上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）如果，那么等于（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：92．（4分）如果C是線段AB延長線上一點(diǎn)，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．（4分）已知△ABC的三邊長分別為：6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一邊長為4cm，當(dāng)△DEF的另兩邊長是下列哪一組時(shí)，這兩個(gè)三角形相似（）A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm4．（4分）如圖，是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．1 B． C． D．55．（4分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，在正方形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，DF＝3FC，連接AE、AF、EF，那么下列結(jié)論中：①△ABE與△EFC相似；②△ABE與△AEF相似；③△ABE與△AFD相似：④△AEF與△EFC相似；⑤∠AEF＝90°；其中錯誤的有（）個(gè)．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）線段a＝2cm，線段b＝8cm，線段a、b的比例中項(xiàng)是線段c，則線段c＝cm．8．（4分）在比例尺為1：1000000的地圖上量得港珠澳大橋長5.5厘米，則大橋的實(shí)際長度為千米．9．（4分）若點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，AB＝2，則AP＝．（保留根號）10．（4分）若a：b：c＝2：3：4，且a+b+c＝18，則a+b﹣c＝．11．（4分）兩個(gè)相似三角形的面積比為4：9，其中較小三角形的周長為4，則較大三角形的周長為．12．（4分）如圖，直線AB∥CD∥EF，若AD＝12，DF＝4，BE＝20，那么CE的長為．13．（4分）如圖，G為△ABC的重心，GN∥AC交BC于N，那么MN：BC＝．14．（4分）如圖，在?ABCD中，連接AC，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，AE：DE＝1：2，連接BE交AC于點(diǎn)F，若S△BCF＝9，則四邊形CDEF的面積是．15．（4分）如圖，CD⊥DB，AB⊥DB，且AB＝6，CD＝4，DB＝14，點(diǎn)P是線段DB上一動點(diǎn)，當(dāng)DP＝時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似．16．（4分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，G為線段CD上一動點(diǎn)，連接BG，交AE于點(diǎn)F，若＝m+1，則的值為．17．（4分）如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BED＝90°，EB＝ED，連接AE，若BC＝3，則△ABE的面積為．18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，點(diǎn)D、E分別是邊BC、BA的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE．將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D、E的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D1、E1．如果點(diǎn)E1落在線段AC上，那么線段CD1＝．三、解答題：（19-22題，每題10分，23-24題，每題12分，25題14分，滿分78分）19．（10分）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，若∠APB＝120°，求證：△ACP∽△PDB．20．（10分）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊AC、AB上的點(diǎn)，EC和BD相交于點(diǎn)O，且∠ABD＝∠ACE，連接DE．若，求的值．21．（10分）有一塊三角形余料ABC，它的邊長BC＝120mm，高AD＝80mm．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩邊長分別為多少毫米？22．（10分）如圖，△ABC中，M為AC邊的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且AE＝AB，連接EM并延長交BC的延長線于D，求證：BC＝2CD（請用4種方法解決）．23．（12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，且AC⊥BD．（1）求證：CD2＝BC?AD；（2）點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AF，與BD相交于點(diǎn)G，且∠BAF＝∠ADB，求證：＝．24．（12分）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），連接BC．（1）求△ABC的面積；（2）如果動點(diǎn)D在直線BC上，使得∠CBO＝∠CAD，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如果動點(diǎn)P在直線y＝x+3上，且△ABC與△POB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．25．（14分）如圖，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC?BD，AB＝3，過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，延長AE、CB交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF．（1）求證：AE＝AC；（2）設(shè)BC＝x，＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；（3）當(dāng)△ABC與△DEF相似時(shí)，求邊BC的長．

