2025屆河南省周口市項城三高數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

2025屆河南省周口市項城三高數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.2．在平面上給定相異兩點，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線的虛軸端點，動點滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.4．設圓：和圓：交于A，B兩點，則線段AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.5．點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．2021年6月17日9時22分，搭載神舟十二號載人飛船的長征二號F遙十二運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．此后，神舟十二號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個月，開展艙外維修維護，設備更換，科學應用載荷等一系列操作．已知神舟十二號飛船的運行軌道是以地心為焦點的橢圓，設地球半徑為R，其近地點與地面的距離大約是，遠地點與地面的距離大約是，則該運行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的極值情況為（）A.2個極大值，1個極小值 B.1個極大值，1個極小值C.1個極大值，2個極小值 D.1個極大值，無極小值8．設，則曲線在點處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.9．橢圓的左、右焦點分別為，過焦點的傾斜角為直線交橢圓于兩點，弦長，若三角形的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．已知圓與圓，則兩圓的位置關系是（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離11．過拋物線（）的焦點作斜率大于的直線交拋物線于，兩點（在的上方），且與準線交于點，若，則A. B.C. D.12．下列命題是真命題的個數(shù)為（）①不等式的解集為②不等式的解集為R③設，則④命題“若，則或”為真命題A1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球的表面積為,則該球的體積為______.14．雙曲線的離心率______.15．若分別是平面的法向量，且，，，則的值為________.16．為增強廣大師生生態(tài)文明意識，大力推進國家森林城市建設創(chuàng)建進程，某班26名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵（各自挖坑種植），相鄰兩棵樹相距均為10米，在同學們挖坑期間，運到的樹苗集中放置在了某一樹坑旁邊，然后每位同學挖好自己的樹坑后，均從各自樹坑出發(fā)去領取樹苗．記26位同學領取樹苗往返所走的路程總和為，則的最小值為______米三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱的中點.（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.18．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求19．（12分）立德中學舉行冬令營活動期間，對位參加活動的學生進行了文化和體能測試，滿分為150分，其測試成績都在90分和150分之間，成績在認定為“一般”，成績在認定為“良好”，成績在認定為“優(yōu)秀”．成績統(tǒng)計人數(shù)如下表：體能文化一般良好優(yōu)秀一般0良好3優(yōu)秀2例如，表中體能成績良好且文化成績一般的學生有2人（1）若從這位參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學生概率為．求，的值；（2）在（1）的情況下，從體能成績優(yōu)秀的學生中，隨機抽取2人，求至少有一個人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；（3）若讓使參加體能測試的成績方差最小，寫出的值．（直接寫出答案）20．（12分）已知數(shù)列和中，，且，.（1）寫出，，，，猜想數(shù)列和的通項公式并證明；（2）若對于任意都有，求的取值范圍.21．（12分）已知拋物線C：x2＝2py的焦點為F，點N（t，1）在拋物線C上，且|NF|＝.（1）求拋物線C的方程；（2）過點M（0，1）的直線l交拋物線C于不同的兩點A，B，設O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.22．（10分）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)（1）求直線和曲線的普通方程；（2）直線與軸交于點，與曲線交于，兩點，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.2、C【解析】先求動點的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設，，,依題意得,即,兩邊平方化簡得,所以動點的軌跡是圓心為,半徑的圓，當位于圓的最高點時的面積最大，所以,解得；當位于圓的最左端時的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.3、C【解析】由，且，可得，再結合，可得，進而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉化為關于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對所得解進行取舍.4、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】設，因為圓：①和圓：②交于A，B兩點所以由①-②得：,即，故坐標滿足方程，又過AB的直線唯一確定，即直線的方程為.