二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質課件

第二十二章二次函數(shù)22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質

學

習

目

標1．用描點法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，知道拋物線y=ax2是軸對稱圖形，知道拋物線y=ax2的開口方向與a的符號有關.（難點）2．掌握二次函數(shù)y=ax2的性質：能根據圖象說出拋物線y=ax2的開口方向、對稱軸、頂點坐標，能根據a的符號說出頂點是拋物線的最高點還是最低點.．（重點）

1.二次函數(shù)的一般形式是怎樣的？y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)2.下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)？①⑤④③②

復習引入

3.一次函數(shù)的圖象是一條

.4.通常怎樣畫一個函數(shù)的圖象？直線列表、描點、連線那么，二次函數(shù)的圖象會是什么樣的圖形呢？這節(jié)課我們來學習最簡單的二次函數(shù)y=ax2的圖像

一、二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質探究歸納二次函數(shù)y=x2的性質解析式圖像x的范圍：全體實數(shù)y的范圍：非負數(shù)平面直角坐標系請用描點法畫二次函數(shù)y=x2的圖象94101941.列表：在y=x2中自變量x可以是任意實數(shù)，列表表示幾組對應值：

24-2-40369xy

2.描點：根據表中x,y的數(shù)值在坐標平面中描點（x,y）3.連線：如圖，再用平滑曲線順次連接各點，就得到y(tǒng)=x2

的圖象．9410194

24-2-40369xy

觀察：二次函數(shù)y=x2的圖象像什么？事實上，二次函數(shù)的圖象都是拋物線，

它們的開口或者向上或者向下．

一般地，二次函數(shù)

y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c.

二次函數(shù)y=x2的圖象形如物體拋射時所經過的路線，這條曲線叫做拋物線y=x2

，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.這條拋物線關于y軸對稱,y軸就是它的對稱軸.

頂點坐標是（0，0）是拋物線上的最低點.

觀察思考

24-2-4O369xy

問題1

從二次函數(shù)y=x2的圖象你還發(fā)現(xiàn)了什么性質？在對稱軸左側，拋物線y=x2從左往右下降；

當x＜0時，y隨x的增大而減小；在對稱軸右側，拋物線y=x2從左往右上升當x＞0時，y隨x的增大而增大.

一、二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質拋物線向上y軸x=0（0，0）原點最小值（最低點）當x=0時，當x＜0時，y隨x的增大而減小；當x＞0時，y隨x的增大而增大.

二、二次項系數(shù)a的絕對值大小與開口大小的關系解：分別填表，再畫出它們的圖象，如圖820.5084.520.54.54.5820.5084.520.5探究歸納例2

在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象．①開口都向上；對稱軸都是y軸；

問題1

從二次函數(shù)的圖像上來看，有什么共同點和不同點？a的值越大，開口越小.②增減性相同：當x<0時，y隨x增大而減小；當x>0時，y隨x增大而增大.③頂點都是原點(0，0)，頂點是拋物線的最低點；共同點：不同點：

總結歸納一般地，當a>0時，拋物線y＝ax2的開口_____，對稱軸是____，頂點是_____，頂點是拋物線的______，a越大，拋物線的開口_____.向上y軸原點最低點越小

練一練：畫出函數(shù)y=-x2的圖象，并根據圖象說出它有哪些性質？-9-4-10-1-9-4

一、二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質拋物線向下y軸x=0（0，0）原點最大值（最高點）當x=0時，當x＜0時，y隨x的增大而增大；當x＞0時，y隨x的增大而減小.

