第24章 解直角三角形 單元達(dá)標(biāo)測(cè)試卷 2024-2025學(xué)年華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第24章解直角三角形單元達(dá)標(biāo)測(cè)試卷2024--2025學(xué)年華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．的值等于（）A．1 B． C． D．2．在中，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖，某山坡的坡面米，坡角，則該山坡的高度是（

）米A． B． C． D．4．若，均為銳角，且，，則（

）A．， B．C．， D．5．如圖，在中，，設(shè)，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，則（）A． B． C． D．6．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知，則α的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．如圖，從山下乘纜車(chē)上山，纜繩與水平方向成的夾角，已知纜車(chē)速度為每分鐘米，從山腳到山頂需分鐘，則山的高度為（

）

A．米 B．米C．米 D．米9．如圖，在中，，邊的垂直平分線(xiàn)交于，交于，則的長(zhǎng)為（

）A．12 B．24 C．6 D．1810．如圖，在中，，是高，，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．11．如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．則的值是（

）A．2 B． C． D．12．如圖，在中，，，為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．6.5 B．6.8 C．7 D．7.2二、填空題13．如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)是．14．如圖，在中，是斜邊上的中線(xiàn)，，則．

15．如圖，O是矩形的對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，E是邊的中點(diǎn)．若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為．16．如圖，中，是斜邊上的高，是6，，則上的中線(xiàn)長(zhǎng)是．三、解答題17．計(jì)算：(1)(2)．18．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，求證：．19．如圖，一座古塔坐落在小山上(塔頂記作點(diǎn)A，其正下方水平面上的點(diǎn)記作點(diǎn)B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距離，便利用無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)量，但由于某些原因，無(wú)人機(jī)無(wú)法直接飛到塔頂進(jìn)行測(cè)量，因此他先控制無(wú)人機(jī)從腳底(記為點(diǎn)C)出發(fā)向右上方(與地面成，點(diǎn)A，B，C，O在同一平面)的方向勻速飛行4秒到達(dá)空中O點(diǎn)處，再調(diào)整飛行方向，繼續(xù)勻速飛行8秒到達(dá)塔頂，已知無(wú)人機(jī)的速度為5米/秒，，求小李到古塔的水平距離即的長(zhǎng)．20．如圖，表示某引水工程的一段設(shè)計(jì)路線(xiàn)，從M到N的走向?yàn)槟掀珫|，在M的南偏東方向上有一點(diǎn)A，以A為圓心、為半徑的圓形區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)．取上的另一點(diǎn)B，測(cè)得的方向?yàn)槟掀珫|．已知，通過(guò)計(jì)算回答，如果不改變方向，輸水管道是否會(huì)穿過(guò)居民區(qū)．21．隨著人民生活質(zhì)量的不斷提高，國(guó)家越來(lái)越重視“全民運(yùn)動(dòng)”，其中籃球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)深受市民喜歡的球類(lèi)運(yùn)動(dòng)，圖1，圖2分別是某款籃球架的實(shí)物圖與示意圖，已知，，，，，籃板頂端P點(diǎn)到籃框F的距離，支架垂直水平地面，支架與水平地面平行，求籃框F到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）22．如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)O，平分，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若求的長(zhǎng)．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：題號(hào)12345678910答案CDDABDDAAD題號(hào)1112答案AC1．C【知識(shí)點(diǎn)】特殊三角形的三角函數(shù)【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角構(gòu)造直角三角形計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，中，，，則，，∴，故選：C．2．D【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，正確記憶三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)三角函數(shù)的定義分別求解可得．【詳解】解：如圖所示，∵，，，∴，A、，故該選項(xiàng)不符合題意；B、，故該選項(xiàng)不符合題意；C、，故該選項(xiàng)不符合題意；D、，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．D【知識(shí)點(diǎn)】坡度坡比問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在中，由，即可得出的長(zhǎng)度．【詳解】在中，，∵坡面米，坡角，∴該山坡的高度，故選：D．4．A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)【分析】本題考查根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，；故選A．5．B【知識(shí)點(diǎn)】正弦的概念辨析、正切的概念辨析【分析】本題考查了三角函數(shù)的定義．根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵中，，、、所對(duì)的邊分別為a，b，c，∴，即，則A選項(xiàng)不成立，B選項(xiàng)成立；，即，則C、D選項(xiàng)均不成立；故選：B．6．D【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、求角的正弦值【分析】本題考查銳角三角函數(shù)，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，先求得，再根據(jù)正弦定義求解即可．【詳解】解：如圖，，，在中，，故選：D．7．D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)【分析】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)的余弦值是解答，熟記的余弦值是是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，故選：D．