空間兩直線的夾角公式6 掌握兩異面直線間的距離公式與公垂線的方程教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：空間兩直線的相關(guān)位置的分類及其判定難點(diǎn)：兩異面直線間的距離公式與公垂線的方程

13、教學(xué)內(nèi)容：3.7 空間兩直線的相關(guān)位置一分類 空間兩直線的相關(guān)位置二判定條件設(shè) 則，為的一個(gè)方向矢量， ，為的一個(gè)方向矢量（1）與異面 不共面 （2）與共面（3）與相交與共面且與不平行 （4）/與共線且與不共線 （5）與重合三者共線 綜上得：th3.7.1. 設(shè)直線與的方程分別為，令， 則（1） 與異面（2） 與共面（3） 與相交（4） /（5） 與重合例 求通過點(diǎn)且與兩直線 都相交的直線程。解： 設(shè)所求直線的一個(gè)方向矢量為，又因?yàn)?，那么與相交，且，為的一個(gè)方向矢量， 且 即 且 與相交，且，為的一個(gè)方向矢量， 且 即 且 這樣，與都相交 且 解之得：故為所求。解法二. 設(shè)所求直線為，由題意，

14、設(shè)決定的平面為，則，且不平行，又，故，即 設(shè)決定的平面為，則，且不平行，又，故，即 ，與相交為相交平面的交線因此為所求（此方程為的一般方程）。二空間兩直線的夾角設(shè)分別為空間直線的方向向量的夾角 或注意：這里為空間中任意兩條直線，它們不一定相交。th3.7.2. 在直角坐標(biāo)系下，空間兩直線，夾角的余弦為證：。推論：兩直線，垂直三兩異面直線間的距離與公垂線方程1.兩直線間的距離：兩直線上點(diǎn)的最短距離注. 顯然，兩相交或重合的直線之間的距離為零。兩平行直線間的距離等于其中一條直線上任一點(diǎn)到另一直線的距離（點(diǎn)到直線的距離在下一節(jié)討論）。2. 兩異面直線的公垂線與公垂線的長(zhǎng)：與兩條異面直線都垂直相交的直

15、線；兩個(gè)交點(diǎn)間的線段長(zhǎng)叫公垂線的長(zhǎng)。注：異面直線的公垂線存在唯一。th3.7.3. 兩異面直線間的距離等于它們的公垂線的長(zhǎng)。證：設(shè)異面直線的公垂線與的交點(diǎn)分別為。設(shè)上任一點(diǎn)，。分別為的方向矢量，為的一個(gè)方向矢量，為上的射影，則，因此故為上的點(diǎn)之間的最短距離，從而。3. 兩異面直線間的距離公式（在直角坐標(biāo)系下討論）th3.7.4. 設(shè)異面直線 則直線與之間的距離，其中的一個(gè)方向向量，.證：設(shè)與它們的公垂線分別交于，則間的距離 （由th3.7.3的證明知）而 （據(jù)（1.7-2）故 4. 異面直線的公垂線方程設(shè)有異面直線，令為由與它們的公垂線決定的平面，則為的方位矢量，且。令為由與它們的公垂線決定的

16、平面，則為的方位矢量，且。顯然，。異面，相交（否則，重合，這樣共面，這同異面矛盾）于是，為的交線，故： 其中，即為的方向矢量。例2 已知兩直線，試證明為異面直線，并求間的距離與它們的公垂線。解：（1）為的一個(gè)方向矢量，為的一個(gè)方向矢量，.，為異面直線。（2）（3）公垂線的方程為： 即，亦即 （它為軸）補(bǔ)例 （習(xí)題3，7，9（1）復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題3.7：2（2），3（3），5（1），9（2）作業(yè)題：習(xí)題3.7：2（1），3（1）（2），4，5（2），6，7，8，9（2），10下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)1 有軸平面束的概念及其方程2 平行平面束的概念及其方程實(shí)施情況及教學(xué)效果分析學(xué)院審核意見

