阿波羅尼斯圓及其應用 微點6 阿波羅尼斯圓綜合訓練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁阿波羅尼斯圓及其應用微點6阿波羅尼斯圓綜合訓練專題1阿波羅尼斯圓及其應用微點6阿波羅尼斯圓綜合訓練一、單選題（2022寧夏·石嘴山三中高二月考）1．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓在平面直角坐標系中，，，點滿足．則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于（

）A． B． C． D．（2022廣東·廣州一中高二期中）2．數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)（常數(shù)大于零且不等于一）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是阿氏圓.若對任意實數(shù)，直線：與圓恒有公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2022·河北保定·高二期末）3．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值（，且）的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡的圓心坐標為（

）A． B． C． D．4．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已經(jīng),,動點滿足,則動點軌跡與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．內(nèi)切 D．外切5．阿波羅尼斯（公元前262年~公元前190年），古希臘人，與阿基米德、歐幾里得一起被譽為古希臘三大數(shù)學家．阿波羅尼斯研究了眾多平面軌跡問題，其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個著名問題：已知平面上兩點A，B，則所有滿足（，且）的點P的軌跡是一個圓．已知平面內(nèi)的兩個相異定點P，Q，動點M滿足，記M的軌跡為C，若與C無公共點的直線l上存在點R，使得的最小值為6，且最大值為10，則C的長度為（

）A． B． C． D．（2022·廣東茂名·高二期末）6．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動點P(x，y)滿，則動點P軌跡與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．內(nèi)切 D．外切（2020·四川·瀘州老窖天府中學高二期中）7．阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題:平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點，動點滿足，當P、A、B不共線時，面積的最大值是（

）A． B． C． D．8．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德?歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數(shù)（，且），那么點P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點C到的距離之比為，則點C到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．（2022四川遂寧·高二期末）9．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，，點滿足．當三點不共線時，面積的最大值為（

）A．24 B．12 C． D．（2022湖北黃州中學高二開學考試）10．阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學家，約公元前年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩個定點距離的比為常數(shù)的點的軌還是圓，后人把這個國稱為阿波羅尼斯圓，已知定點、，動點滿足，則動點的軌跡為一個阿波羅尼斯圓，記此圓為圓，已知點在圓上（點在第一象限），交圓于點，連接并延長交圓于點，連接，當時，直線的斜率為（

）A． B． C． D．二、多選題（2022江蘇·高二專題練習）11．在平面上有相異兩點，，設(shè)點在同一平面上且滿足(其中，且)，則點的軌跡是一個圓，這個圓稱為阿波羅尼斯圓.設(shè)，，為正實數(shù)，下列說法正確的是（

）A．當時，此阿波羅尼斯圓的半徑B．當時，以為直徑的圓與該阿波羅尼斯圓相切C．當時，點在阿波羅尼斯圓圓心的左側(cè)D．當時，點在阿波羅尼斯圓外，點在圓內(nèi)（2022·浙江·玉環(huán)玉城中學高二期中）12．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷．他發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．已知在平面直角坐標系中，．點滿足，設(shè)點所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圓心坐標為B．C．曲線的周長為D．曲線上的點到直線的最小距離為13．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)；平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，．點滿足，設(shè)點所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論正確的是（

）A．的方程為B．在上存在點，使得到點的距離為C．在上存在點，使得D．上的點到直線的最小距離為14．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A、B的距離之比為定值（）的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，成為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，、，點Р滿足，設(shè)點Р所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的方程為B．在C上存在點D，使得C．在C上存在點M，使M在直線上D．在C上存在點N，使得（2022河北保定·高二期中）15．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A?B的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，?，點滿足，設(shè)點所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的方程為B．在曲線上存在點D，使得C．在曲線上存在點M，使M在直線上D．在曲線上存在點N，使得（2022福建龍巖·高二期中）16．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系中，，，動點滿足，直線，則（