2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）如果，那么等于（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求出b＝a，再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：∵，∴b＝a，∴＝＝＝．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（4分）如果C是線段AB延長線上一點(diǎn)，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【考點(diǎn)】比例線段．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】設(shè)AC＝3x，則BC＝x，AB＝2x，據(jù)此即可求解．【解答】解：∵AC：BC＝3：1，∴設(shè)AC＝3x，則BC＝x，AB＝2x，則AB：BC＝2：1．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，正確設(shè)出線段的長度是關(guān)鍵．3．（4分）已知△ABC的三邊長分別為：6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一邊長為4cm，當(dāng)△DEF的另兩邊長是下列哪一組時(shí)，這兩個(gè)三角形相似（）A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】常規(guī)題型．【答案】C【分析】根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的三角形相似，即可求得．注意△DEF中為4cm邊長的對應(yīng)邊可能是6cm或7.5cm或9cm，所以有三種情況．【解答】解：設(shè)△DEF的另兩邊為xcm，ycm，若△DEF中為4cm邊長的對應(yīng)邊為6cm，則：，解得：x＝5，y＝6；若△DEF中為4cm邊長的對應(yīng)邊為7.5cm，則：，解得：x＝3.2，y＝4.8；若△DEF中為4cm邊長的對應(yīng)邊為9cm，則：，解得：x＝，y＝；故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定：三邊對應(yīng)成比例的三角形相似．解此題的關(guān)鍵要注意△DEF中為4cm邊長的對應(yīng)邊不確定，答案不唯一，要仔細(xì)分析，小心別漏解．4．（4分）如圖，是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．1 B． C． D．5【考點(diǎn)】平行線分線段成比例；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．【解答】解：如圖，OB＝1.5，OA＝3，OC＝10，∵PB∥AC，∴，∴，∴OP＝5．∴點(diǎn)P表示的數(shù)是5．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．5．（4分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【解答】解：∵，∴DE∥BC，故A正確；∵，∴DE∥BC，故B正確；∵，∴DE∥BC，故D正確，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（4分）如圖，在正方形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，DF＝3FC，連接AE、AF、EF，那么下列結(jié)論中：①△ABE與△EFC相似；②△ABE與△AEF相似；③△ABE與△AFD相似：④△AEF與△EFC相似；⑤∠AEF＝90°；其中錯誤的有（）個(gè)．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【考點(diǎn)】相似三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定逐一判斷即可．【解答】解：設(shè)正方形的邊長為4a，則AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∵E為BC中點(diǎn)，DF＝3FC，∴BE＝CE＝2a，CF＝a，DF＝3a，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴，，，∵AE2+EF2＝AF2＝25a2，∴△AEF為直角三角形，∠AEF＝90°，故⑤正確；∴∠AEB+∠CEF＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF，故①正確；∵，∴△ABE∽△AEF，故②正確；∵，∴△ABE和△AFD不相似，故③錯誤；④正確；∴正確的有：①②④⑤，錯誤的有1個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定，熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）線段a＝2cm，線段b＝8cm，線段a、b的比例中項(xiàng)是線段c，則線段c＝4cm．【考點(diǎn)】比例線段．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出中項(xiàng)，注意線段不能為負(fù)．【解答】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．即c2＝ab，則c2＝2×8，解得c＝±4，（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去）．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，理解比例中項(xiàng)的概念，這里注意線段不能是負(fù)數(shù)．8．（4分）在比例尺為1：1000000的地圖上量得港珠澳大橋長5.5厘米，則大橋的實(shí)際長度為55千米．【考點(diǎn)】比例尺．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】55．【分析】依據(jù)題意，根據(jù)比例尺的定義列式計(jì)算，然后再把單位換算為千米即可．【解答】解：由題意，根據(jù)比例尺的性質(zhì)可得，大橋的實(shí)際長度為：5.5÷＝5500000（cm）．∴5500000cm＝55km．故答案為：55．【點(diǎn)評】本題主要考查了比例尺，解題時(shí)要能熟練掌握并能靈活根據(jù)題意列出關(guān)系式計(jì)算是關(guān)鍵．9．（4分）若點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，AB＝2，則AP＝﹣1．（保留根號）【考點(diǎn)】黃金分割．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP＞BP；則AP＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長．【解答】解：由于P為線段AB＝2的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP；則AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割的概念．應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段＝原線段的，較長的線段＝原線段的．