《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教案-第24課-區(qū)間估計、單正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計

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課題區(qū)間估計、單正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：理解區(qū)間估計、置信區(qū)間的概念掌握對單個正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計素質(zhì)目標(biāo)：（1）幫助學(xué)生掌握具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關(guān)系（2）培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：區(qū)間估計、置信區(qū)間、置信度的概念教學(xué)難點(diǎn)：對單個正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計教學(xué)方法講練結(jié)合法、問答法、討論法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過APP或其他學(xué)習(xí)軟件，搜集并了解區(qū)間估計及單正態(tài)總體均值與單方差的區(qū)間估計的相關(guān)知識【學(xué)生】完成課前任務(wù)考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到互動導(dǎo)入【教師】提出問題：什么是區(qū)間估計？【學(xué)生】思考、討論、回答傳授新知【教師】通過大家的發(fā)言，講解區(qū)間估計及單正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計的相關(guān)知識第三節(jié)區(qū)間估計【教師】提出區(qū)間估計的概念由由參數(shù)的點(diǎn)估計可知，可以用樣本的均值與方差來估計總體的均值與方差．在有些情況下，這種估計按照一定的判別標(biāo)準(zhǔn)（無偏性、有效性、一致性）是相當(dāng)好的．但是有時對總體參數(shù)估計不滿足于只是一個具體值，而是要估計總體參數(shù)落入某一區(qū)域，以及參數(shù)落入這一區(qū)域的概率．這樣的區(qū)域通常用區(qū)間的形式給出，同時給出此區(qū)間包含參數(shù)真實值的概率，這種形式的估計稱為區(qū)間估計．【教師】提出置信區(qū)間、置信下限、置信上限和置信度的定義定義1設(shè)總體X的分布函數(shù)是，其中是未知參數(shù)．給定，若由樣本確定的兩個統(tǒng)計量和滿足，則稱隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間．其中和稱為置信度為的雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限和置信上限，稱為置信度．是事前給定的一個比較小的正數(shù)，它是指參數(shù)估計不準(zhǔn)的概率，即參數(shù)未被區(qū)間涵蓋的概率，一般取或．例如，設(shè)參數(shù)滿足條件，則參數(shù)的置信度為96%的置信區(qū)間為，其中置信下限，置信上限．對于給定的置信度，根據(jù)樣本來確定未知參數(shù)的置信區(qū)間，稱為參數(shù)的區(qū)間估計．求未知參數(shù)的置信區(qū)間的一般步驟如下：（1）先選擇一個合適的估計方法對總體的未知參數(shù)做出估計，由此估計量出發(fā)，構(gòu)造樣本的函數(shù)U，要求U的分布已知，且含有待估參數(shù)，但不含其他未知參數(shù)．（2）對于給定的置信度，找到兩個常數(shù)，使（當(dāng)U為連續(xù)型隨機(jī)變量時，一般取b為U的分位數(shù)，取a為U的分位數(shù)）．（3）把不等式“”變形，使得，則區(qū)間就是的一個置信度為的置信區(qū)間．第四節(jié)正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計由于服從正態(tài)分布的總體廣泛存在，而且很多統(tǒng)計量的極限分布是正態(tài)分布，因此，下面專門介紹正態(tài)總體中的參數(shù)和的區(qū)間估計．一、單正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計設(shè)總體，是正態(tài)總體X的樣本．1．正態(tài)總體均值的區(qū)間估計（1）已知時的置信區(qū)間根據(jù)第六章統(tǒng)計量的抽樣分布定理知．因方差已知，于是，對給定置信度必存在，使，將上式括號內(nèi)的不等式作等價變換得，即得的置信區(qū)間．（7-6）【教師】通過例題，介紹已知時的置信區(qū)間的求法例1現(xiàn)隨機(jī)地從一批服從正態(tài)分布的零件中抽取16個，分別測其長度（單位：cm）如下：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11．估計該批零件的平均長度，并求的置信度為95%的置信區(qū)間．……（解析詳見教材）（2）未知時的置信區(qū)間由于方差未知，所以不能再像方差已知一樣，用U的分布導(dǎo)出的區(qū)間估計．根據(jù)第六章統(tǒng)計量的抽樣分布定理知．于是，利用T的分布可導(dǎo)出方差未知時正態(tài)總體的區(qū)間估計，給定置信度，則必存在，使．對上式作等價變換得．因此，的置信區(qū)間為．（7-7）【教師】通過例題，介紹未知時的置信區(qū)間的求法例2從一批零件中抽取16個零件，測得它們的直徑（單位：mm）如下：12.15，12.12，12.01，12.08，12.09，12.16，12.03，12.01，12.06，12.13，12.07，12.11，12.08，12.01，12.03，12.06．設(shè)這批零件的直徑服從正態(tài)分布．求零件直徑的均值對應(yīng)于置信度為0.95的置信區(qū)間．……（解析詳見教材）2．正態(tài)總體方差的區(qū)間估計（1）已知時方差的區(qū)間估計設(shè)是總體的樣本，由于，因此．根據(jù)分布的定義，有．因期望已知，于是，給定置信度，可在分布表中查得自由度為n的上側(cè)分位點(diǎn)及，使和．于是有．將上式作等價變換得．因此，正態(tài)分布總體在期望已知時方差的置信度為的置信區(qū)間為．（7-8）標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為的置信區(qū)間為．（7-9）【教師】通過例題，介紹已知時方差的置信區(qū)間的求法例3一批鋼筋的20個樣品的屈服點(diǎn)（單位：）為4.98，5.11，5.20，5.11，5.00，5.35，5.61，4.88，5.27，5.38，5.46，5.27，5.23，4.96，5.15，4.77，5.35，5.38，5.54，5.20．設(shè)屈服點(diǎn)服從正態(tài)分布，求屈服點(diǎn)總體方差及標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為95%的置信區(qū)間．……（解析詳見教材）（2）未知時方差的區(qū)間估計在未知的情況下，可以用X作為的估計量，并用代替，根據(jù)第六章統(tǒng)計量的抽樣分布定理知．同已知一樣，給定置信度，可在分布表中查得自由度為的上側(cè)分位點(diǎn)及，使和．于是有．將上式作等價變換得．因此，正態(tài)總體在未知時方差的置信度為的置信區(qū)間為．（7-10）標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為的置信區(qū)間為．（7-11）【教師】通過例題，介紹未知時方差的置信區(qū)間的求法例4從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機(jī)抽取10個，測得滾珠的直徑（單位：mm）如下：14.6，15.0，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8．若滾珠直徑服從正態(tài)分布且未知，求滾珠直徑方差的置信度為95%的置信區(qū)間．……（證明詳見教材）【學(xué)生】聆聽、思考、理解、記憶拓展訓(xùn)練【教師】給出題目，組織學(xué)生以小組為單位進(jìn)行解題1．設(shè)在正常條件下，某種機(jī)床加工的小孔孔徑（單位：cm），．現(xiàn)測得10個小孔孔徑的平均值為1.416，試求均值的置信度為0.95的置信區(qū)間．2．設(shè)有一批某廠生產(chǎn)的雞精，每袋凈重（單位：g）．現(xiàn)任取8袋測得凈重為12.1，11.9，12.4，12.3，11.9，12.1，12.4，12.1．試