17、 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日授課時(shí)間 第 16 次課授課章節(jié)3.8 平面束任課教師及職稱許新齋 教授教學(xué)方法與手段課堂講授課時(shí)安排2使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學(xué)出版社教學(xué)目的與要求：3 掌握有軸平面束的概念及其方程4 掌握平行平面束的概念及其方程5 會(huì)靈活運(yùn)用平面束的觀點(diǎn)建立平面的方程教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：有軸平面束和平行平面束的方程難點(diǎn)：運(yùn)用平面束的觀點(diǎn)建立平面的方程教學(xué)內(nèi)容：3.8 平面束一有軸平面束1. 定義 空間中通過同一直線的所有平面的集合叫做有軸平面束。那條直線叫做平面束的軸。2. 有軸平

18、面束的方程th3.8.1. 若兩個(gè)平面 交于一直線，則以為軸的有軸平面束的方程是： （3.8-1）其中，是不全為零的任意實(shí)數(shù)。注.th3.8.1的意思是（3.8-1）表示以為軸的有軸平面束的中的全體平面。證：（1）證明對(duì)任意一對(duì)取定的不全為零的實(shí)數(shù)， （*）表示以為軸的有軸平面束的一個(gè)平面。將（*）改寫為： （*）相交， 因此(*)中的系數(shù),不全為零(否則與矛盾)，從而(*)是一個(gè)關(guān)于的一次方程,故它表示一個(gè)平面.因（*）與（*）同解，故（*）表示一個(gè)平面。（再證（*）表示以為軸的有軸平面束中的一個(gè)平面）為的交線上的點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足方程，從而也滿足（*）那么，即（亦即為以為軸的平面束中的一個(gè)平

19、面），這樣，（*）表示以為軸的有軸平面束中的任意一個(gè)平面。（）證明對(duì)以為軸的平面束中的任意一個(gè)平面，我們都能確定，使的方程為（3.8-1）的形式.取。先證在（3.8-1）表示的平面的集合中有一個(gè)平面過。存在不全為零的，使不全為零的，使，則，不全為零（否則，與矛盾）不全為零的，使，從而存在，（再證的方程具有（3.8-1）的形式）由（1）的證明可知的平面過，這樣都過過的平面是唯一的因此的方程為：，具有（3.8-1）的形式。例1求通過直線且與平面垂直的平面方程.解.設(shè)所求平面方程為：即.所求平面與平面垂直，從而兩者的法矢垂直，即，取得所求平面方程為：，即 .例3試證兩直線在同一平面上的充要條件是.證

20、：共面于過且過為以為軸的平面束中的一個(gè)平面，同時(shí)也是以為軸的平面束中的一個(gè)平面存在不全為零的，使的方程為： （）存在不全為零的，使的方程為： （）存在不全為零的與，使平面（）與（）重合存在不全為零的與，使（）與（）中的的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)成比例，設(shè)比為，即） （） 存在非零解二平行平面束1. 定義 空間中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束2. 平行平面束的方程th3.8.2. 若兩個(gè)平面，為平行平面（），則方程： 表示平行平面束，平面束里任何一個(gè)平面都和平行，其中是不全為零的任意實(shí)數(shù)，且。此定理的證明方法與th3.8.1的證明類似，故略推論 由平面決定的平面束（即與平面平行的全體平面）

21、的方程為：，其中是任意實(shí)數(shù)（當(dāng)取定一個(gè)值時(shí)，就表示與平行的一個(gè)平面）例2. 求與平面平行且在軸上的截距等于-2的平面方程.解.所求平面與平面平行（即為由平面所決定的平行平面束中的一個(gè)平面）可設(shè)的方程為：，為實(shí)數(shù).在軸上的截距等于-2，過點(diǎn).由此得： ，故的方程為：.復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題.：1，作業(yè)題：習(xí)題.：1（2），3，4，6，下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn) 柱面的概念 柱面方程的求法 空間曲線的射影柱面實(shí)施情況及教學(xué)效果分析學(xué)院審核意見 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日授課時(shí)間 第 次課授課章節(jié)4.1 柱面任課教師及職稱許新齋 教授教學(xué)方法與手段課堂講授課時(shí)安排使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等

