上海市延安中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

上海市延安中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)f(x)=的零點所在的一個區(qū)間是A.（-2，-1） B.（-1,0）C.（0,1） D.（1,2）2．若關(guān)于x的方程log12x=m1-mA.(0,1) B.(1,2)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)3．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上一點，則A. B.C. D.4．下列說法正確的是（）A.向量與共線，與共線，則與也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行5．已知aR且a>b，則下列不等式一定成立的是（）A.> B.>abC.> D.a(a—b)>b(a—b)6．下列函數(shù)值為的是（）A.sin390° B.cos750°C.tan30° D.cos30°7．函數(shù)，的值域為（）A. B.C. D.8．若，則錯誤的是A. B.C. D.9．已知的值為A.3 B.8C.4 D.10．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)若方程恰有三個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_______.12．若、是關(guān)于x的方程的兩個根，則__________.13．如圖，扇形的周長是6，該扇形的圓心角是1弧度，則該扇形的面積為______.14．若sinθ=，求的值_______15．不等式的解集為_____16．已知，則函數(shù)的最大值為___________，最小值為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）解關(guān)于的不等式；（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.19．已知平面向量.(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.20．已知不等式的解集為A，不等式的解集為B.（1）求A∩B；（2）若不等式的解集為A∩B，求的值21．已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的最小正周期T及的解析式；（2）求函數(shù)的對稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間；（3）將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，若在上有兩個解，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】因為函數(shù)f(x)=2+3x在其定義域內(nèi)是遞增的，那么根據(jù)f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)的零點的區(qū)間為（-1,0），選B考點：本試題主要考查了函數(shù)零點的問題的運用點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用零點存在性定理，根據(jù)區(qū)間端點值的乘積小于零，得到函數(shù)的零點的區(qū)間2、A【解析】由題意可得：函數(shù)y=log12x∴∴∴實數(shù)m的取值范圍是(0故選A點睛：本小題考查的是學生對函數(shù)最值的應(yīng)用的知識點的掌握．本題在解答時應(yīng)該先將函數(shù)y=log12x在區(qū)間(0，3、A【解析】由三角函數(shù)定義得tan再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可【詳解】由三角函數(shù)定義得tan，即,得3cos解得或（舍去）故選A【點睛】本題考查三角函數(shù)定義及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，熟記公式，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4、C【解析】根據(jù)共線向量（即平行向量）定義即可求解.【詳解】解：對于A：可能是零向量，故選項A錯誤；對于B：兩個向量可能在同一條直線上，故選項B錯誤；對于C：因為與任何向量都是共線向量，所以選項C正確；對于D：平行向量可能在同一條直線上，故選項D錯誤故選：C.5、D【解析】對于A，B，C舉反例判斷即可，對于D，利用不等式的性質(zhì)判斷【詳解】解：對于A，若，則，所以A錯誤；對于B，若，則，此時，所以B錯誤；對于C，若，則，此時，所以C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以D正確，故選：D6、A【解析】由誘導公式計算出函數(shù)值后判斷詳解】，，，故選：A7、A【解析】首先由的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為，所以因為在上單調(diào)遞增，所以即故選：A8、D【解析】對于，由，則，故正確；對于，，故正確；對于，，故正確；對于，，故錯誤故選D9、A【解析】主要考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化和對數(shù)運算解：10、A【解析】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，作出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的圖象如圖：∵函數(shù)f（x）＝ex+x﹣2的零點為a，函數(shù)g（x）＝lnx+x﹣2的零點為b，∴y＝ex與y＝2﹣x的交點的橫坐標為a，y＝lnx與y＝2﹣x交點的橫坐標為b，由圖象知a＜1＜b，故選A考點：函數(shù)的零點二