8．A【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦的定義即可得到答案．【詳解】解：由題意得（米），在中，，，（米），故選A．9．A【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，含角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得到，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，因此，求出，由含角的直角三角形的性質(zhì)推出，于是．【詳解】解：，，，垂直平分，，，，，，，，．故選：A．10．D【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形【分析】本題考查了含度角的直角三角形的性質(zhì)：度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，熟記相關(guān)結(jié)論即可求解；【詳解】解：∵是邊上的高線(xiàn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴故選：D．11．A【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、求角的正切值、矩形與折疊問(wèn)題、用勾股定理解三角形【分析】連接交于點(diǎn)F，設(shè)，則，利用勾股定理求得，由折疊得到，垂直平分，則，由代入求得，則，所以，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：連接交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵四邊形是矩形，∴，∴∵將四邊形沿翻折，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)A，E處，∴點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，∴，垂直平分，∴，，，∵，∴∴，∴∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．12．C【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)，作于，則，證明，得出，求出，再由含角的直角三角形的性質(zhì)即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作于，則，∵，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．13．4【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形【分析】本題考查了含30度角的直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：在中，，，，，故答案為：4．14．5【知識(shí)點(diǎn)】斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半【分析】本題主要考查直角三角形斜邊中線(xiàn)定理，熟練掌握直角三角形斜邊中線(xiàn)定理是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”進(jìn)行求解即可．【詳解】解：在中，是斜邊上的中線(xiàn)，，∴；故答案為5．15．6.5【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、與三角形中位線(xiàn)有關(guān)的求解問(wèn)題、斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半【分析】此題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線(xiàn)定理得出解答．根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線(xiàn)定理得出，進(jìn)而利用勾股定理得出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵O是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，E是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴，∴，又∵O是矩形對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，∴，故答案為：．16．【知識(shí)點(diǎn)】斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．設(shè)，則，證明，則，即，可求滿(mǎn)足要求的解為，則，由，可知上的中線(xiàn)長(zhǎng)是．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，或（舍去），∴，∵，∴上的中線(xiàn)長(zhǎng)是，故答案為：．17．(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算【分析】本題考查了含有特殊角的三角函數(shù)值的實(shí)數(shù)的運(yùn)算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，然后計(jì)算乘方再計(jì)算除法，最后進(jìn)行減法計(jì)算；（2）根據(jù)題意，先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，然后計(jì)算乘法，絕對(duì)值，最后合并，整理，得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等、斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，根據(jù)已知可知為的斜邊中線(xiàn)，可得，再由可得，由此即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴19．【知識(shí)點(diǎn)】仰角俯角問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：米，米，，，從而可得，進(jìn)而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后利用線(xiàn)段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：由題意得：米，米，，，，，，在中，米，在中，米，米，米，小李到古塔的水平距離即的長(zhǎng)為米．20．輸水管道會(huì)穿過(guò)居民區(qū)【知識(shí)點(diǎn)】方位角問(wèn)題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)A作于C，由題意得，，設(shè)，解直角三角形得到，，則可得方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于C，由題意得，，設(shè)，在中，，在中，，∵，∴，解得，∵，∴，∴，∴輸水管道會(huì)穿過(guò)居民區(qū)．21．籃框F到水平地面的距離約為【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，先求出，再解得到，根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系得到，據(jù)此求出的值即可得到答案．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M．由題意可知，，．在，，，．，，，，∴籃框F到水平地面的距離約