142乘法公式（講練）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)(人教版)（原卷版）

14.2乘法公式平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如題型1：平方差公式用面積探究公式1.如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分剪下，拼成右邊的矩形，由圖形①到圖形②的變化過程能夠驗(yàn)證的一個(gè)等式是（）A．a(chǎn)(a+bC．(a+b)【變式11】如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a>bA．a(chǎn)2-b2C．(a+b)【變式12】如圖，從邊長(zhǎng)為a的正方形中去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，然后將剩余部分剪后拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，上述操作能驗(yàn)證的等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 D．a(chǎn)2＋ab＝a（a＋b）題型2：平方差公式識(shí)別2.下列式子可用平方差公式計(jì)算的是（）A．(a+b)(a?b) B．(a?b)(b?a)C．(a+2b)(2b+a) D．(y2x)(2x+y)【變式21】下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣a2﹣b2 B．x2+（﹣y）2C．（﹣x）2+（﹣y）2 D．﹣m2+1【變式22】下列兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式計(jì)算的，寫出計(jì)算結(jié)果．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．題型3：平方差公式計(jì)算3.計(jì)算（4＋x）（x－4）的結(jié)果是（）A．x2-16 B．x2+16 C．【變式31】計(jì)算(-2a-3A．4a2-9C．-4a2-【變式32】計(jì)算：（1）；（2）；（3）．題型4：平方差公式混合運(yùn)算及簡(jiǎn)便運(yùn)算4.2、計(jì)算：(1)59.9×60.1；(2)102×98．【變式41】計(jì)算：（1）991×1009（2）用公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算.20222﹣2023×2021．（3）(【變式42】閱讀并完成下列各題：通過學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)體會(huì)到靈活運(yùn)用整式乘法公式給計(jì)算和化簡(jiǎn)帶來的方便、快捷．相信通過下面材料的學(xué)習(xí)、探究，會(huì)使你大開眼界，并獲得成功的喜悅．【例】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算995×1005．解：995×1005=（1000﹣5）（1000+5）①=10002﹣52②=999975．（1）例題求解過程中，第②步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（2）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：9×11×101×10001；題型5：平方差公式巧用公式計(jì)算5.計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．【變式51】某同學(xué)在計(jì)算3（4+1）（42+1）時(shí)，把3寫成4﹣1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差公式計(jì)算：3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=162﹣1=255．請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：(1+12完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.注意：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形（重要）：題型6：完全平方公式用面積探究公式6.如圖，根據(jù)計(jì)算正方形ABCD的面積，可以說明下列哪個(gè)等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a(chǎn)（a﹣b）=a2﹣ab【變式61】通過計(jì)算幾何圖形的面積可表示一些代數(shù)恒等式，下圖可表示的代數(shù)恒等式是（）A．(a-b)C．(a+b)【變式62】如圖，將圖1中陰影部分拼成圖2，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的關(guān)系，可以驗(yàn)證下列哪個(gè)計(jì)算公式（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2題型7：完全平方公式識(shí)別7.下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A．(x-y)(C．(x-y)(-【變式71】下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）C．(-12p+q)(q+12p) D【變式72】下列式子滿足完全平方公式的是（）A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x+y）C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y+3x）題型8：完全平方公式計(jì)算8.下列計(jì)算正確的是（）A．??B．?C．?D．?【變式81】下列運(yùn)算正確的是（）A．(x+y)2=x2+y2 B．(xy)2=x2+2xy+y2C．(x+y)2=x2+y2+2xy D．(xy)2=x2xy+y2【變式82】計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．題型9：完全平方公式混合運(yùn)算9.簡(jiǎn)便計(jì)算：（1）982（2）20202﹣4040×2019+20192（3）計(jì)算（2x+y）2﹣（y﹣2x）2【變式91】計(jì)算：（1）(2（2）（x+2）（x﹣2）﹣（x+1x）（3）(x+2)（4）9（a－1）2－（3a＋2）（3a－2）；【變式92】（1）簡(jiǎn)算：20182－4036×2017＋20172（2）計(jì)算(題型10：完全平方公式公式變形求代數(shù)式的值10.a+b=5，ab=-2，求【變式101】已知(m+n)2=9,(【變式102】已知(a+b)2=60，(a-b)2添括號(hào)法則添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).注意：添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化也是一致的，可以用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確.題型11：完全平方公式添括號(hào)11.運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）；（2）．【變式111】運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．題型12：完全平方公式構(gòu)造完全平方公式12.若x，y是等腰三角形的兩條邊，且滿足4x2+17y【變式121】已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周長(zhǎng).【變式122】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且滿足a2+b2+12c2＝ac+bc，試判定題型13：用乘法公式證明整除問題13.求證：對(duì)任意整數(shù)n,整式（3n+1）（3n1）（3n）（3+n）的值都能被10整除．【變式131】求證：對(duì)任意自然數(shù)n,式子（n1）（n+1）（n5）（n7）的值都能被12整除．【變式132】設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n1和2n+1，則這兩個(gè)數(shù)的平方差（較大的減去較小的）是否一定被8整除？請(qǐng)說明理由．題型14：乘法公式在幾何中的應(yīng)用14.圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）將圖②中的陰影部分面積用2種方法表示可得一個(gè)等式，求等式。（2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的結(jié)論求m﹣2n的值．【變式141】用4個(gè)相同的小長(zhǎng)方形與1個(gè)小正方形密鋪而成的大正方形圖案如圖所示，已知大正方形的面積為36，小正方形的面積為4，用x、y（x＞y）分別表示小長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)．

