高考總復習理數(shù)（北師大版）第5章第4節(jié)數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入

第四節(jié)數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入考點高考試題考查內容核心素養(yǎng)復數(shù)2017·全國卷Ⅰ·T3·5分復數(shù)的運算及命題真假判斷數(shù)學運算邏輯推理2016·全國卷Ⅰ·T2·5分利用復數(shù)相等條件求參數(shù)及復數(shù)模數(shù)學運算2015·全國卷Ⅰ·T1·5分復數(shù)的四則運算及求復數(shù)的模數(shù)學運算命題分析高考對本節(jié)的考查主要圍繞復數(shù)的基本概念，復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的四則運算法則展開，屬容易題，分值5分.(對應學生用書P70)1．復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫作復數(shù)，其中實部是__a__，虛部是__b__.(2)復數(shù)的分類：復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數(shù)b__＝__0，,虛數(shù)b__≠__0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a__＝__0，b__≠__0，,非純虛數(shù)a≠0，b≠0.))))(3)復數(shù)相等a＋bi＝c＋di?__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數(shù)a＋bi與c＋di共軛?__a＝c且b＝－d__(a，b，c，d∈R)．(5)復數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫作復數(shù)z＝a＋bi的模，記作__|z|__或__|a＋bi|__，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)．2．復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z＝a＋bieq\o(→,\s\up7(一一對應),\s\do5())復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(→,\s\up7(一一對應),\s\do5())__平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))__.3．復數(shù)的運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝__eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i__(c＋di≠0).(2)復數(shù)加法的運算定律復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__z2＋z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__.提醒：1．辨明三個易誤點(1)兩個虛數(shù)不能比較大小．(2)利用復數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件．(3)注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質照搬到復數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復數(shù)范圍內成立．2．復數(shù)的運算技巧(1)設z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復數(shù)相等和相關性質將復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的常用方法．(2)在復數(shù)代數(shù)形式的四則運算中，加、減、乘運算按多項式運算法則進行，除法則需分母實數(shù)化．3．復數(shù)代數(shù)運算中常用的幾個結論在進行復數(shù)的代數(shù)運算時，記住以下結論，可提高計算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋.1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大?。?)(3)實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．()(4)復數(shù)的模實質上就是復平面內復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改編)如圖，在復平面內，點A表示復數(shù)z，則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是()A．A B．BC．C D．D解析：選B共軛復數(shù)對應的點關于實軸對稱．3．設m∈R，復數(shù)z＝m2－1＋(m＋1)i表示純虛數(shù)，則m的值為()A．1 B．－1C．±1 D．0解析：選A由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1＝0，,m＋1≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝±1,m≠－1.))所以m＝1.故選A.4．(1＋i)(2＋i)＝()A．1－i B．1＋3iC．3＋i D．3＋3i解析：選B(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.故選B.5．復數(shù)i(1＋i)的實部為____________.解析：i(1＋i)＝－1＋i，所以實部為－1.答案：－1(對應學生用書P71)復數(shù)的概念[明技法]求解與復數(shù)概念相關問題的技巧復數(shù)的分類，復數(shù)的相等，復數(shù)的模，共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部與虛部有關，所以解答與復數(shù)相關概念有關的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據題意求解．[提能力]【典例】(1)(2017·全國卷Ⅰ)下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)解析：選CA項，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是純虛數(shù)．B項，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)．C項，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數(shù)．D項，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)．故選C.(2)(2016·全國卷Ⅰ)設(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3解析：選A∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，[刷好題]1．設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z＝a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：選D∵z＝a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i為純虛數(shù)，∴a－3＝0，即a＝3.2．(2016·江蘇卷)復數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是____________.解析：因為z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的實部是5.答案：5復數(shù)的幾何意義與復數(shù)的模[析考情]對復數(shù)幾何意義的理解及應用(1)復數(shù)z，復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up6(→)).(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀．[提能力]【典例】(1)(2017·全國卷Ⅲ)復平面內表示復數(shù)z＝i(－2＋i)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴復數(shù)z＝－1－2i所對應的復平面內的點為Z(－1，－2)，位于第三象限．故選C.(2)(2017·全國卷Ⅲ)設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝()A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2解析：選C方法一由(1＋i)z＝2i得z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故選C.方法二∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故選C.[刷好題]1．設復數(shù)z1，z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i解析：選A由題意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.2．(2018·河北聯(lián)考)若復數(shù)z＝eq\f(a＋3i,i)＋a在復平面上對應的點在第二象限，則實數(shù)a可以是()A．－4 B．－3C．1 D．2解析：選A若z＝eq\f(a＋3i,i)＋a＝(3＋a)－ai在復平面上對應的點在第二象限，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋a＜0,－a＞0))，則a＜－3.復數(shù)的代數(shù)運算[明技法]復數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略[提能力]【典例】(1)(2016·全國卷Ⅲ)若z＝4＋3i，則eq\f(\o(z,\s\up3(－)),|z|)＝()A．1 B．－1C.eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i D．eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i解析：選Dz＝4＋3i，|z|＝5，eq\f(\o(z,\s\up3(－)),|z|)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.(2)若a為實數(shù)，且eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，則a＝()A．－4 B．－3C．3 D．4解析：選D由eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因為a為實數(shù)，所以a＝4.故選D.[刷好題]1．若a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：選B∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\