）A．動點的軌跡方程為 B．直線與動點的軌跡一定相交C．動點到直線距離的最大值為 D．若直線與動點的軌跡交于，兩點，且，則三、填空題（2022天津河北·高二期中）17．希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，A（﹣2，0），B（4，0），點P滿足，則點P所構(gòu)成的曲線C的方程為_______________．18．阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點，，動點P滿足，則點P的軌跡方程是___________．（2022四川省武勝烈面中學校高二期中）19．阿波羅尼斯(古希臘數(shù)學家，約公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)(且)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，已知的兩個頂點是定點，它們的坐標分別為?；另一個頂點是動點，且滿足，則當?shù)拿娣e最大時，邊上的高為___________.（2022四川巴中·高二期末）20．阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，已知的兩個頂點是定點，它們的坐標分別為、；另一個頂點是動點，且滿足．則當?shù)拿娣e最大時，邊上的高為___________．21．阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學家，約公元前262—190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，，則當?shù)拿娣e最大時，的長為______.22．平面向量，滿足，，則與夾角最大值為______．23．已知平面向量滿足，，則的最小值為______．24．已知△ABC的面積3，且AB＝AC.若,則BD的最小值為______.四、雙空題（2022重慶·高二期末）25．設(shè)動點與兩不同定點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓．在直角坐標系中，，動點滿足點的軌跡的方程為_______．點是直線上任意一點，過作的切線，相切于，當取得最小值時，求的值______________（2022廣東·深圳七中高三月考）26．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點距離之比為定值且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系xOy中，已知點，若動點滿足，則動點的軌跡方程是___________；若直線與軌跡交于，當取最小值時，則___________.27．被譽為古希臘“數(shù)學三巨匠”之一的數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)一動點到兩個不同定點的距離之比為常數(shù)，則點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，簡稱“阿氏圓”據(jù)此請回答如下問題：已知中，A為一動點，為兩定點，且，，面積記為，若時，則______若時，則取值范圍為______．28．阿波羅尼奧斯（Apollonius）（公元前262～公元前190），古希臘人，與歐幾里得和阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》憑一己之力將圓錐曲線研究殆盡，致使后人沒有任何可插足之地；直到17世紀，笛卡爾和費馬的坐標系之后，數(shù)學家建立起了解析幾何體系，圓錐曲線的研究才有了突破.阿波羅尼奧斯在他的著作里得到了這樣的結(jié)論：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，也稱阿氏圓.已知動點到點與到點的距離之比為2：1，則動點P的軌跡方程為________.五、解答題（2022遼寧撫順·高二期末）29．設(shè)，是平面上兩點，則滿足(其中為常數(shù)，且)的點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，已知，，且.（1）求點所在圓的方程.（2）已知圓與軸交于，兩點(點在點的左邊)，斜率不為0的直線過點且與圓交于，兩點，證明：.（2022福建省福州八中高二期中）30．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262-公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知平面直角系中的點，，則滿足的動點的軌跡記為圓.(1)求圓的方程；(2)過點向圓作切線，，切點分別是，，求直線的方程.31．公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下著名結(jié)果：平面內(nèi)到兩個定點，距離之比為且的點的軌跡為圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓．(1)已知兩定點，，若動點滿足，求點的軌跡方程；(2)已知，是圓上任意一點，在平面上是否存在點，使得恒成立？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由；(3)已知是圓上任意一點，在平面內(nèi)求出兩個定點，，使得恒成立．只需寫出兩個定點，的坐標，無需證明．32．平面上兩點A、B，則所有滿足且k不等于1的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.已知圓上的動點P滿足：其中O為坐標原點，A點的坐標為.(1)直線上任取一點Q，作圓的切線，切點分別為M，N，求四邊形面積的最小值；(2)在（1）的條件下，證明：直線MN恒過一定點并寫出該定點坐標.