10．（4分）若a：b：c＝2：3：4，且a+b+c＝18，則a+b﹣c＝2．【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由a：b：c＝2：3：4，可設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后由a+b+c＝18，即可求得a，b，c的值，繼而求得a+b﹣c的值．【解答】解：∵a：b：c＝2：3：4，設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a+b+c＝18，∴2k+3k+4k＝18，解得：k＝2，∴a＝4，b＝6，c＝8，∴a+b﹣c＝4+6﹣8＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】此題考查了比例的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握由a：b：c＝2：3：4，可設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k的解題方法．11．（4分）兩個(gè)相似三角形的面積比為4：9，其中較小三角形的周長為4，則較大三角形的周長為6．【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】6．【分析】先求出相似三角形的相似比，再求出兩三角形的周長比，代入求出即可．【解答】解：設(shè)較大的三角形的周長為x，∵兩個(gè)相似三角形的面積的比是4：9，∴這兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，∴這兩個(gè)三角形的周長比為2：3，∵較小的三角形的周長為4，∴，∴x＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比．12．（4分）如圖，直線AB∥CD∥EF，若AD＝12，DF＝4，BE＝20，那么CE的長為5．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】5．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AD＝12，DF＝4，∴，∴BC＝3CE，∴BE＝4CE，∵BE＝20，∴CE＝BE＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查平行線分線段成比例，熟平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．13．（4分）如圖，G為△ABC的重心，GN∥AC交BC于N，那么MN：BC＝1：6．【考點(diǎn)】三角形的重心；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】三角形；圖形的相似．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形的重心的概念和性質(zhì)得到AM是△ABC的中線，MG：GA＝1：2，根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：∵G為△ABC的重心，∴AM是△ABC的中線，MG：GA＝1：2，∴BM＝MC，MG：MA＝1：3，∵GN∥AC，∴MN：MC＝MG：MA＝1：3，∴MN：BC＝1：6，故答案為：1：6．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，在?ABCD中，連接AC，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，AE：DE＝1：2，連接BE交AC于點(diǎn)F，若S△BCF＝9，則四邊形CDEF的面積是11．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】11．【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC，由AE：DE＝1：2得AE：BC＝1：3，證明△AFE∽△CFB得，進(jìn)而得到△AFB，△AEF的面積，即可得△ABC的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE：DE＝1：2，∴AE：AD＝1：3，∵AD＝BC，∴AE：BC＝1：3，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴，∴，＝3，∵S△BCF＝9，∴S△AEF＝1，∴S△ACD＝S△ABC＝S△BCF+S△AFB＝12，∴S四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12﹣1＝11．故答案為：11．【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點(diǎn)．15．（4分）如圖，CD⊥DB，AB⊥DB，且AB＝6，CD＝4，DB＝14，點(diǎn)P是線段DB上一動點(diǎn)，當(dāng)DP＝2或12或5.6時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】2或12或5.6．【分析】分別從若△PCD∽△APB與若△PCD∽△PAB去分析求解，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．【解答】解：∵①若△PCD∽△APB，則，即，解得DP＝2或12；②若△PCD∽△PAB，則，即，解得DP＝5.6．∴DP＝2或12或5.6．故答案為：2或12或5.6．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，G為線段CD上一動點(diǎn)，連接BG，交AE于點(diǎn)F，若＝m+1，則的值為．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；推理能力．【答案】．【分析】過E作EH∥AB，EH交BG于H，根據(jù)相似三角形的判定得出△HEF∽△BAF，△BEH∽△BCG，根據(jù)相似得出比例式，求出AB和CG，再求出DG，即可求出答案．【解答】解：過E作EH∥AB，EH交BG于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴EH∥CD∥AB，∴△HEF∽△BAF，△BEH∽△BCG，∴＝，＝，∵點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，＝m+1，∴AB＝mEH，CG＝2EH，∴CD＝mEH，∴DG＝CD﹣CG＝mEH﹣2EH＝（m﹣2）EH，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，能求出△HEF∽△BAF和△BEH∽△BCG是解此題的關(guān)鍵．17．（4分）如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BED＝90°，EB＝ED，連接AE，若BC＝3，則△ABE的面積為．