（1）求x2+y2的值；（2）求xy的值．【變式142】我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)等式．例如圖1可以得到(a+（1）根據(jù)圖2，完成數(shù)學(xué)等式：(2a)2=（2）觀察圖3，寫出圖3中所表示的等式：＝.（3）若a=7x-5、b=-4x+2、c=-3x+4，且題型15：乘法公式與化簡(jiǎn)求值15.先化簡(jiǎn)，再求值：(a+b)(a【變式151】先化簡(jiǎn)，再求值：(a+3)2(a+1)(a1)2(2a+4)，其中a=1【變式152】先化簡(jiǎn)，再求值：(2x+y)2-(2x+y)(2題型16：用乘法公式解規(guī)律探究題16.閱讀下面內(nèi)容回答問題：

（x1）（x+1）=x21

（x1）（x2+x+1）=x31

（x1）（x3+x2+x+1）=x41

（x1）（x4+x3+x2+x+1）=x51

……

（1）按這樣的規(guī)律寫出第6個(gè)式子用你找出的規(guī)律計(jì)算1+2+22+23+24+25+26的值【變式161】觀察下面各式規(guī)律：12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2…寫出第n行的式子，并證明你的結(jié)論．【變式162】你能很快計(jì)算出19952嗎？

（1）通過計(jì)算，探索規(guī)律：

152=225=100×（1+1）+25，

252=625=100×2×（2+1）+25，

352=1225=100×3×（3+1）+25，

452=2025=100×4×（4+1）+25，

…

752=5625=852=7225=…

（2）觀察以上結(jié)果，歸納、猜想得（10n+5）2=。并運(yùn)用整式運(yùn)算的知識(shí)給予說明．

（3）利用上述結(jié)論，計(jì)算19952．一、單選題1．下面計(jì)算正確是（）A．x3+4x3＝5x6 B．a(chǎn)2?a3＝a6C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y22．下列運(yùn)算正確的是（）A．2x+3x=6C．(-x3)23．下列計(jì)算正確的是（）A．(a+b)C．4a3?34．若a、b、c為一個(gè)三角形的三條邊，則代數(shù)式a-A．一定為正數(shù) B．一定為負(fù)數(shù)C．可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù) D．可能為零5．下列運(yùn)算正確的是（）A．2a2﹣a2=2 B．2a?3a=6a2C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a(chǎn)6÷a2=a36．下列多項(xiàng)式的乘法中，不能用平方差公式計(jì)算的是()A．(4x-3yC．(a+b-二、填空題7．計(jì)算①(2x+y)(2x-y)=8．已知(a+b)2=49，a2+9．已知實(shí)數(shù)a、b滿足ab=3，ab=2，則a2+b2的值為。10．已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+2mx﹣m2+4是一個(gè)完全平方式，則m的值為三、計(jì)算題11．計(jì)算（1）a2b(ab4b2)；（2）(2x+4)(x2)；（3）(2xy)2(2x)2；（4）598×602（用簡(jiǎn)便方法計(jì)算）.四、解答題12．計(jì)算：（13．光明村正在進(jìn)行綠地改造，原有一正方形綠地，現(xiàn)將它每邊都增加3米，面積則增加了63平方米，問原綠地的邊長(zhǎng)為多少？原綠地的面積又為多少？五、綜合題14．把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過圖形面積的計(jì)算，常?？梢缘玫揭恍┯杏玫氖阶?，或可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．（1）如圖1，是將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形，試用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論，請(qǐng)寫出來．（2）如圖2，是將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B、C、G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和B