22、編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學(xué)出版社教學(xué)目的與要求： 掌握柱面的概念和柱面方程的求法 空間曲線的射影柱面的概念教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：柱面方程的求法難點(diǎn)：柱面方程的推導(dǎo)教學(xué)內(nèi)容：4.1 柱面1. 定義 由平行于某一定方向的動(dòng)直線,沿空間一條定曲線平行移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面.定曲線叫做柱面的準(zhǔn)線, 動(dòng)直線的每個(gè)位置叫做柱面的母線.注: 顯然，柱面的準(zhǔn)線不唯一。2. 方程取。設(shè)柱面的準(zhǔn)線的方程為，母線的方向數(shù)為.設(shè)為的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，則的過的母線方程為：，且 ，由的任意性知（*） 表示的任意母線。因此，當(dāng)取遍上全部點(diǎn)時(shí)，（*）表示的全部母線，即

23、表示。這里為參數(shù)。設(shè)將（*）中的參數(shù)消去后所得方程為： （*），則（*）也表示，也就是說，為的方程。由以上討論，我們得到求柱面方程的一般方法，即：在已知柱面的母線方向和準(zhǔn)線方程的情況下，按以上步驟即可求得柱面方程。例1 已知一個(gè)柱面的準(zhǔn)線方程為，其母線的方向數(shù)是-1，0，1，求該柱面的方程。解. 設(shè)是準(zhǔn)線上的點(diǎn)，過的母線為： 且有 由得， 將代入和得， +（-2）得， 將代入（或）得所求柱面方程為：，即.例2 已知圓柱面的軸為，點(diǎn)在此柱面上，求這個(gè)圓柱面的方程。解法一. 的母線平行于其軸， 的母線的方向數(shù)為1，-2，-2.若能求出圓柱面的準(zhǔn)線（可取為一個(gè)圓周），那么再運(yùn)用例1的解法問題就解決了

24、，而空間中的圓周，總可看成某一球面與某一平面的交線。由軸的方程知其過，.以為球心，以為半徑的球面方程為：.過且垂直與軸的平面的方程為：， 即 .=： 為的準(zhǔn)線 .設(shè)為上的點(diǎn)，則 的過的母線為： 由得， 將代入可得：由上式得 將代入得： 將代入并整理得 ：.注：圓柱面是一種特殊的柱面，在特殊的情況下，除了用一般的解法外，往往還有其它特殊的解法. 若將圓柱面看成動(dòng)點(diǎn)到軸線等距離點(diǎn)的軌跡，這里的距離就是圓柱面的半徑，那么例2就有下面的第二種解法.解法二 軸的方向矢量為，在軸上，在上，點(diǎn)到的距離 （見點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)，p133-134） .到軸的距離為 （*）故的方程為（*）。3. 母線平行于

25、坐標(biāo)軸的柱面方程th4.1.1 在空間直角坐標(biāo)系中（或在空間仿射坐標(biāo)系中），只含兩個(gè)元（坐標(biāo)）的三元方程所表示的曲面是一個(gè)柱面，它的母線平行于所缺元（坐標(biāo)）的同名坐標(biāo)軸。證： 下證表示母線平行于軸的柱面.取由曲面與面的交線.考慮以為母線，軸的方向?yàn)?：0：1為母線方向的柱面的方程.設(shè)為上任一點(diǎn)，過的母線的為： 且 由得，將其代入消參數(shù)得 ：，即表示。又的母線平行于軸，故表示母線平行于軸的柱面.同理可證。例3. 空間曲線的射影柱面1 概念：設(shè)為空間曲線，過作母線平行于軸的柱面：.過作母線平行于軸的柱面：過作母線平行于軸的柱面：稱為對(duì)面射影的射影柱面，稱為在面上的射影曲線。稱為對(duì)面射影的射影柱面，