練一練：在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象．－8－2－0.50－8－4.5－2－0.5－4.5－4.5－8－2－0.50－8－4.5－2－0.5

問題2

從二次函數(shù)的圖像上來看，有什么共同點和不同點？a的值越大，開口越小.共同點：不同點：①開口都向下；對稱軸都是y軸；②增減性相同：當x<0時，y隨x增大而增大；當x>0時，y隨x增大而減小.③頂點都是原點(0，0)，頂點是拋物線的最高點；

總結歸納一般地，當a<0時，拋物線y＝ax2的開口_____，對稱軸是_____，頂點是_____，頂點是拋物線的______，a越小，拋物線的開口______.向下y軸原點最高點越小

位置開口方向開口向上,在x軸上方開口向下,在x軸下方a的絕對值越大，開口越小歸納總結對稱性頂點最值增減性關于y軸對稱，對稱軸方程是直線x＝0頂點坐標是原點（0，0）當x=0時，y最小值=0當x=0時，y最大值=0在對稱軸左側遞減在對稱軸右側遞增在對稱軸左側遞增在對稱軸右側遞減

2、說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：開口方向對稱軸頂點向上向下向下向上y軸y軸y軸y軸（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）1、如右圖，觀察函數(shù)y=（

k-1）x2的圖象,則k的取值范圍是

.k>1

三、拋物線y=ax2與y=-ax2的關系問題1觀察下列圖象，拋物線y=ax2與y=-ax2（a>0)的關系是什么？二次項系數(shù)互為相反數(shù)，開口相反，大小相同，它們關于x軸對稱.xyOy=2x2y=-2x2解：分別填表，再畫出它們的圖象，如圖

在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象．例2

當a>0時，a越大，開口越小.思考1：從二次函數(shù)開口大小與a的大小有什么關系？練一練：在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象．

當a<0時，a越小（即a的絕對值越大），開口越小.對于拋物線

y=ax2

，｜a｜越大，拋物線的開口越?。伎?

從二次函數(shù)開口大小與a的大小有什么關系？

小結歸納3.函數(shù)y=

x2的圖象的開口

,對稱軸是

,頂點是

;

頂點是拋物線的最

點.2.函數(shù)y=－3x2的圖象的開口

,對稱軸是

,頂點是

;

頂點是拋物線的最

點.邊選邊填：1.函數(shù)y=4x2的圖象的開口

,對稱軸是

,頂點是

.向上向下y軸(0,0)4.函數(shù)y=－0.2x2的圖象的開口

,對稱軸是

，頂點是

.高低

課堂練習x軸(1,0)

例3

已知

y=(m+1)x

是二次函數(shù),且其圖象開口向上,

求m的值和函數(shù)解析式.解:依題意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1∴m=1此時,二次函數(shù)為:y=2x2.m2+m例4如圖，

四個二次函數(shù)的圖象分別對應①

y=ax2；②

y=bx2；③

y=cx2；④

y=dx2，且①與③，②與④分別關于x

軸對稱.(1)比較a，b，c，d的大?。?2)說明a

與c，b

與d

的數(shù)量關系.解：(1)由拋物線的開口方向，知

a

＞0，b

＞0，c

＜0，d＜0，由拋物線的開口大小，知

|a|＞|b|，|c|＞|d|，因此a

＞

b，c

＜

d.∴a

＞

b

＞

d

＞

c.(2)∵①與③，②與④分別關于x軸對稱，∴①與③，②與④的開口大小相同，方向相反.∴a+c=0，b+d=0.1、下列函數(shù)中，y總隨x增大而減小的是(

)A．y＝4x

B．y＝－4xC．y＝x－4

D．y＝x2B2、關于二次函數(shù)y＝3x2的圖象，下列說法錯誤的是(

)A．它是一條拋物線B．它的開口向上，且關于y軸對稱C．它的頂點是拋物線的最高點D．它與y＝－3x2的圖象關于x軸對稱C

課堂練習

課堂練習

4、若拋物線y=ax2（a≠0），過點（－1，2）.

（1）則a的值是

；

（2）對稱軸是

，開口

.

（3）頂點坐標是

，頂點是拋物線上的最

值.

拋物線在x軸的

方（除頂點外）.

（4）若A（x1,y1),B(x2,y2)在這條拋物線上，且x1<x2<0,

則y1