2024-2025學年高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.7定積分的簡單應用跟蹤訓練含解析新人教A版選修2-2

PAGE定積分的簡潔應用[A組學業(yè)達標]1．求由y＝ex，x＝2，y＝1圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇x為積分變量，則積分區(qū)間為()A．[0，e2]B．[0,2]C．[1,2]D．[0,1]解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex，,y＝1))得ex＝1，即x＝0，所以積分區(qū)間為[0,2]．答案：B2．用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是()A.eq\i\in(a,c,)f(x)dxB.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\i\in(a,c,)fxdx))C.eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(b,c,)f(x)dxD.eq\i\in(b,c,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)f(x)dx解析：由定積分的幾何意義知，S1＝eq\i\in(b,c,)f(x)dx，S2＝－eq\i\in(a,b,)f(x)dx，故S＝S1＋S2＝eq\i\in(b,c,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)f(x)dx.答案：D3．由直線x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(π,3)，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)解析：所求面積為＝eq\f(\r(3),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝eq\r(3).答案：D4．由曲線y＝eq\r(x)與y＝x3所圍成的圖形的面積可用定積分表示為________．解析：畫出y＝eq\r(x)和y＝x3的草圖，所求面積為如圖所示陰影部分的面積，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝x3))得交點的橫坐標為x＝0及x＝1.因此，所求圖形的面積為S＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x3)dx.答案：eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x3)dx5．由y＝x2，y＝eq\f(1,4)x2及x＝1圍成的圖形的面積S＝________.解析：圖形如圖所示：S＝eq\i\in(0,1,)x2dx－eq\i\in(0,1,)eq\f(1,4)x2dx＝eq\i\in(0,1,)eq\f(3,4)x2dx＝eq\f(1,4)x3|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)6．一物體做直線運動的速度與時間成正比，5s時速度為20m/s，則物體起先運動10s內(nèi)所經(jīng)過的路程為________m.解析：∵v＝4t，∴s＝∫eq\o\al(10,0)4tdt＝(2t2)|eq\o\al(10,0)＝200(m)．答案：2007．計算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍成的圖形的面積．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝x2－2x＋3，))解得x＝0或x＝3.∴S＝eq\i\in(0,3,)(x＋3)dx－eq\i\in(0,3,)(x2－2x＋3)dx＝eq\i\in(0,3,)(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝eq\i\in(0,3,)(－x2＋3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(3,2)x2))|eq\o\al(3,0)＝eq\f(9,2).∴所圍成的圖形的面積為eq\f(9,2).8．在底面面積為S的圓柱形容器(容器厚度忽視不計)中盛有肯定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器的一個活塞(面積為S)從點a處推到b處，計算在移動過程中，氣體對活塞的壓力所做的功．解析：由物理學問易得，壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k，即pV＝k.因為V＝xS(x指活塞與底面的距離)，所以p＝eq\f(k,V)＝eq\f(k,xS).所以作用在活塞上的力F＝p·S＝eq\f(k,xS)·S＝eq\f(k,x).故氣體對活塞的壓力所做的功W＝eq\i\in(a,b,)eq\f(k,x)dx＝k·lnx|eq\o\al(b,a)＝klneq\f(b,a).[B組實力提升]9．若由曲線f(x)，直線x＝a，x＝b與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V＝πeq\i\in(a,b,)[f(x)]2dx，設由曲線x2＝4y，x2＝－4y，直線x＝4，x＝－4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿意x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4的點(x，y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則()A．V1＝eq\f(1,2)V2B．V1＝eq\f(2,3)V2C．V1＝V2D．V1＝2V2解析：畫出兩個平面圖形如下圖．法一：利用定積分求旋轉(zhuǎn)體體積的方法．V1＝V圓柱－V拋物線旋轉(zhuǎn)體＝8×π×42－2πeq\i\in(0,4,)4ydy＝128π－64π＝64π，V2＝eq\f(4,3)π×43－2×eq\f(4,3)π×23＝64π，所以V1＝V2.法二：用隨意一個與y軸垂直的平面截兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的兩個旋轉(zhuǎn)體，設截面與原點距離為|y|，則所得截面面積分別為S1＝π(42－4|y|)，S2＝π(42－y2)－π[4－(2－|y|)2]＝π(42－4|y|)，所以S1＝S2.由祖暅原理知，兩個幾何體的體積相等，即V1＝V2.答案：C10.一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示)，則原始的最大流量與當前最大流量的比值為________．解析：建立如圖所示的直角坐標系，可設拋物線的方程為x2＝2py(p＞0)，由圖易知點(5,2)在拋物線上，可得p＝eq\f(25,4)，故拋物線方程為x2＝eq\f(25,2)y，所以當前最大流量對應的截面面積為2eq\i\in(0,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,25)x2))dx＝eq\f(40,3)，原始的最大流量對應的截面面積為eq\f(2×6＋10,2)＝16，所以原始的最大流量與當前最大流量的比值為eq\f(16,\f(40,3))＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)11．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，直線l1：x＝1，l2：y＝et－1(t為常數(shù)，且0≤t≤1)，直線l1，l2與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形，以及直線l2，y軸與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中陰影部分所示．求當t改變時，陰影部分的面積的最小值．解析：依題意知，陰影部分的面積S＝eq\i\in(0,t,)(et－1－ex＋1)dx＋eq\i\in(t,1,)(ex－1－et＋1)dx＝eq\i\in(0,t,)(et－ex)dx＋eq\i\in(t,1,)(ex－et)dx＝(xet－ex)|eq\o\al(t,0)＋(ex－xet)|eq\o\al(1,t)＝(2t－3)et＋e＋1，令g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，令g′(t)＝0，解得t＝eq\f(1,2).當t∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時，g′(t)＜0，g(t)是減函數(shù)；當t∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))時，g′(t)＞0，g(t)是增函數(shù)．因此g(t)的最小值為geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝e＋1－2eq\r(e)＝(eq\r(e)－1)2，故陰影部分的面積的最小值為(eq\r(e)－1)2.12．已知函數(shù)f(x)＝x3－x，其圖象記為曲線C.證明：若對于隨意非零實數(shù)x1，曲線C與其在點P1(x1，f(x1))處的切線交于另一點P2(x2，f(x2))，曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3，f(x3))，線段P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則eq\f(S1,S2)為定值．證明：f′(x)＝3x2－1，曲線C在點P1處的切線方程為y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)(x－x1)＋xeq\o\al(3,1)－x1，即y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x\o\al(2,1)－1x－2x\o\al(3,1)，,y＝x3－x，))消去y，得x3－x＝(3xeq\o\al(2,1)－1