26、稱為在面上的射影曲線。稱為對(duì)面射影的射影柱面，稱為在面上的射影曲線。因是，的交線，故 為的方程.因是，的交線，故 為的方程.因是，的交線，故 為的方程.方程（8），都稱為的射影式方程.即的射影式方程是由的對(duì)兩個(gè)坐標(biāo)面的射影柱面的方程聯(lián)立而成的方程組。2 空間曲線與坐標(biāo)面射影的射影柱面的求法及空間曲線的射影式方程的求法。設(shè)的一般方程為：由消去變量可得： 由定理知表曲線平行于軸的柱面.以下說明為對(duì)面射影的射影柱面的方程，由于為母線平行于軸的柱面的方程。故只需說明柱面通過，即只要說明上的任一點(diǎn)在柱面上。 設(shè)為上任一點(diǎn)，則滿足，又由于是由消去得到，故滿足。故在柱面上。由定義知為對(duì)面射影的射影柱面。同理

27、由消去變量所得方程為對(duì)面射影的射影柱面方程.同理由消去變量所得方程為對(duì)面射影的射影柱面方程.由定義，將對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的射影柱面方程的任兩個(gè)聯(lián)立即得的射影式方程。例：求曲線： 對(duì)坐標(biāo)面的射影柱面及其的射影式方程.解：得： 即 此為對(duì)面的射影柱面。得： 即 此為對(duì)面的射影柱面。得： 即 此為對(duì)面的射影柱面。的射影式方程為或 或注：利用空間曲線的射影式方程有利于認(rèn)識(shí)空間曲線的形狀。例如 由為的射影式方程知 是以下兩個(gè)柱面的交線。一個(gè)是準(zhǔn)線為面上的圓，母線平行于軸的圓柱面。另一個(gè)是準(zhǔn)線為面上的拋物線，母線平行于軸的拋物柱面。故可知的形狀如圖所示。復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題4.1：1，3，5，6，

28、7，9作業(yè)題：習(xí)題4.1：1（2），2，4，8（1）（4），下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn) 錐面的概念 錐面的方程實(shí)施情況及教學(xué)效果分析學(xué)院審核意見 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日授課時(shí)間 第 18 次課授課章節(jié)4.2 錐面任課教師及職稱許新齋 教授教學(xué)方法與手段課堂講授課時(shí)安排2使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學(xué)出版社教學(xué)目的與要求： 掌握錐面的概念 會(huì)求錐面的方程教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：錐面方程的求法難點(diǎn)：教學(xué)內(nèi)容：4.2 錐面 1. 定義 設(shè)為一空間定曲線，頂點(diǎn)，通過的動(dòng)直線沿移動(dòng)所產(chǎn)生的曲面稱為錐面。動(dòng)直線的每個(gè)位置叫做

29、錐面的母線，定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn)，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。注：由此定義，若給定了錐面的準(zhǔn)線和頂點(diǎn)，錐面就完全確定了。但錐面的準(zhǔn)線不唯一。實(shí)際上，和一切母線都相交的每一曲線都可作為該錐面的準(zhǔn)線。2. 方程取，設(shè)錐面的準(zhǔn)線：，頂點(diǎn)為.在的某一條母線上 使在的過的母線上 （*） 故（*）為的方程，為參數(shù).將（*）中的參數(shù)消去，得的方程：例1. 求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為準(zhǔn)線的錐面方程.解. 設(shè)為上任意點(diǎn)，則過的母線為：，即 且有 將代入得： 代入得：為所求注：如圖，稱為二次錐面。例2. 已知一圓錐面（以圓為一條母線的錐面）的頂點(diǎn)為，其軸垂直于平面，母線與軸組成角，試求該圓錐面的方程.解.（因用一般方法先求錐面的

30、一條母線比較麻煩，這里用特殊方法求解，即利用已知條件和曲面的方程的定義求解）設(shè)為所求曲面上任一點(diǎn)，令為的一個(gè)方向向量（在直角坐標(biāo)系下）. .故即為所求。注： 因圓錐面是一種特殊的錐面，上面的解法是一種解圓錐面的特殊方法，至于先求出圓錐面的準(zhǔn)線，再利用頂點(diǎn)與準(zhǔn)線求該圓錐面的一般方法，請(qǐng)同學(xué)們?nèi)ネ瓿?。（提示：先求到的距離，作以為球心，半徑的球面以與的交線為的準(zhǔn)線）3. 關(guān)于錐面的一個(gè)定理（1）三元次齊次函數(shù)： 設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)函數(shù)，若有，（這里的取值應(yīng)使有確定的意義。例如當(dāng)是，）則稱為三元次齊次函數(shù).例如 為三元2次齊次函數(shù).（2）三元次齊次方程：，其中為三元次齊次函數(shù)。注. 以上兩個(gè)概念可推廣到個(gè)變