【考點(diǎn)】射影定理；等腰直角三角形．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】作EF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF＝BD，根據(jù)射影定理得到BD?AB＝BC2＝18，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：作EF⊥AB于點(diǎn)F，∵∠BED＝90°，EB＝ED，EF⊥AB，∴EF＝BD，∵∠BCA＝90°，CD⊥AB，∴BD?AB＝BC2＝18，∴△ABE的面積＝?AB?EF＝×AB×BD＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是射影定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，點(diǎn)D、E分別是邊BC、BA的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE．將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D、E的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D1、E1．如果點(diǎn)E1落在線段AC上，那么線段CD1＝．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；推理能力．【答案】．【分析】由“HL”可證Rt△BDE≌Rt△E1CB，可得CE1＝BD＝1，通過證明△BCD1∽△BAE1，即可求解．【解答】解：∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、BA的中點(diǎn)，∴DE＝AC＝2，BD＝CD＝1，DE∥AC，∴DE＝BC＝2，∠BED＝∠BAC，∠BDE＝∠BCA＝90°，∵將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴BE＝BE1，∠BE1D1＝∠BED＝∠BAC，∠BD1E1＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E1BD1，∴∠CBD1＝∠ABE1，在Rt△BDE和Rt△E1CB中，，∴Rt△BDE≌Rt△E1CB（HL），∴CE1＝BD＝1，∴AE1＝3，∵∠BD1E1＝∠BDE＝90°＝∠BCA，∴點(diǎn)B，點(diǎn)D1，點(diǎn)C，點(diǎn)E1四點(diǎn)共圓，∴∠BCD1＝∠BE1D1＝∠BAC，∴△BCD1∽△BAE1，∴＝，∴CD1＝×3＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．三、解答題：（19-22題，每題10分，23-24題，每題12分，25題14分，滿分78分）19．（10分）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，若∠APB＝120°，求證：△ACP∽△PDB．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先證明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可證明∠A＝∠DPB，從而可證明△ACP∽△PDB．【解答】證明：∵△PCD為等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB．【點(diǎn)評】本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，能夠證明兩個(gè)三角形有兩組角對應(yīng)相等是解題的關(guān)鍵．20．（10分）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊AC、AB上的點(diǎn)，EC和BD相交于點(diǎn)O，且∠ABD＝∠ACE，連接DE．若，求的值．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】．【分析】先證明△ABD∽△ACE，再證明△AED∽△ACB，列出比例式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵∠ABD＝∠ACE，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴，∴，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∵，∴．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（10分）有一塊三角形余料ABC，它的邊長BC＝120mm，高AD＝80mm．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩邊長分別為多少毫米？【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用；列代數(shù)式．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm．【分析】由于矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，由相似三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵四邊形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，∴＝，∴PQ＝，∴PN＝×2＝（mm）．∴這個(gè)矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式是解題的關(guān)鍵．22．（10分）如圖，△ABC中，M為AC邊的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且AE＝AB，連接EM并延長交BC的延長線于D，求證：BC＝2CD（請用4種方法解決）．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例；三角形中位線定理．【專題】證明題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如圖，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由ME∥CF得到＝，加上AM＝MC，則AE＝EF，由于AE＝AB，所以EF＝AB，BF＝AB，則BF＝2EF，然后由CF∥DE得到＝＝2，所以BC＝2CD；方法二：過E作EN∥AC，交BD于N，如圖，證明方法與方法一類似；方法三：過C點(diǎn)作CP∥AB，交DE于P，如圖，證明方法與方法一類似；方法四：過E點(diǎn)作EQ∥BD，交AC于Q，如圖，證明方法與方法一類似．