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】令f（t）＝2，解出t，則f（x）＝t，討論k的符號，根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象得出t的范圍即可【詳解】解：令f（t）＝2得t＝﹣1或t（k≠0）∵f（f（x））﹣2＝0，∴f（f（x））＝2，∴f（x）＝﹣1或f（x）（k≠0）（1）當k＝0時，做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知f（x）＝﹣1無解，即f（f（x））﹣2＝0無解，不符合題意；（2）當k＞0時，做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知f（x）＝﹣1無解，f（x）無解，即f（f（x））﹣2＝0無解，不符合題意；（3）當k＜0時，做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知f（x）＝﹣1有1解，∵f（f（x））﹣2＝0有3解，∴f（x）有2解，∴1，解得﹣1＜k綜上，k的取值范圍是（﹣1，]故答案為（﹣1，]【點睛】本題考查了函數(shù)零點個數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題12、【解析】先通過根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系，再通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可解得.【詳解】由題意：，所以或，且，所以，即，因為或，所以.故答案為：.13、2【解析】由扇形周長求得半徑同，弧長，再由面積公式得結(jié)論【詳解】設(shè)半徑為，則，，所以弧長為，面積為故答案為：214、6【解析】先通過誘導公式對原式進行化簡，然后通分，進而通過同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將原式轉(zhuǎn)化為只含的式子，最后得到答案.【詳解】原式=+，因為，所以.所以.故答案為：6.15、【解析】把不等式x2﹣2x＞0化為x（x﹣2）＞0，求出解集即可【詳解】不等式x2﹣2x＞0可化為x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2；∴不等式的解集為{x|x＜0或x＞2}故答案為【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目16、①.②.【解析】利用對勾函數(shù)的單調(diào)性直接計算函數(shù)的最大值和最小值作答.【詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即有當時，，而當時，，當時，，則，所以函數(shù)的最大值為，最小值為.故答案為：；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）①答案見解析；②答案見解析【解析】在單位圓里面證明，然后根據(jù)誘導公式即可證明和，利用正弦余弦和正切的關(guān)系即可證明；用正弦余弦正切的和角公式即可證明對應(yīng)的二倍角公式.【詳解】(1)不妨令.如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸非負半軸為始邊作角，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，.連接.若把扇形繞著點旋轉(zhuǎn)角，則點分別與點重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，與重合，從而，＝，∴.根據(jù)兩點間的距離公式，得：，化簡得：當時，上式仍然成立.∴，對于任意角有：.(2)①公式的推導：.公式的推導：正切公式的推導：②公式的推導：由①知，.公式的推導：由①知，.公式的推導：由①知，.18、（1）1（2）（3）存在，【解析】（1）根據(jù)求解并檢驗即可；（2）先證明函數(shù)單調(diào)性得在上為增函數(shù)，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性解不等式即可；（3）根據(jù)題意，將問題方程有兩個不相等的實數(shù)根，再利用換元法，結(jié)合二次方程根的關(guān)系求解即可.【小問1詳解】解：因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，得.此時，，滿足.所以【小問2詳解】解：由（1）知，，且，則.∵，∴，，∴，即，故在上增函數(shù)∴原不等式可化為，即∴，∴∴，∴原不等式的解集為【小問3詳解】解：設(shè)存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是，則，即，∴方程，即有兩個不相等的實數(shù)根∴方程有兩個不相等的實數(shù)根令，則，故方程有兩個不相等的正根故，解得∴存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是，其中的取值范圍為.19、（1）；（2）【解析】（1）由數(shù)量積公式，得夾角余弦值為；（2），所以。試題解析：(1)∵向量，∴.∴向量與的夾角的余弦值為.(2)∵向量與互相垂直，∴.又.∴.點睛：本題考查數(shù)量積的應(yīng)用。數(shù)量積公式，學生要熟練掌握數(shù)量積公式的應(yīng)用，能夠轉(zhuǎn)化到求夾角公式。兩向量垂直，則數(shù)量積為零。本題為基礎(chǔ)題型，考查公式的直接應(yīng)用。20、（1）A∩B={x|-1＜x＜2}；（2）.【解析】（1）將集合A,B進行化簡，再根據(jù)集合的交集運算即可求得結(jié)果；（2）由題意知-1,2為方程的兩根，代入方程聯(lián)立方程組，即可解得結(jié)果.試題解析：解：（1）A={x|-1＜x＜3},B={x|-3＜x＜2}，∴（2）-1,2為方程x2＋ax＋b=0的兩根∴∴.考點：集合的運算；方程與不等式的綜合應(yīng)用.21、（1），；（2）對稱軸為：，增區(qū)間為：；（3）.【解析】（