31、量的情形.（3）三元齊次方程的意義th4.2.1 一個(gè)關(guān)于的齊次方程總表示頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的錐面。證： 由齊次方程的定義有.當(dāng)時(shí)有，故曲面：過原點(diǎn)設(shè)為上非原點(diǎn)的任意點(diǎn)，則（滿足即）.直線的方程為 （直線過原點(diǎn)，為其方向數(shù)），代入得，即直線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲面的方程.因此直線在曲面：上，故曲面：是由這種通過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線組成，即它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面。注. 在特殊情況下，關(guān)于的齊次方程可能只表示原點(diǎn)。例如。這樣的曲面，長(zhǎng)稱為有實(shí)頂點(diǎn)的虛錐面。推論. 關(guān)于的齊次方程 （*）表示頂點(diǎn)在的錐面。證. 作坐標(biāo)變換，則（*）化為 為齊次方程，故表示以為頂點(diǎn)的錐面。從而表示頂點(diǎn)在的錐面。復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題

32、復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題1.3：1，4作業(yè)題：習(xí)題4.2：2，3，5，6下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)曲面的概念及其方程 橢球面的定義、幾何性質(zhì)、形狀實(shí)施情況及教學(xué)效果分析學(xué)院審核意見 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日授課時(shí)間 第 19 次課授課章節(jié)4.3 旋轉(zhuǎn)曲面4.4 橢球面任課教師及職稱許新齋 教授教學(xué)方法與手段課堂講授課時(shí)安排3使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學(xué)出版社教學(xué)目的與要求： 掌握旋轉(zhuǎn)曲面的概念及其方程的求法 掌握橢球面的定義、幾何性質(zhì)、形狀 學(xué)會(huì)平行截割法教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)曲面的方程的求法；橢球面的形狀；

33、平行截割法難點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)曲面的方程的求法教學(xué)內(nèi)容：4.3 旋轉(zhuǎn)曲面一.有關(guān)概念1. 旋轉(zhuǎn)曲面及其母線與軸 在空間，一條曲線繞一定直線旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面。叫做的母線，稱為的的旋轉(zhuǎn)軸，簡(jiǎn)稱為軸。例如，球面可視為半圓周繞直徑旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面。另外，圓錐面，圓柱面都為旋轉(zhuǎn)曲面。2.緯圓與經(jīng)線： 設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面的母線上的任一點(diǎn)，在繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，也繞旋轉(zhuǎn)而形成一個(gè)圓，稱其為的緯圓或緯線。以為邊界的半平面與的交線稱為的經(jīng)線注. 的緯圓實(shí)際上是過母線上的點(diǎn)且垂直于軸的平面與的交線。的所有緯圓構(gòu)成整個(gè)。 的所有經(jīng)線的形狀相同，且都可以作為的母線。而母線不一定是經(jīng)線，這里因?yàn)槟妇€不一定為平面曲線，而經(jīng)線為平

34、面曲線。二. 方程在直角坐標(biāo)系下，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為，的軸為，這里為上一點(diǎn)，為的方向數(shù)。在的某個(gè)緯圓上 ，使在的過的緯圓上 的過的緯圓可看成：過且垂直于的平面：與以為心，為半徑的球面：的交線。故有，使 且 （由到消去參數(shù)）故為的方程。例1 求直線繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解. 設(shè)，旋轉(zhuǎn)軸過.過的緯圓方程為： 在母線上， （*）由（*）得 （3）將（3）代入（1）得：，即 （）將（）代入（）得：（）將（）代入（）得：即：.三特殊情形下的方程為方便起見，取旋轉(zhuǎn)曲面的某一條經(jīng)線（顯然為平面曲線）作為的母線。取直角坐標(biāo)系：把母線所在的平面取作坐標(biāo)面，而旋轉(zhuǎn)軸取做坐標(biāo)軸。這時(shí)的方程具有特殊的形式。