【解答】證明：方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如圖，∵M(jìn)E∥CF，∴＝，而M為AC邊的中點(diǎn)，∴AM＝MC，∴AE＝EF，∵AE＝AB，∴EF＝AB，BF＝AB，∴BF＝2EF，∵CF∥DE，∴＝＝2，∴BC＝2CD；方法二：過E作EN∥AC，交BD于N，如圖，∵EN∥AC，∴＝＝，∵AE＝AB，∴BE＝AB，∴＝＝，∴BC＝4NC，∵AC＝2MC，∴＝，∵M(jìn)C∥EN，∴＝＝，∴DC＝2NC，∴BC＝2CD；方法三：過C點(diǎn)作CP∥AB，交DE于P，如圖，∵PC∥AE，∴＝，而AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD；方法四：過E點(diǎn)作EQ∥BD，交AC于Q，如圖，∵EQ∥BC，∴＝＝＝，∴BC＝4EQ，AC＝4AQ，∵AM＝CM，∴CM＝2MQ，∵EQ∥CD，∴＝＝2，∴CD＝2EQ，∴BC＝2CD．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．23．（12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，且AC⊥BD．（1）求證：CD2＝BC?AD；（2）點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AF，與BD相交于點(diǎn)G，且∠BAF＝∠ADB，求證：＝．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；直角梯形．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）證明過程見解答；（2）證明過程見解答．【分析】（1）由AD∥BC，∠BCD＝90°，得∠CDA＝∠BCD，由∠CED＝90°，得∠ACB＝∠CDB＝90°﹣∠ACD，則∠DAC＝∠CDB，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△DAC∽△CDB，得＝，所以CD2＝BC?AD；（2）先由∠BAF＝∠ADB，∠ABG＝∠DBA，證明△BAG∽△BDA，得＝＝，再將＝兩邊分別平方得＝，由＝，得AB2＝BG?BD，將AB2＝BG?BD代入＝并化簡，即可得到＝．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠DAC＝∠ACB，∠CDA＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠CDA＝∠BCD，∵AC⊥BD，∴∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°﹣∠ACD，∴∠DAC＝∠CDB，∴△DAC∽△CDB，∴＝，∴CD2＝BC?AD．（2）∵∠BAF＝∠ADB，∠ABG＝∠DBA，∴△BAG∽△BDA，∴＝＝，∴＝，AB2＝BG?BD，∴＝＝．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地找到相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明△DAC∽△CDB及△BAG∽△BDA是解題的關(guān)鍵．24．（12分）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），連接BC．（1）求△ABC的面積；（2）如果動點(diǎn)D在直線BC上，使得∠CBO＝∠CAD，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如果動點(diǎn)P在直線y＝x+3上，且△ABC與△POB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）6；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，1）或（﹣，）．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出AC＝OA+OC＝4，進(jìn)而可以求出△ABC的面積；（2）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y＝﹣3x+3，∠CBO＝∠CAD，分兩種情況：①點(diǎn)D在x軸上方，②點(diǎn)D在x軸下方，分別求解即可；（3）過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，根據(jù)P在直線y＝x+3上，設(shè)P（x，x+3），可得PE＝BE＝|x|，所以PB＝|x|，分兩種情況討論：①當(dāng)△ABC∽△BOP時(shí)，②當(dāng)△ABC∽△BPO時(shí)，分別列式計(jì)算求出x的值，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，令x＝0，則y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，令，y＝0，則x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∴OA＝3，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），∴OC＝1，∴AC＝OA+OC＝4，∴△ABC的面積＝AC?OB＝4×3＝6；（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，∵B（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣3x+3，∠CBO＝∠CAD，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí)，如圖1，設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)E，∵OA＝OB＝3，∠COB＝∠EOA，又∵∠CBO＝∠CAD，∴△CBO≌△EAO（ASA），∴OE＝OC＝1，∴E（0，1），設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線AE的解析式為y＝x+1，聯(lián)立y＝﹣3x+3得，解得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；②當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí)，如圖2，設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)E′，同理得，E′（0，﹣1），直線AE′的解析式為y＝﹣x﹣1，聯(lián)立y＝﹣3x+3解得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣）；綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）；（3）如圖，過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴PE＝BE，∵P在直線y＝x+3上，設(shè)P（x，x+3），∴PE＝BE＝|x|，∴PB＝|x|，①當(dāng)△ABC∽△BOP時(shí)，