故選：A5、A【解析】由，當三點共線時，取得最值【詳解】設是橢圓的右焦點，則又因為，，所以，則故選：A6、A【解析】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標系，設橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標系，設橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，，所以，，所以橢圓的離心率故選：A7、B【解析】根據(jù)圖象判斷的正負，再根據(jù)極值的定義分析判斷即可【詳解】由，得，令，由圖可知的三個根即為與的交點的橫坐標，當時，，當時，，即，所以為的極大值點，為的極大值，當時，，即，所以為的極小值點，為的極小值，故選：B8、C【解析】根據(jù)導數(shù)的概念可得，再利用導數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，則曲線在點處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C9、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點三角形及三角形內(nèi)切圓的性質，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內(nèi)切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.10、A【解析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑之和半徑之差的關系，即可判斷位置關系.【詳解】對圓，其圓心，半徑；對圓，其圓心，半徑；又，故兩圓外切.故選：A.11、A【解析】分別過作準線的垂線，垂足分別為，設，則，，故選A.12、B【解析】舉反例判斷A，解一元二次不等式確定B，由導數(shù)的運算法則求導判斷C，利用逆否命題判斷D【詳解】顯然不是的解，A錯；，B正確；，，C錯；命題“若，則或”的逆否命題是：若且，則，是真命題，原命題也是真命題，D正確真命題個數(shù)2.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設球半徑為，由球表面積求出，然后可得球的體積【詳解】設球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為故答案為【點睛】解答本題的關鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結果14、【解析】根據(jù)雙曲線方程直接可得離心率.【詳解】由，可得，，故，離心率，故答案為：.15、－1或－2【解析】由題可得，即求.【詳解】依題意，，解得或.故答案為：或.16、【解析】根據(jù)對稱性易知：當樹苗放在第13或14個坑，26位同學領取樹苗往返所走的路程總和最小，再應用等差數(shù)列前n項和的求法求26位同學領取樹苗往返所走的路程總和.【詳解】將26個同學對應的26個坑分左右各13個坑，∴根據(jù)對稱性：樹苗放在左邊13個坑，與放在對稱右邊的13個坑，26個同學所走的總路程對應相等，∴當樹苗放在第13個坑，26位同學領取樹苗往返所走的路程總和最小，此時，左邊13位同學所走的路程分別為，右邊13位同學所走的路程分別為，∴最小值為米.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設.（1）寫出、的坐標，利用空間向量法計算出直線與所成角的余弦值；（2）求出平面的一個法向量的坐標，利用空間向量法可計算得出直線與平面所成角的正弦值；（3）求出平面的一個法向量的坐標，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】平面，四邊形為正方形，設.以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則、、、、、.（1），，，所以，異面直線、所成角的余弦值為；（2）設平面的一個法向量為，，，由，可得，取，可得，則，，，因此，直線與平面所成角的正弦值為；（3）設平面的一個法向量為，，，由，可得，得，取，則，，所以，平面的一個法向量為，，由圖形可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.18、（1）（2）【解析】（1）直接利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調性，由時，，時，；然后去掉絕對值，利用等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】是等差數(shù)列，公差；即；【小問2詳解】，則由（1）可知前五項為正，第六項開始為負.19、（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由題設可得求參數(shù)a，結合表格數(shù)據(jù)及已知總學生人數(shù)求參數(shù)b.（2）應用列舉法求古典概型的概率.（3）應用表格數(shù)據(jù)及方差公式可得且，即可確定成績方差最小對應的值.【小問1詳解】設事件：從位學生中隨機抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學生由題意知，體能或文化優(yōu)秀的學生共有人，則，解得所以；【小問2詳解】體能成績?yōu)閮?yōu)秀的學生共有5人，在這5人中，文化成績一般的人記為；文化成績良好的人記為；文化成績優(yōu)秀的人記為從文化成績優(yōu)秀的學生中，隨機抽取2人的樣本空間，設事件：至少有一個人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀，，所以，體能成績優(yōu)秀的學生中，隨機抽取2人，至少有一個人文化成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是；【小問3詳解】由題設知：體能測試成績，{一般，良好，優(yōu)秀}人數(shù)分別為{5，，}，對應平均分為{100,120,140}，所以體能測試平均成績，所以，而所以當時最小.20、（1），，，證明見解析（2）【解析】（1）已知兩式相加化簡可得是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，兩式相減化簡可得是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，則，（2）由題意可得只需要，令，由和解不等式可求出的最小值，從而可求得的取值范圍【小問1詳解】由已知得，猜想，，由題得，所以易知，即所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故，由題得，所以，即，所以是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】因為任意都有，即，只需要，記，易知，故，當時，，解得或，當時，，解得，因為，所以，所以，所以的取值范圍是.21、（1）x2＝2y；（2）證明見解析【解析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設直線l的直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系、斜率公式進行證明即可.【小問1詳解】∵點N（t，1）在拋物線C：x2＝2py上，且|NF|＝，∴|NF|＝，解得p＝1，∴拋物線C的方程為x2＝2y；【小問2詳解】依題意，設直線l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）