07平面圖形的幾何性質(zhì)

第7章平面圖形的幾何性質(zhì)附錄§I.1靜矩和形心一、靜矩靜矩是面積與它到軸的距離之積。附錄dAxyyxO二、形心：(等厚均質(zhì)板的質(zhì)心與形心重合。)附錄dAxyyx等厚均質(zhì)質(zhì)心：等于形心坐標(biāo)o例1

試確定下圖的形心。解：組合圖形，用正負(fù)面積法解之。1.用正面積法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖(a)附錄801201010xyC2圖(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用負(fù)面積法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖(b)圖(b)C1（0,0）C2（5,5）附錄C2負(fù)面積C1xy同理§I.2慣性矩和慣性半徑二、慣性矩：(與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量類似）慣性矩是面積與它到軸的距離的平方之積。

附錄dAxyyxr一、極慣性矩：極慣性矩是面積對極點(diǎn)的二次矩。O附錄dAxyyxrO三、極慣性矩與慣性矩的關(guān)系四、慣性半徑慣性半徑附錄dAxyyxr慣性積：面積與其到兩軸距離之積。如果x或y

是圖形的對稱軸，則Ixy=0O§I.3慣性積附錄

[例2]求矩形截面對通過其形心且與邊平行的x、y軸的慣性矩Ix、Iy和慣性積Ixy

。解取一平行于x軸的窄長條，其面積為dA＝bdy，則由慣性矩的定義，得同理可得因?yàn)閤、y軸均為對稱軸，故Ixy＝0。

附錄

[例3]求圖示直徑為d的圓對過圓心的任意軸(直徑軸)的慣性矩Ix，Iy，及對圓心的極慣性矩IP。

解首先求對圓心的極慣性矩。在離圓心O為處作寬度為的薄圓環(huán)，其面積為則圓截面對圓心的極慣性矩為由于圓形對任意直徑軸都是對稱的，故Ix＝Iy?？傻肐x＝Iy＝§I.4平行移軸公式平行移軸公式：（與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸公式類似）以形心為原點(diǎn)，建立與原坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸如圖附錄dAxyyxrabCxCyCo注意:C點(diǎn)必須為形心附錄[例4]

求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解：求解此題有兩種方法：一是按定義直接積分；二是用平行移軸定理等知識求。B建立形心坐標(biāo)如圖，求圖形對形心軸的慣性矩。附錄AdxyOcircleA附錄

[例5]

求圖示截面圖形對過形心C的x、y軸的慣性矩。解為求Ix、Iy將組合圖形分割為兩個(gè)矩形I和Ⅱ。組合截面的慣性矩應(yīng)為各組成部分的慣性矩之和。附錄同理應(yīng)用平行移軸公式，有代入上式得§I.5轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸一、

慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理附錄dAxyyxax1y1x1y1o附錄二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩1.主慣性軸和主慣性矩：坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)到

=

0

時(shí)；恰好有與

0

對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸x0

y0

稱為主慣性軸；平面圖形對主慣性軸之慣性矩稱為主慣性矩。附錄

2.形心主軸和形心主慣性矩：

主慣性軸過形心時(shí)，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩附錄形心主慣性矩：3.求截面形心主慣性矩的方法①建立坐標(biāo)系②計(jì)算面積和面積矩③求形心位置④建立形心坐標(biāo)系；求：IyC

，

IxC

，

IxCyC⑤求形心主軸方向

—

0

⑥求形心主慣性矩附錄

[例6]在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。

(b=1.5d)解：①建立坐標(biāo)系如圖。②求形心C的位置。③

建立形心坐標(biāo)系