35、設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線，旋轉(zhuǎn)軸為：，設(shè)，則過的緯圓為：且由（），（），（）得：（）將（）代入（）得：即母線為，旋轉(zhuǎn)軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：類似地，母線為，旋轉(zhuǎn)軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：.對(duì)于其它坐標(biāo)面上的曲線，繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面，其方程可類似求出。這樣，我們就得到如下規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線繞此坐標(biāo)平面的一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程可如下得到：將曲線在坐標(biāo)面里的方程中的與旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)保持不變，而以其它兩個(gè)坐標(biāo)的平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。例如，為由面上的繞軸所得，則的方程為：。例.例.4.4 橢球面1. 定義 在直角坐標(biāo)系下，由方程 （4.4-1）所表示的曲面叫橢球面

36、，或稱橢圓面。方程（4.4-1）叫做橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程。其中為任意的正常數(shù)。通常假設(shè)。2.幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性 若點(diǎn)滿足（4.4-1），則關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)也滿足（4.4-1）。因此橢球面（4.4-1）關(guān)于面對(duì)稱。同理橢球面（4.4-1）關(guān)于面和面都對(duì)稱。橢球面的對(duì)稱平面稱為它的主平面。若點(diǎn)滿足（4.4-1），則的關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)也滿足（4.4-1）。故橢球面（4.4-1）關(guān)于軸對(duì)稱。同理，橢球面（4.4-1）關(guān)于軸和軸也對(duì)稱。橢球面的對(duì)稱軸稱為它的主軸。若點(diǎn)滿足（4.4-1），則它的關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也滿足（4.4-1）。因此橢球面（4.4-1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。橢球面的對(duì)稱中心稱為它的中心。（2

37、）頂點(diǎn)，軸及半軸（p159，正2行p159，正15行）橢球面與軸的交點(diǎn)為：（3）范圍：（p159，正16行正19行）（4）形狀：（利用所謂平行截割法討論）（p159倒7行p160）3. 參數(shù)方程（*） ，其中為參數(shù)證：對(duì)，截線方程為：表為 令，則 當(dāng)時(shí)，分取故得橢球面（4.4-1）的參數(shù)方程（*）例（p161）復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題4.3：1（2）（3），3；習(xí)題4.4：5作業(yè)題：習(xí)題4.3：（）（4），2；習(xí)題4.4：2，3，4，6下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn) 單葉雙曲面的性質(zhì)及圖形 雙葉雙曲面的性質(zhì)及圖形實(shí)施情況及教學(xué)效果分析學(xué)院審核意見 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日授課時(shí)間 第 20 次課授

38、課章節(jié)4.5 雙曲面任課教師及職稱許新齋 教授教學(xué)方法與手段課堂講授課時(shí)安排2使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學(xué)出版社教學(xué)目的與要求： 掌握單葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)及圖形。 掌握雙葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)及圖形。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：?jiǎn)稳~雙曲面、雙葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)及圖形難點(diǎn)：?jiǎn)稳~雙曲面、雙葉雙曲面的圖形的討論教學(xué)內(nèi)容：4.5 單葉雙曲面一單葉雙曲面1. 定義 在下，由方程 （4.5-1）（為任意正常數(shù)）表示的曲面叫做單葉雙曲面。方程（4.5-1）叫做單葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程。注. 當(dāng)時(shí)，單葉雙曲面（4

39、.5-1）就成為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面（4.3-3）2.幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性（2）頂點(diǎn)（3）形狀（p163 正8行p165）注：方程與也都是單葉雙曲面。例（p167）二雙葉雙曲面1定義2幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性（2）頂點(diǎn)（3）范圍：（4）形狀注：p164，倒2行p165正3行復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題復(fù)習(xí)思考題：習(xí)題4.5：1，2，6，7作業(yè)題：習(xí)題4.5：3，4，5下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn) 橢圓拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)、圖形 雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)、圖形實(shí)施情況及教學(xué)效果分析學(xué)院審核意見 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日授課時(shí)間 第 21 次課授課章節(jié)1.3 數(shù)量乘向量1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解任課教師及職稱許新齋