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【分析】設(shè)，則由結(jié)合距離公式化簡可得，從而可知點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，進而可求出面積【詳解】設(shè)點，則，化簡整理得，即，所以點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，所以所求圖形的面積為，故選：D2．C【分析】設(shè)，由題意列式求出C圓的方程，再由直線方程可得直線恒過定點，求出圓C上橫坐標為1的點的縱坐標即可.【詳解】設(shè)，由，且，得，即，直線：恒過定點，把代入，解得，要使對任意實數(shù)k，直線l：與圓C恒有公共點，則，即b的取值范圍是故選：C3．A【分析】根據(jù)題設(shè)，應用兩點距離公式可得，整理并化為圓的標準形式，即可確定圓心.【詳解】令P(x，y)，則，兩邊平方并整理得：，∴圓心為(4，0)．故選：A．4．D【分析】求阿波羅尼斯圓后判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由已知動點滿足，得即動點軌跡為圓：，，兩圓外切.故選:D.5．B【分析】根據(jù)給定條件確定軌跡C是圓，利用圓的性質(zhì)求出其半徑即可計算作答.【詳解】依題意，M的軌跡C是圓，設(shè)其圓心為點D，半徑為r，顯然直線l與圓C相離，令點D到直線l的距離為d，由圓的性質(zhì)得：，解得，，所以C的長度為.故選：B6．A【分析】首先求得點的軌跡，再利用圓心距與半徑的關(guān)系，即可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由條件可知，，化簡為：，動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.故選：A7．D【分析】利用求出圓的方程和半徑，進而利用圓的范圍可求出三角形面積的最大值.【詳解】設(shè)，因為、，且，所以，整理得，即圓的方程為，半徑為；所以，則面積的最大值是.故選：D.8．A【分析】設(shè)，依題意，根據(jù)兩點的距離公式求出動點的軌跡方程，再求出圓心到直線的距離，即可求出點到直線距離的最小值；【詳解】解：設(shè)，則，即，化簡得，所以點的軌跡為以為圓心，的圓，則圓心到直線的距離，所以點C到直線的距離的最小值為；故選：A9．B【解析】設(shè)，可表示出、，根據(jù)題意，列出等式，化簡整理，即可得點P的軌跡方程，如圖所示，可的P到AB的距離最大值，代入公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，即，整理可得，即，如圖所示：當P在圓心Q（-4,0）的正上方時，P到AB的距離最大，且為半徑4,所以面積的最大值為.故選：B【點睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件，求得點P的軌跡方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，求得答案，考查數(shù)形結(jié)合，計算化簡的能力，屬中檔題.10．A【分析】設(shè)點，根據(jù)求出點的軌跡方程，過圓心作于點，求出、，可求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得直線的斜率.【詳解】如圖所示，設(shè)動點，則，化簡可得，化為標準方程可得圓．因為，，則為等邊三角形，過圓心作于點，則，，所以，所以，故選：A．11．AD【解析】設(shè)，根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，求得其方程，然后逐項判斷.【詳解】設(shè)，所以，因為，所以，A.當時，此阿波羅尼斯圓的半徑，故正確；B.當時，以為直徑的圓為，阿波羅尼斯圓為，圓心距為，兩半徑之和為，兩半徑之差的絕對值為，不相切，故錯誤；C.當時，圓心的橫坐標為，所以點在阿波羅尼斯圓圓心的右側(cè)，故錯誤；D.當時，點與圓心的距離，在阿波羅尼斯圓外，點與圓心的距離，在圓內(nèi)，故正確；故選：AD12．ABD【分析】設(shè)，利用兩點間的距離公式求出點所構(gòu)成的曲線方程，然后逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，由可得，整理可得，化為，所以曲線的圓心坐標為，半徑為，故A正確；圓心到點的距離為，所以，即，故B正確；圓的周長為，故C錯誤；圓心到直線的距離為，所以曲線上的點到直線的最小距離為.故選：ABD13．ABD【分析】對于A，設(shè)點，由結(jié)合兩點間的距離公式化簡即可判斷，對于B，由A可知曲線C的方程表示圓心為，半徑為的圓，從而可求出圓上的點到點的距離的范圍，進而進行判斷，對于C，設(shè)，由，由距離公式可得方程，再結(jié)點在曲線C上，得到一個方程，兩方程聯(lián)立求解判斷，對于D，由于曲線C的方程表示圓心為，半徑為的圓，所以只要求出圓心到直線的距離減去圓的半徑可得答案【詳解】由題意可設(shè)點，由，，，得，化簡得，即，所以選項A正確；對于選項B，曲線C的方程表示圓心為，半徑為的圓，點與圓心的距離為，與圓上的點的距離的最小值為，最大值為，而，所以選項B正確；對于選項C，設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，解得無解，所以選項C錯誤；對于選項D，的圓心到直線的距離為，且曲線的半徑為，則上的點到直線的最小距離故選項D正確；故選：ABD．14．AD【分析】通過設(shè)出點P的坐標，利用，即可求出曲線C的軌跡方程，然后假設(shè)曲線C上一點坐標，根據(jù)BCD三個選項逐一列出所滿足條件，然后與C的軌跡方程聯(lián)立，判斷是否有解，即可得出答案.【詳解】設(shè)點，由，得，化簡得，即，故A選項正確；對于B選項，設(shè)，由得，又，聯(lián)立方程可知無解，故B選項錯誤；對于C選項，設(shè)，由M在直線上得，又，聯(lián)立方程可知無解，故C選項錯誤；對于D選項，設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程可知有解，故D選項正確.故選：AD.15．AD【分析】通過設(shè)出點P的坐標，利用，即可求出曲線C的軌跡方程，然后假設(shè)曲線C上一點坐標，根據(jù)BCD三個選項逐一列出所滿足條件，然后與曲線C的軌跡方程聯(lián)立，判斷是否有解，即可得出答案.【詳解】設(shè)點，由，得，化簡得，即，故A選項正確；對于B選項，設(shè)，由得，又，聯(lián)立方程可知無解，故B選項錯誤；對于C選項，設(shè)，由M在直線上得，又，聯(lián)立方程可知無解，故C選項錯誤；對于D選項，設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程可知有解，故D選項正確.故選：AD.16．ABD【分析】設(shè)，進而根據(jù)題意易得其軌跡方程，判斷A選項；再結(jié)合直線過定點判斷點與圓的位置關(guān)系判斷B選項；易知當直線與垂直時動點到直線距離的最大，計算可判斷C選項；根據(jù)直線與圓相交弦長的求解方法求解即可判斷D選項.【詳解】解：設(shè)．因為，所以，所以，即，所以對于A選項，動點的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，故A正確．對于B選項，因為直線過定點，而點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故B正確．對于C選項，當直線與垂直時，動點到直線的距離最大，且最大值為，故C錯誤．對于D選項，記圓心到直線的距離為，則．因為，所以．因為，所以．由，得，故D正確．故選：ABD17．（x＋4）2＋y2＝16【分析】首先設(shè)出點的坐標，然后列出等式，最后化簡所得的等式可得軌跡方程.【詳解】由題意可設(shè)點，由A（﹣2，0），B（4，0），，得，化簡得，即，故答案為：.18．【分析】直接設(shè)點P的坐標，利用兩點間距離公式代入化簡整理可求點P的軌跡方程．【詳解】設(shè)，即，整理得：即．故答案為：．19．2【分析】根據(jù)已知條件求出點的軌跡，然后經(jīng)過分析可知的面積最大，此時邊上的高為圓的半徑2.【詳解】設(shè)，因為，在中結(jié)合正弦定理可得，即，所以有，化簡整理得，所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（去掉點），所以當時，的面積最大，此時邊上的高為圓的半徑2.故答案為：2.20．【分析】首先求出點的軌跡方程，當?shù)拿娣e最大時，即邊上的高最大，即可求解.【詳解】，即兩線段比值為大于零且不等于的常數(shù)，點的軌跡是圓．設(shè)．、，，，平方整理得，即，故點的軌跡是以為圓心，半徑長為的圓，因此，當?shù)拿娣e最大時，邊上的高即為該圓的半徑．故答案為：21．【分析】建立直角坐標系，根據(jù)條件將點軌跡轉(zhuǎn)化為阿氏圓的問題來解決【詳解】如上圖所示，以的中點為原點，邊所在直線為軸建立直角坐標系，因為，所以，，設(shè)點，因為，由正弦定理可得：，即，所以：，化簡得：，且，，圓的位置如上圖所示，圓心為，半徑，觀察可得，三角形底邊長不變的情況下，當點位于圓心的正上方時，高最大，此時的面積最大，點坐標為，所以故答案為：22．##【分析】根據(jù)條件先求得，再用夾角公式及基本不等式可求解.【詳解】解：∵，∴，∴，∴；∴，當且僅當、等號成立，∵；∴；∴與夾角的最大值為．故答案為：23．【分析】直接利用向量的絕對值（三角）不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】利用向量的絕對值（三角）不等式，因為平面向量滿足，，所以，，則．故答案為:.24．【解析】由題可設(shè),則,利用余弦定理可得,再根據(jù)三角形面積公式可得,則,進而,則為關(guān)于的函數(shù),利用換元法和導函數(shù)求得最值即可【詳解】由題,設(shè),則,所以,因為,所以,因為大邊對大角,所以令為銳角,則,所以,設(shè),則,所以,令,則,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以,故答案為：【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查利用導函數(shù)求最值,考查運算能力25．

【分析】設(shè)，可得，，代入，整理可得點的軌跡的方程；畫出圖形，可知當離圓心最近時，最小，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，進一步可得的值．【詳解】解：（1）設(shè)點的坐標為，則，，由，得，化簡可得，此曲線的方程為；（2）曲線是以點為圓心，4為半徑的圓，如圖，要使最小，則最小，可知離圓心最近，此時，，則，，則．故答案為：；．26．

【分析】設(shè)出點M的坐標，利用給定幾何關(guān)系列方程并化簡即得軌跡的方程；利用圓的性質(zhì)即可求出取最小值時的m值.【詳解】設(shè)動點，因，于是得，化簡整理得：，所以動點的軌跡的方程是：；顯然軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，直線恒過定點，點在圓內(nèi)，由圓的性質(zhì)知，當弦PQ長最短時，直線垂直于直線BC，直線BC斜率，因此，，解得，所以當取最小值時，則.故答案為：；127．

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【分析】以作為原點建立平面直角坐標系，可得點和點的坐標，設(shè)出點A的坐標，結(jié)合條件代入兩點之間的距離公式可得點的軌跡為除去軸上兩點的一個圓，利用圓上的點的縱坐標和三角形面積之間的關(guān)系即可解決