40、教授教學(xué)方法與手段課堂講授課時(shí)安排3使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學(xué)出版社教學(xué)目的與要求：1 掌握橢圓拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)、圖形。2 掌握雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)、圖形。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：橢圓拋物面、雙曲拋物面的圖形難點(diǎn)：雙曲拋物面的圖形教學(xué)內(nèi)容：4.6 拋物面一橢圓拋物面1. 定義 ： （4-16），其中為任意的正常數(shù) 2. 幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性 對(duì)稱平面：面，面對(duì)稱軸：軸無對(duì)稱中心（2）頂點(diǎn)：（3）范圍（4）形狀注：在方程（4-16）中，若，則方程變?yōu)椋?.5-3）即，此為旋轉(zhuǎn)拋物面。二雙曲拋

41、物面1. 定義 在直角坐標(biāo)系下，由方程 （4.6-2）所表示的曲面叫做雙曲拋物面。方程（4.6-2）叫做雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程。其中，為任意正常數(shù)。2. 幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性對(duì)稱平面：面，面對(duì)稱軸：軸無對(duì)稱中心（2）頂點(diǎn)：（曲面與對(duì)稱軸的交點(diǎn)）（3）形狀與面的交線：，即與為一對(duì)相交于原點(diǎn)的直線與面的交線：，為面上的開口向下的拋物線 與面的交線：，為面上的開口向上的拋物線 與叫做雙曲拋物面（4.6-2）的主拋物線與平面的交線：， 即 為面上的開口向下的拋物線 與平面的交線： 為雙曲線 當(dāng)時(shí)，此雙曲線的實(shí)軸平行于軸，虛軸平行與軸，頂點(diǎn)為，在主拋物線上 當(dāng)時(shí)，此雙曲線的實(shí)軸平行于軸，虛軸平行與軸，頂點(diǎn)

42、為，在主拋物線上 由以上討論可見，雙曲拋物面（4.6-2）被面分成上下兩部分，上半部沿軸的兩個(gè)方向上升。下半部沿軸的兩個(gè)方向下降。曲面在原點(diǎn)附近的形狀象一只馬鞍子。故雙曲拋物面（4.6-2）也叫馬鞍面。為進(jìn)一步明確雙曲拋物面的結(jié)構(gòu)，再觀察用截割雙曲拋物面（4.6-2）所得的截線，此時(shí)截線為拋物線： 不論取何實(shí)數(shù)，所截得的拋物線總與主拋物線是全等的（），且所在平面平行與這個(gè)主拋物線所在的平面，而它的頂點(diǎn)則在另一主拋物線上。于是得到下面的結(jié)論：雙曲拋物面（4.6-2）可看作拋物線的頂點(diǎn)沿著拋物線滑動(dòng)時(shí)，拋物線隨之平行移動(dòng)而形成的軌跡。注：橢圓拋物面與雙曲拋物面統(tǒng)稱為拋物面。它們都沒有對(duì)稱中心，故又

43、叫無心二次曲面。例1 作出球面與旋轉(zhuǎn)拋物面的交線。解. （1）-（2）：由（2）知. 取，將代入（1）： 這是平面上的一個(gè)圓，圓心為，半徑為2。它的圖形如圖。例2. 作出曲面：與平面，以及三坐標(biāo)面所圍成的立體在第一卦限部分的主體圖形。解. 為拋物柱面，起母線平行與軸。面上的拋物線為其一準(zhǔn)線，該拋物線的頂點(diǎn)為，取參數(shù)，開口方向與軸的方向相反，與軸的交點(diǎn)為。在第一卦限的部分如圖所示為以面上的直線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面。該準(zhǔn)線過為了畫出所要求的主體圖，關(guān)鍵是要畫出與的交線。畫法如下：在拋物線弧上任取一點(diǎn)，過作的母線，再作軸，交軸于，過作軸，叫于，再作軸，交于。則既在的母線上，又在的母線上，故在與的交